2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)檢測試卷考試說明：1．；考試2．試題答案全部做在答題紙上．一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題4分，7-12每小題5分，滿分54分）1.已知集合，，則___________.2.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則=___________.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則_________.4.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角________．5.展開式中常數(shù)項(xiàng)為________.6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_________．7.已知一個(gè)圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為8.已知，則的最小值為________.9.若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后其圖像關(guān)于軸對稱，則.10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（b為常數(shù)），則=______．11.關(guān)于不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12.若函數(shù)，則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)共_____對二、選擇題（本大題共4小題，13-14每小題4分，15-16每小題5分，滿分18分）13.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.15.如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.有最大值為10 D.有最小值為616.設(shè)定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)，其值域依次是和，給出下列四個(gè)命題：①“”是“對任意恒成立”的充要條件；②“”是“對任意恒成立”充分不必要條件；③“”是“對任意恒成立”的充要條件；④“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知復(fù)數(shù)，且純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)．求向量在向量上的數(shù)量投影．18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；19.近年來，某市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域內(nèi)修建矩形水池，矩形一邊在上，點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在邊上，且，米，設(shè)．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的最大值，并求出取得最大值時(shí)的值．20.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）在第（1）題的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時(shí)，求證；對任意的，且，有．21.已知過橢圓方程右焦點(diǎn)、斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)高三上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)檢測試卷考試說明：1．；考試2．試題答案全部做在答題紙上．一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題4分，7-12每小題5分，滿分54分）1.已知集合，，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知.故答案為.2.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則=___________.【正確答案】##【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得函數(shù)解析式即可求.【詳解】設(shè)，則，所以，則，所以.故答案為.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則_________.【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，所以，故4.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角________．【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化得，故，由于為銳角三角形，故.【詳解】解：∵，∴根據(jù)正弦定理邊角互化得：，又∵，∴，∴，∵為銳角三角形，∴∴故本題考查正弦定理解三角形，邊角互化，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題..5.展開式中常數(shù)項(xiàng)為________.【正確答案】240【分析】先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式令,所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為.本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_________．【正確答案】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)，有，求出的值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，，得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為.7.已知一個(gè)圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為【正確答案】##【分析】先利用側(cè)面積求出底面半徑，然后利用圓錐的體積公式可求答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，因?yàn)槟妇€長為2，側(cè)面積為2π，所以，解得；所以，圓錐的體積.故答案為.8.已知，則的最小值為________.【正確答案】4【分析】首先根據(jù)指對互化，表示為，再利用基本不等式求最小值.【詳解】，，且，即，等號成立的條件是，又因?yàn)?，解?故答案為4.本題考查指對互化，和基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于簡單題型.9.若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后其圖像關(guān)于軸對稱，則.【正確答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知函數(shù)向右平移個(gè)單位后得函數(shù)，此時(shí)函數(shù)關(guān)于軸對稱，則，又，所以時(shí)，.故答案為.10.已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（b為常數(shù)），則=______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用求出，再利用奇函數(shù)定義求出作答.【詳解】R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以.故11.關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為在能成立即可，再由二次函數(shù)性質(zhì)求出即可得的取值范圍是.【詳解】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即可得；即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故12.若函數(shù)，則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)共_____對【正確答案】【分析】由題意可知觀察的圖象與關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，由此作出相應(yīng)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只需觀察的圖象與關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，作出函數(shù)和的圖象如圖：由上圖可知：兩個(gè)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，即函數(shù)，則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)共4對.故4．二、選擇題（本大題共4小題，13-14每小題4分，15-16每小題5分，滿分18分）13.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由得或，進(jìn)而根據(jù)概念直接求解即可.【詳解】解：解不等式得：或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以，是或的充分不必要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A14.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上增函數(shù)；對于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù).故選：C.15.如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.有最大值為10 D.有最小值為6【正確答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積及加減法運(yùn)算結(jié)合余弦定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，又，，所以，故選：A.16.設(shè)定義域?yàn)榈膬蓚€(gè)函數(shù)，其值域依次是和，給出下列四個(gè)命題：①“”是“對任意恒成立”的充要條件；②“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；③“”是“對任意恒成立”的充要條件；④“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【正確答案】C【分析】由定義域?yàn)槭堑膬蓚€(gè)函數(shù)，其值域依次是和，可得為的最小值，為的最大值，結(jié)合反例即可判定各命題的正誤，從而得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)槭堑膬蓚€(gè)函數(shù)，其值域依次是和，所以為的最小值，為的最大值，所以當(dāng)時(shí)，對任意都有，反之當(dāng)對任意恒成立時(shí)，也可以得到，故“”為“對任意恒成立”的充要條件，所以①對，②錯(cuò)；因?yàn)槎x域?yàn)槭堑膬蓚€(gè)函數(shù)，其值域依次是和，所以為的最小值，為的最大值，所以當(dāng)時(shí)，可得“對任意恒成立”但是當(dāng)“對任意恒成立”時(shí)，得不到，如反例，，則，任意，fx?gx=x>0但是，所以“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；所以④對，③錯(cuò)故選：C.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)．求向量在向量上的數(shù)量投影．【正確答案】（1）（2）3【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的概念及乘法運(yùn)算計(jì)算即可；（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義和向量在向量上的數(shù)量投影公式計(jì)算即可.【小問1詳解】，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以且，解得.所以.【小問2詳解】由（1）可得，即，所以，所以向量在向量上的數(shù)量投影為.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）求出平面和平面的法向量，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則點(diǎn)、、、、、，，，則，因此，；（2），，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，.由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個(gè)半平面中對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.19.近年來，某市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域內(nèi)修建矩形水池，矩形一邊在上，點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在邊上，且，米，設(shè)．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的最大值，并求出取得最大值時(shí)的值．【正確答案】（1）平方米（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值.【分析】（1）根據(jù)題意利用扇形的面積公式求解即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合半徑與分別表示出，從而可求出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式對化簡變形，結(jié)合角的范圍可求出的最大值.【小問1詳解】由題意知，扇形的半徑米，所以扇形的面積為平方米；【小問2詳解】在中，，在中，，則由，得，所以，所以，，由，得，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.20.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）在第（1）題的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時(shí)，求證；對任意的，且，有．【正確答案】（1）（2）減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系求解即可；（3）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，，，切點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】，，，令，解得，當(dāng)，，當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值點(diǎn)，極小值為，無極大值；故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為，無極大值；【小問3詳解】證明：由，得，對任意的，且，令，則①，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，，，，，即②，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故③，由①②③可得，當(dāng)時(shí)，任意的，且，有.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，證明不等式.解題關(guān)鍵是不等式的變形，一是去分母，二是引入?yún)?shù)，這是關(guān)鍵所在，這樣可把不等式的證明分解為：，，后者用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性質(zhì)放縮，恰好利用（2）的結(jié)論得證.21.已知過橢圓方程右焦點(diǎn)、斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)題中所給的方程，求得的值，代入菱形面積公式得到答案；（2）右焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由題設(shè)條件知，，由此可求出的面積；（3）假設(shè)在線段上