滬教版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義第21講分式的乘除(七大題型)(學(xué)生版+解析)

第21講分式的乘除（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會(huì)用類比的方法總結(jié)出分式的乘法、除法法則.2、會(huì)分式的乘法、除法運(yùn)算.3、掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進(jìn)行分式運(yùn)算.一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點(diǎn)：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計(jì)算結(jié)果，要通過約分，化為最簡分式或整式.二、分式的乘方分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點(diǎn)：（1）分式乘方時(shí)，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時(shí)，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).（3）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分.（4）分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如.【即學(xué)即練1】計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練2】計(jì)算的結(jié)果是．【即學(xué)即練3】計(jì)算的結(jié)果是（

）．A．1 B．xy C． D．【即學(xué)即練4】計(jì)算（）2?的結(jié)果是．【即學(xué)即練5】計(jì)算：．【即學(xué)即練6】計(jì)算．題型1：分式的乘法【典例1】．【典例2】．【典例3】．計(jì)算：．【典例4】．計(jì)算：．【典例5】．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【典例6】．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【典例7】．計(jì)算：.【典例8】．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)題型2：分式的除法【典例9】．計(jì)算÷的結(jié)果是(

)A． B． C． D．【典例10】．計(jì)算：．【典例11】．計(jì)算：．【典例12】．計(jì)算：．【典例13】．化簡：．【典例14】．的計(jì)算結(jié)果為（）A． B． C． D．【典例15】．計(jì)算(1)(2)【典例16】．計(jì)算：．【典例17】．如圖，老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的式子，然后隨手用手掌捂住了式子的一部分，求老師捂住的部分．

【典例18】．計(jì)算：(1)；(2)．題型3：分式的乘除混合運(yùn)算【典例19】．計(jì)算：.【典例20】．計(jì)算：；【典例21】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；【典例22】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例23】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例24】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例25】．閱讀下面的解題過程：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴．∴，∴．這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：已知，求的值．題型4：分式的乘方【典例26】．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【典例27】．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【典例28】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)．題型5：含分式乘方的混合運(yùn)算【典例29】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例30】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【典例31】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例32】．計(jì)算：(1)．(2)．(3)．題型6：分式乘除的實(shí)際應(yīng)用【典例33】．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上（如圖陰影部分），則甲、乙兩塊地的撒播密度的比為（撒播密度）【典例34】．小明a分鐘打了b個(gè)字，小亮m分鐘打了n個(gè)字，則小明每分鐘打字個(gè)，小亮每分鐘打字個(gè)，小明打字的速度是小亮打字速度的倍．【典例35】．因城市建設(shè)的需要，某市將長方形廣場的一邊增加12m，另一邊減少12m，變成邊長為a(m)的正方形廣場，試問改建前后廣場的面積比是多少？面積變大了嗎？【典例36】．為了美化環(huán)境，需要在某塊空地上種植棵樹，若甲隊(duì)單獨(dú)植樹，則需要天（）才能完成，若乙隊(duì)單獨(dú)植樹，則乙隊(duì)完成這項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)的倍多天，則甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的倍嗎？請說明理由．【典例37】．甲、乙兩地相距s，新修的高速公路開通后，兩地距離不變，在甲、乙兩地間行駛的長途客運(yùn)車的平均速度提高了，已知原來的平均車速為x，請回答以下問題：長途客運(yùn)車原來所用的時(shí)間是新修的高速公路開通后所花時(shí)間的多少倍？【典例38】．如圖，A玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗(yàn)田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？題型7：分式乘除的難點(diǎn)分析【典例39】．任意兩個(gè)和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【典例40】．已知數(shù)列，，……，，……，設(shè)，則與最接近的整數(shù)為．【典例41】．素養(yǎng)·思維賦能化歸思想在分式的乘除運(yùn)算中的體現(xiàn)由本節(jié)典例2可知對于分子分母是多項(xiàng)式的分式的乘除運(yùn)算，其中有一個(gè)很關(guān)鍵的過程是把分子分母進(jìn)行因式分解，因式分解與整式的乘法運(yùn)算又是方向相反的過程．請通過解決下面的問題再次體會(huì)三者之間的關(guān)系．舊知回顧（1）計(jì)算：__________．___________．歸納總結(jié)（2）觀察上面的式子和結(jié)果的特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律．并用含，的字母表示：______________；你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式深化認(rèn)識（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是（

）A．B．C．D．學(xué)以致用（4）利用所學(xué)知識以及（2）所得等式，化簡．【典例42】．如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成（），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“快樂分解”．例如，因?yàn)椋?2和24的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)”．（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個(gè)“如意數(shù)”M進(jìn)行“快樂分解”，即，A與B的和記為，A與B的差記為，若能被7整除，則M的值為．一、單選題1．計(jì)算所得的結(jié)果為（）A． B． C． D．2．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．下列分式運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．5．與分式的乘積等于的分式是（

）A． B．C． D．6．下列各分式運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．②④ C．①② D．③④7．當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．1 B． C． D．不確定8．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．9．若，則的值為（

）A． B． C． D．10．一支部隊(duì)排成a米長隊(duì)行軍，在隊(duì)尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長、為了回到隊(duì)尾，他在追上團(tuán)長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是（）A．分鐘 B．分鐘（3）；（4）．20．（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．21．計(jì)算：(1)；(2)(3)(4)22．先化簡，再求值：，其中．23．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代數(shù)式D．24．老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：(1)接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是A．只有乙

B．甲和丁

C．乙和丙

D．乙和丁(2)請你書寫正確的化簡過程，并在“1,0,2，-2”中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．25．如圖，A玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗(yàn)田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？26．閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”：分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：．解決下列問題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式_____形式；(2)如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值；(3)若分式的值為m，則m的取值范圍是（直接寫出結(jié)果）第21講分式的乘除（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會(huì)用類比的方法總結(jié)出分式的乘法、除法法則.2、會(huì)分式的乘法、除法運(yùn)算.3、掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進(jìn)行分式運(yùn)算.一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點(diǎn)：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計(jì)算結(jié)果，要通過約分，化為最簡分式或整式.二、分式的乘方分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點(diǎn)：（1）分式乘方時(shí)，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時(shí)，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).（3）在一個(gè)算式中同時(shí)含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式，再約分.（4）分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如.【即學(xué)即練1】計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接約分即可得出答案．【解析】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【解析】根據(jù)分式的乘法和除法運(yùn)算法則計(jì)算即可：．【即學(xué)即練3】計(jì)算的結(jié)果是（

）．A．1 B．xy C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的乘除法，解題的關(guān)鍵是把除法轉(zhuǎn)化成乘法、以及約分．先把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分計(jì)算即可．【解析】解：原式，故選：C．【即學(xué)即練4】計(jì)算（）2?的結(jié)果是．【答案】【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法運(yùn)算法則化簡得出答案．．【解析】解：故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的乘方和分式的乘法運(yùn)算，正確化簡分式是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練5】計(jì)算：．【答案】【分析】原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算即可得到結(jié)果．【解析】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練6】計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．題型1：分式的乘法【典例1】．【答案】1【分析】由分式的乘法運(yùn)算，即可得到答案．【解析】解：；【點(diǎn)睛】本題考查了分式乘法的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【典例2】．【答案】【分析】原式約分即可得到結(jié)果．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例3】．計(jì)算：．【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：a．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘法計(jì)算法則：分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母，并化為最簡分式．【典例4】．計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的乘法計(jì)算，熟知分式乘法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，故答案為：．【典例5】．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的乘法運(yùn)算，分式相乘的法則是：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時(shí)，也可先約分后計(jì)算．【解析】解：．【典例6】．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的乘法運(yùn)算，分式相乘的法則是：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時(shí)，也可先約分后計(jì)算．根據(jù)乘法法則逐項(xiàng)計(jì)算即可．【解析】解：A．，故不正確；B．，故不正確；C．，故不正確；D．，正確；【典例7】．計(jì)算：.【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法法則即可得．【解析】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式的乘法法則是解題關(guān)鍵．【典例8】．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是分式的乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）直接約分即可；（2）先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，再約分即可；（3）先計(jì)算分式的乘方運(yùn)算，再約分即可；（4）先把除法化為乘法，再約分即可.【解析】（1）解：，（2）；（3）；（4）；題型2：分式的除法【典例9】．計(jì)算÷的結(jié)果是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】原式故選D.【典例10】．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了分式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練使用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)計(jì)算解題．【解析】解：，故答案為：．【典例11】．計(jì)算：．【答案】【分析】將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算．【解析】解：==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法，解題的關(guān)鍵是掌握約分的方法．【典例12】．計(jì)算：．【答案】D【分析】根據(jù)分式的除法法則計(jì)算即可．【解析】解：原式==a，故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除法，分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．【典例13】．化簡：．【答案】【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得到答案．【解析】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的除法運(yùn)算，掌握分式的除法運(yùn)算法則是解題的【典例14】．的計(jì)算結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式的除法運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先將分母因式分解，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后求解即可．【解析】．故選：B．【典例15】．計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，（1）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；（2）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【解析】（1）解：；（2）解：．【典例16】．計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查分式的除法運(yùn)算，熟練掌握分式的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；先對分子分母進(jìn)行因式分解，然后再進(jìn)行分式的除法運(yùn)算即可【解析】解：．【典例17】．如圖，老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的式子，然后隨手用手掌捂住了式子的一部分，求老師捂住的部分．

【答案】老師捂住的部分為x【分析】本題考查分式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用乘法與除法是互為逆運(yùn)算，把乘法轉(zhuǎn)化為除法解決問題，根據(jù)法則直接計(jì)算即可．【解析】解：由題意得：．答：老師捂住的部分為x．【典例18】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的除法運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先將分子分母因式分解，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后求解即可；（2）先將分子分母因式分解，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后求解即可．【解析】（1）；（2）．題型3：分式的乘除混合運(yùn)算【典例19】．計(jì)算：.【答案】【分析】根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則求解即可.【解析】解：原式.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【典例20】．計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查分式的乘除混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則，將除法變?yōu)槌朔?，能約分的先約分，不能約分的，分子乘以分子作積的分子，分母乘以分母作積的分母，由此即可求解．【解析】解：．【典例21】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先確定結(jié)果的符號，再約分即可求解；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可求解；（3）先把分子分母因式分解，然后約分即可；（4）先把分子分母因式分解，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【解析】（1）解：；（2）解：．（除法轉(zhuǎn)化為乘法）（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算：分式的乘除混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【典例22】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可；（2）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可．【解析】（1）．（2）【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例23】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】先把除法變成乘法，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分即可得到答案．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘除混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例24】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算：分式的乘除混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【典例25】．閱讀下面的解題過程：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴．∴，∴．這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：已知，求的值．【答案】【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，接著把分子分母因式分解后約分得到原式利用倒數(shù)法由已知條件得到然后把左邊化為真分式后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】解：原式，∵，∴，∴原式【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．題型4：分式的乘方【典例26】．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式乘方運(yùn)算，根據(jù)分式性質(zhì)結(jié)合乘方法則進(jìn)行運(yùn)算，即可作答．【解析】解：依題意，，故選：D．【典例27】．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準(zhǔn)確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．【典例28】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的乘法、分式的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)分式的乘方以及分式的乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．題型5：含分式乘方的混合運(yùn)算【典例29】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的乘除，即可求解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方及乘除運(yùn)算．掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例30】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（2）先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（3）先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可．【解析】（1）；（2）；（3）．【典例31】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（2）先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可．【解析】（1）；（2）．【典例32】．計(jì)算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除混合運(yùn)算．掌握分式的乘除混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型6：分式乘除的實(shí)際應(yīng)用【典例33】．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上（如圖陰影部分），則甲、乙兩塊地的撒播密度的比為（撒播密度）【答案】【分析】根據(jù)圖形中的信息和題意，利用撒播密度可以計(jì)算出甲、乙兩塊地的撒播密度比．【解析】解：設(shè)花種的數(shù)量為，由題意可得：甲、乙兩塊地的撒播密度比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【典例34】．小明a分鐘打了b個(gè)字，小亮m分鐘打了n個(gè)字，則小明每分鐘打字個(gè)，小亮每分鐘打字個(gè)，小明打字的速度是小亮打字速度的倍．【答案】【分析】根據(jù)打字總數(shù)除以時(shí)間即可算出每分鐘打字的個(gè)數(shù)，在根據(jù)題意相除即可；【解析】∵小明a分鐘打了b個(gè)字，∴小明每分鐘打字個(gè)，∵小亮m分鐘打了n個(gè)字，∴小亮每分鐘打字，∵，∴小明打字的速度是小亮打字速度的；故答案是：；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，準(zhǔn)確分析列式是解題的關(guān)鍵．【典例35】．因城市建設(shè)的需要，某市將長方形廣場的一邊增加12m，另一邊減少12m，變成邊長為a(m)的正方形廣場，試問改建前后廣場的面積比是多少？面積變大了嗎？【答案】改建前后面積比為；改建后面積變大了.【分析】根據(jù)題意表示出改建前中心廣場的面積，以及改建后的面積，求出面積比，判斷即可得到結(jié)果．【解析】改建前中心廣場的面積為（a+12）（a-12）米2，改建后中心廣場的面積a2（米2），故改建前后廣場的面積比是，∵（a+12）（a-12）=a2-144，∴a2＞（a+12）（a-12），則廣場的面積增加了．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【典例36】．為了美化環(huán)境，需要在某塊空地上種植棵樹，若甲隊(duì)單獨(dú)植樹，則需要天（）才能完成，若乙隊(duì)單獨(dú)植樹，則乙隊(duì)完成這項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)的倍多天，則甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的倍嗎？請說明理由．【答案】甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)不是乙隊(duì)的倍，理由見解析．【分析】由題意可得，甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)為，乙隊(duì)每天植樹的棵數(shù)為，則，然后比較即可．【解析】甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)不是乙隊(duì)的倍．理由如下：由題意可知，甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)為，乙隊(duì)每天植樹的棵數(shù)為．則．∵，∴，∴，即．∴甲隊(duì)每天植樹的棵數(shù)不是乙隊(duì)的倍．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出式子進(jìn)行作商比較．【典例37】．甲、乙兩地相距s，新修的高速公路開通后，兩地距離不變，在甲、乙兩地間行駛的長途客運(yùn)車的平均速度提高了，已知原來的平均車速為x，請回答以下問題：長途客運(yùn)車原來所用的時(shí)間是新修的高速公路開通后所花時(shí)間的多少倍？【答案】倍【分析】分別求出長途客運(yùn)車原來所用的時(shí)間是，新修的高速公路開通后所花時(shí)間是，作除法，即可解答．【解析】解：長途客運(yùn)車原來所用的時(shí)間是，新修的高速公路開通后所花時(shí)間是，．答：長途客運(yùn)車原來所用的時(shí)間是新修的高速公路開通后所花時(shí)間的倍．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行分式的除法計(jì)算．【典例38】．如圖，A玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗(yàn)田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗(yàn)田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【答案】(1)A玉米試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高(2)【分析】（1）利用圓環(huán)的面積計(jì)算方法求得試驗(yàn)田的面積，用總產(chǎn)量除以面積得出答案，再進(jìn)一步把分母作差比較即可；（2）利用（1）的結(jié)果和式子，直接列式計(jì)算即可．【解析】（1）A玉米試驗(yàn)田的面積是，單位面積產(chǎn)量是；B玉米試驗(yàn)田的面積是m2，單位面積產(chǎn)量是．∵，∴．∴．∴A玉米試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高．（2）∵，∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式，讀懂題意，列出式子，再進(jìn)行分式的混合運(yùn)算．題型7：分式乘除的難點(diǎn)分析【典例39】．任意兩個(gè)和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)，可以得到它們的比值或者a、b、c的關(guān)系式，進(jìn)而解答．【解析】解：設(shè)，則，，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．【典例40】．已知數(shù)列，，……，，……，設(shè)，則與最接近的整數(shù)為．【答案】4【分析】先求出，則，進(jìn)而得出，則，把代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：，∴，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【典例41】．素養(yǎng)·思維賦能化歸思想在分式的乘除運(yùn)算中的體現(xiàn)由本節(jié)典例2可知對于分子分母是多項(xiàng)式的分式的乘除運(yùn)算，其中有一個(gè)很關(guān)鍵的過程是把分子分母進(jìn)行因式分解，因式分解與整式的乘法運(yùn)算又是方向相反的過程．請通過解決下面的問題再次體會(huì)三者之間的關(guān)系．舊知回顧（1）計(jì)算：__________．___________．歸納總結(jié)（2）觀察上面的式子和結(jié)果的特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律．并用含，的字母表示：______________；你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式深化認(rèn)識（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是（

）A．B．C．D．學(xué)以致用（4）利用所學(xué)知識以及（2）所得等式，化簡．【答案】（1），；（2）；（3）A；（4）．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）由（1）總結(jié)出公式即可；（3）由新發(fā)現(xiàn)的公式結(jié)構(gòu)逐項(xiàng)判斷即可；（4）根據(jù)分式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：（1）；；故答案為：，；（2）由（1）可總結(jié)為．故答案為：；（3）觀察各選項(xiàng)可知只有A．滿足發(fā)現(xiàn)的乘法公式．故選A；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，分式的除法運(yùn)算．理解題意，總結(jié)出新的乘法公式，并掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例42】．如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成（），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“快樂分解”．例如，因?yàn)椋?2和24的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)”．（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個(gè)“如意數(shù)”M進(jìn)行“快樂分解”，即，A與B的和記為，A與B的差記為，若能被7整除，則M的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可得；（2）設(shè)兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個(gè)位數(shù)字為，則的個(gè)位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，從而可得，，再求出，根據(jù)，自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，以及，可得為5或者4，然后根據(jù)能被7整除分別求出、的值，由此即可得．【解析】（1）∵自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，∴根據(jù)“如意數(shù)”的定義可得最小的“如意數(shù)”為：，故答案為：；（2）由題意，設(shè)兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個(gè)位數(shù)字為，則的個(gè)位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，，，，，∵，自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，∴為5、4或者3，∵，∴為5或者4，，即的分子時(shí)奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，，分子是奇數(shù)，分母時(shí)偶數(shù)，則該數(shù)不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，能被7整除，且m為1至9的自然數(shù)，滿足條件的整數(shù)只有6，，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式加減的應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確理解“如意數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．一、單選題1．計(jì)算所得的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式乘法的運(yùn)算法則，分子乘分子作為分子，分母乘分母作為分母，最后進(jìn)行約分即可得到答案．【解析】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用乘法法則以及分式的基本性質(zhì)．2．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的除法運(yùn)算，兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘，再按乘法法則計(jì)算即可．【解析】解：．3．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將分母分解因式，再根據(jù)分式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：原式，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．4．下列分式運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除法運(yùn)算法則對每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)計(jì)算即可判斷出正確選項(xiàng)．【解析】解：A、，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故B選項(xiàng)正確；C、，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．5．與分式的乘積等于的分式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接用除以得到的結(jié)果即為所求．【解析】解：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的除法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則進(jìn)行求解．6．下列各分式運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】A【分析】根據(jù)分式乘除法則逐一計(jì)算判斷即可．【解析】解：①，計(jì)算正確；②，計(jì)算正確；③，計(jì)算錯(cuò)誤；④，計(jì)算錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．1 B． C． D．不確定【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，去掉式子中的絕對值符號，即可對原式進(jìn)行化簡．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡，絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，化簡式子時(shí)，正確去掉絕對值符號是解決本題的關(guān)鍵．8．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)而根據(jù)分式的性質(zhì)約分即可．【解析】=．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平方差公式和完全平方公式變形，再約分即可得出答案．【解析】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．一支部隊(duì)排成a米長隊(duì)行軍，在隊(duì)尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長、為了回到隊(duì)尾，他在追上團(tuán)長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是（）A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘【答案】A【分析】根據(jù)題意得到隊(duì)伍的速度為，隊(duì)尾戰(zhàn)士的速度為，可以得到他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是，化簡即可求解【解析】解：由題意得：分鐘．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)題意列分式計(jì)算，理解題意正確列出分式是解題關(guān)鍵．二、填空題11．計(jì)算：=．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母，求解即可．【解析】解：，故答案為：．【點(diǎn)晴】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．12．計(jì)算：．【答案】/【分析】本題主要考查了分式除法運(yùn)算，根據(jù)分式除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：．故答案為：．13．（1）；

（2）．【答案】【分析】（1）根據(jù)分式的乘除計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】解：（1）；（2）．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握分式的運(yùn)算法則．14．計(jì)算：.【答案】1.【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則即可求解.【解析】==1故填：1.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式乘除，解題的關(guān)鍵是熟知分式的乘除運(yùn)算法則.15．（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）．【答案】【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；（3）先算乘方，再算除法即可；（4）先算乘方，再算乘除法即可；（5）先算乘方，再算除法即可；【解析】解：（1）（2）；（3）原式=；（4）原式=；（5）；故答案為：，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵16．計(jì)算÷=．【答案】-2【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果【解析】解：原式==-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．計(jì)算：．【答案】【分析】先將分子和分母分解因式，再計(jì)算乘法，并將結(jié)果化為最簡分式．【解析】．【點(diǎn)睛】此題考查分式的乘法計(jì)算法則：分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母．18．任意兩個(gè)和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)，可以得到它們的比值或者a、b、c的關(guān)系式，進(jìn)而解答．【解析】解：設(shè)，則，，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．三、解答題19．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）按分式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案；（2）（3）（4）先將分式的分子分母分解因式，再將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，最后約分即可求出答案．【解析】解：（1）；（2）=a2-2a+1；（3）=y（x-1）=xy-y；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．20．（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．【答案】（1）；（2）；（3）1；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根據(jù)分式約分法則先約分再按乘法法則計(jì)算即可；（2）先因式分解，把除變乘除式分子分母顛倒位置與被除式相乘，約分化為最簡分式即可；（3）先因式分解，把除變乘，再約分即可；（4）先因式分解，約分，再利用乘法分配律去分母括號即可；（5）先因式分解，把除法化為乘法，再