湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中第三個(gè)月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中第三個(gè)月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合的真子集個(gè)數(shù)是（）A.7 B.8 C.15 D.162.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，則（）A. B. C. D.4.設(shè)向量，滿足，，則等于（）A. B.2 C.5 D.85.若無論為何值，直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C.，且 D.，且6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則等于（）A. B. C. D.7.已知正三棱臺(tái)所有頂點(diǎn)均在半徑為5的半球球面上，且，，則該三棱臺(tái)的高為（）A.1 B.4 C.7 D.1或78.北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才、善于觀察.據(jù)說有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)于上底有個(gè)，下底有個(gè)，共層的堆積物（如圖所示），可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列，的和.若由小球堆成的上述垛積共7層，小球總個(gè)數(shù)為238，則該垛積最上層的小球個(gè)數(shù)為（）A.2 B.6 C.12 D.20二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列正確的是（）A. B.C. D.10.對(duì)于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點(diǎn) B.與有相同的最大值點(diǎn)C.與有相同的最小正周期 D.與的圖象有相同的對(duì)稱軸11.過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）A.B.直線恒過定點(diǎn)C.點(diǎn)的軌跡方程是D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，的模長為1，且，則________.13.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，已知，，，則________.14.若正實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)大于e的零點(diǎn)，則的值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）現(xiàn)有某企業(yè)計(jì)劃用10年的時(shí)間進(jìn)行技術(shù)革新，有兩種方案：貸款利潤A方案一次性向銀行貸款10萬元第1年利潤1萬元，以后每年比前一年增加的利潤B方案每年初向銀行貸款1萬元第1年利潤1萬元，以后每年比前一年增加利潤3000元兩方案使用期都是10年，貸款10年后一次性還本付息（年末結(jié)息），若銀行貸款利息均按的復(fù)利計(jì)算.（1）計(jì)算10年后，A方案到期一次性需要付銀行多少本息？（2）試比較A、B兩方案的優(yōu)劣.（結(jié)果精確到萬元，參考數(shù)據(jù)：，）16.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，底面為等腰梯形，.點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)在線段上.（1）在圖中過作平面的垂線段，為垂足，并給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D過程；（2）若.求平面與平面所成銳二面角的余弦值.17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).18.（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、（在，之間），若為橢圓上一點(diǎn)，且，①求的取值范圍；②求四邊形的面積.19.（本小題滿分17分）飛行棋是大家熟悉的棋類游戲，玩家通過投擲骰子來決定飛機(jī)起飛與飛行的步數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)玩家投鄭出6點(diǎn)時(shí)，飛機(jī)才能起飛.并且擲得6點(diǎn)的游戲者可以連續(xù)投擲骰子，直至顯示點(diǎn)數(shù)不是6點(diǎn).飛機(jī)起飛后，飛行步數(shù)即骰子向上的點(diǎn)數(shù).（1）求甲玩家第一輪投擲中，投鄭次數(shù)的均值）（2）對(duì)于兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，，我們將其可能出現(xiàn)的結(jié)果作為一個(gè)有序數(shù)對(duì)，類似于離散型隨機(jī)變量的分布列，我們可以用如下表格來表示這個(gè)有序數(shù)對(duì)的概率分布：（記，）1若已知，則事件的條件概率為.可以發(fā)現(xiàn)依然是一個(gè)隨機(jī)變量，可以對(duì)其求期望.（?。┥鲜銎谕琅f是一個(gè)隨機(jī)變量（取值不同時(shí)，期望也不同），不妨記為，求；（ⅱ）若修改游戲規(guī)則，需連續(xù)擲出兩次6點(diǎn)飛機(jī)才能起飛，記表示“甲第一次未能擲出6點(diǎn)”表示“甲第一次擲出6點(diǎn)且第二次未能擲出6點(diǎn)”，表示“甲第一次第二次均擲出6點(diǎn)”，為甲首次使得飛機(jī)起飛時(shí)拋擲骰子的次數(shù)，求.

數(shù)學(xué)答案題號(hào)1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.C集合共有（個(gè)）真子集.故選C.2.A解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要條件.3.C根據(jù)三角函數(shù)的概念，，，故選C.4.B.5.B易得原點(diǎn)到直線的距離，故直線為單位圓的切線，由于直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)必在雙曲線內(nèi)或雙曲線上，則.6.D依題意函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，因?yàn)椋屎瘮?shù)的周期為4，則，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A上下底面所在外接圓的半徑分別為，，過點(diǎn)，，，的截面如圖：，，，故選A.8.B由題意，得，，則由得，整理得，所以.因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以或6.因此有或而無整數(shù)解，因此.故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.BC對(duì)于A：令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，故B正確；對(duì)于C：令，則，故C正確；對(duì)于D，由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，令，則，故D錯(cuò)誤.故選BC.10.ACD，.令，則，；令，則，，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)是相同的，故選項(xiàng)A正確.的最大值點(diǎn)是，，的最大值點(diǎn)是，，兩個(gè)函數(shù)的最大值雖然是相同的，但最大值點(diǎn)是不同的，故選項(xiàng)B不正確.由正弦型函數(shù)的最小正周期為可知與有相同的最小正周期，故選項(xiàng)C正確.曲線的對(duì)稱軸為，，曲線的對(duì)稱軸為，，兩個(gè)函數(shù)的圖象有相同的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)D正確.故選ACD.11.BC作圖如下：設(shè)直線的方程為（斜率顯然存在），，，聯(lián)立消去整理可得，由韋達(dá)定理得，，A.，，故A錯(cuò)誤；B.拋物線在點(diǎn)處的切線為，當(dāng)時(shí)，，即，直線的方程為，整理得，直線恒過定點(diǎn)，故B正確；C.由選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，故C正確；D.，，則，令，，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，故D錯(cuò)誤.故選BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.1設(shè)，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，所以，所以，，所?13.在中，因?yàn)椋?又，可知為銳角且.由正弦定理，，于是.將及的值代入可得，平方得，故.14.e依題意得，，即，，，即，，，，，又，，同構(gòu)函數(shù)：，則，又，，，，又，，單調(diào)遞增，，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）A方案到期時(shí)銀行貸款本息為（萬元）.……（3分）（2）A方案10年共獲利：（萬元），……（5分）到期時(shí)銀行貸款本息為（萬元），所以A方案凈收益為：（萬元），……（7分）B方案10年共獲利：（萬元），……（9分）到期時(shí)銀行貸款本息為（萬元），……（11分）所以B方案凈收益為：（萬元），……（12分）由比較知A方案比B方案更優(yōu).……（13分）16.（1）連接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因?yàn)?，所以，，所以，，故，?又因?yàn)?，，平面，所以平?平面，所以平面平面.……（5分）過作垂直于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，有平?……（7分）（2）依題意，.故為，的交點(diǎn)，且.所以，.過作直線的平行線，則，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求銳二面角余弦值為.……（15分）17.（1）由，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，和在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，.（2）由已知得.①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，在上僅有一個(gè)零點(diǎn).……（10分）②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，，，在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在定理可知在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).……（15分）18.（1）設(shè)，為橢圓的焦半距，，，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)或，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，得，所以，又因?yàn)?，所以?從，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……（3分）（2）由題意，直線的斜率顯然存在.設(shè)，.……（4分），同理，..……（6分）聯(lián)立，……（8分），.……（9分）又，，，同號(hào)..，，.令，則