2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)文匯中學(xué)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)文匯中學(xué)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下面四個(gè)標(biāo)志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.拋物線y=x?12+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A.1,2 B.1,?2 C.?1,2 D.?1,?23.在Rt?ABC中，∠C=90°.若AB=2,BC=1，則sinAA.12 B.55 C.4.若關(guān)于x的方程x2+6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是(

)A.36 B.?36 C.9 D.?95.若點(diǎn)?1,y1,2,y2A.y1<y2<y3 B.6.把拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為(

)A.y=3(x+2)2?5 B.y=3(x+5)2+27.如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE=∠C；②AEAB=DEBC；③ADAC=AEABA.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是(

)

A.a>0，b>0，c>0 B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c>09.如圖，將?ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到?ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上，則∠ADE的度數(shù)為(

)

A.40° B.70° C.80°10.使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴(單位：m3)與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x(單位：度)(0°<x≤90°)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為A.18° B.36° C.41° D.58°二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A3,1關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

．12.寫出一個(gè)圖象開口向上，與y軸的交點(diǎn)為(0,3)的二次函數(shù)解析式

．13.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(2,4)，B(3,0)，在第一象限內(nèi)以原點(diǎn)O為位似中心，把△OAB縮小為原來的12，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為

．14.如圖，在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上有一動點(diǎn)A，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=kx的圖象上運(yùn)動．若tan∠CAB=2，則k的值為

15.在Rt?ABD中，∠ABD=90°，點(diǎn)C在線段AD上，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，使得四邊形CEBF為正方形，此時(shí)AC=3cm，CD=4cm，則陰影部分面積為

cm2．16.小云計(jì)劃戶外徒步鍛煉，每天有“低強(qiáng)度”“高強(qiáng)度”“休息”三種方案，下表對應(yīng)了每天不同方案的徒步距離(單位：km).若選擇“高強(qiáng)度”要求前一天必須“休息”(第一天可選擇“高強(qiáng)度”).則小云5天戶外徒步鍛煉的最遠(yuǎn)距離為

km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低強(qiáng)度86654高強(qiáng)度121315128休息00000三、解答題：本題共12小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)計(jì)算或解方程：(1)4cos(2)x218.(本小題8分)如圖，正方形AB′C′D′是由正方形(1)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角；(2)若正方形的邊長是1，直接寫出C′D的長．19.(本小題8分)如圖，已知反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y=?x+b的圖象交于點(diǎn)A1,4(1)求n,b和k的值；(2)觀察圖象，不等式kx>?x+b20.(本小題8分)如圖，在Rt?ABC中，∠ACB=90°,D是邊AB的中點(diǎn)，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E.(1)求線段CD的長；(2)求cos∠DBE的值．21.(本小題8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于?4，求m的取值范圍．22.(本小題8分)如圖，某班級門口有一塊長為20厘米、寬為15厘米的小型長方形優(yōu)秀事跡展板，展板上粘貼上下左右對齊兩排的6個(gè)長方形且面積都為18平方厘米的班級學(xué)生主要事跡貼紙，若要求學(xué)生的主要事跡貼紙之間以及到上下左右的寬度都相等(設(shè)為x厘米)，如圖所示，求寬度x．

23.(本小題8分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)xx????3?2?101???y???0?3?4?30???(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)?4<x<0時(shí)，直接寫出y的取值范圍；(3)當(dāng)y>?3時(shí)，直接寫出x的取值范圍；(4)當(dāng)?3≤x<2時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c?t=0有實(shí)根，直接寫出24.(本小題8分)如圖，是位于校園內(nèi)的旗桿，在學(xué)習(xí)了27章“相似”之后，學(xué)生們積極進(jìn)行實(shí)踐活動，小麗和小穎所在的數(shù)學(xué)興趣小組測量旗桿的高度AB，有以下兩種方案：方案一：如圖1，在距離旗桿底B點(diǎn)30m遠(yuǎn)的D處豎立一根高2m的標(biāo)桿CD，小麗在F處站立，她的眼睛所在位置E、標(biāo)桿的頂端C和塔頂點(diǎn)A三點(diǎn)在一條直線上．已知小麗的眼睛到地面的距離EF=1.5m，DF=1.5m，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，點(diǎn)F、D、B在同一直線上．方案二：如圖2，小穎拿著一根長為16cm的木棒CD站在離旗桿30m的地方(即點(diǎn)E到AB的距離為30m).他把手臂向前伸，木棒豎直，CD/?/AB，當(dāng)木棒兩端恰好遮住旗桿(即E、C、A在一條直線上，E、D、B在一條直線上)，已知點(diǎn)E到木棒CD的距離為40cm．請你結(jié)合上述兩個(gè)方案，選擇其中的一個(gè)方案求旗桿的高度AB．25.(本小題8分)如圖，排球運(yùn)動場的場地長18m，球網(wǎng)高度2.24m，球網(wǎng)在場地中央，距離球場左、右邊界均為9m.一名球員在場地左側(cè)邊界練習(xí)發(fā)球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．在球運(yùn)行時(shí)，將球與場地左邊界的水平距離記為x(米)，與地面的高度記為y(米)，經(jīng)多次測試后，得到如下數(shù)據(jù)：x(米)0124678y(米)22.152.282.442.52.492.44(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；(2)擊球點(diǎn)的高度為______米，排球飛行過程中可達(dá)到的最大高度為______米；(3)求出y與x的函數(shù)解析式；(4)判斷排球能否過球網(wǎng)，并說明理由．26.(本小題8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,m)和點(diǎn)(3,n)在拋物線y=x

(1)當(dāng)m=0時(shí)，①求拋物線的對稱軸；②若點(diǎn)(?1,y1)，(t,y2(2)若mn<0，求b的取值范圍．27.(本小題8分)在?ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC邊上(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明：∠EAC=∠ADC；(2)過點(diǎn)C作AB的平行線，交DE于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28.(本小題8分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于點(diǎn)Px1,y1，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)Qx2,y(1)在Q12,1，Q2?4,?1，Q3(2)點(diǎn)Q是P點(diǎn)的等積點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，以O(shè)，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)已知點(diǎn)B(1,12)和點(diǎn)M(5,m)，點(diǎn)N是以點(diǎn)M為中心，邊長為2且各邊與坐標(biāo)軸平行的正方形T上的任意一點(diǎn)，對于線段BN上的每一點(diǎn)A，在線段PB上都存在一個(gè)點(diǎn)R使得A為R的等積點(diǎn)，直接寫出m參考答案1.D

2.A

3.A

4.C

5.D

6.D

7.C

8.B

9.B

10.C

11.(?3,?1)

12.y=x2+3(13.(1,2)

14.8

15.6

16.36

17.(1)解：4=4×=2=3?(2)解：x2∵a=1，b=?4，c=2，Δ=bx=?b±∴x1=2+

18.(1)解：由題意知，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A、旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為45°(2)解：∵正方形的邊長是1，∴AD=1，AC′=∴C′D=AC′?AD=∴C′D的長為2

19.(1)解：把A1,4代入y=kx把B4,n代入y=4x把A1,4代入y=?x+b得：4=?1+b解得b=5；(2)解：觀察圖象得，不等式kx>?x+b的解集為0<x<1或故答案為：0<x<1或x>4．

20.(1)解：∵AC=9,cos∴cos∴AB=15，∵?ABC為直角三角形，D是邊AB的中點(diǎn)，∴CD=1(2)解：∵AB=15，AC=9，∴BC=15∵?ABC為直角三角形，D是邊AB的中點(diǎn)，∴DC=DB=15∴∠DCB=∠ABC，∴sin∵BE⊥CD，∴∠BEC=90∴sin∴BE=36∴cos

21.(1)解：b∵(m?2)∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)解：原方程可化為：(x?1)(x?m+1)=0

∴x?1=0

或x?m+1=0解得：x1=1由題意可得：m?1<?4解得：m<?3

22.解：根據(jù)題意，得20?4x15?3x整理得x2解得x1=2，x故寬度x為2．

23.(1)解：∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(?3,0)和(1,0)，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x+3)(x?1)，將(0,?3)代入得：?3=a(0+3)(0?1)，解得：a=1，∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+3)(x?1)=x(2)解：函數(shù)圖象如圖所示：觀察圖象可知，當(dāng)?4<x<0時(shí)，?4≤y<5；(3)解：觀察圖象可知，當(dāng)y>?3時(shí)，x<?2或x>0；(4)解：觀察圖象可知，當(dāng)?3≤x<2時(shí)，?4≤y<5，∵當(dāng)?3≤x<2時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax∴?4≤t<5．

24.解：若選擇方案一：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，交CD于點(diǎn)G，由題意得：EH⊥CD，EF=DG=BH=1.5(米)，F(xiàn)D=EG=1.5(米)，EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(米)，∴CG=CD?DG=2?1.5=0.5(米)，∠CGE=∠AHE=90又∵∠CEG=AEH，∴△CEG∽△AEH，∴CGAH=∴AH=10.5(米)，∴AB=AH+BH=10.5+1.5=12(米)答：旗桿的高度AB為12米；若選擇方案二：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，交CD于點(diǎn)G，則∠AHE=∵CD//AB，∴∠CGE=∠AHE=90∴EH⊥CD，由題意得：CD=16(厘米)=0.16(米)，EG=40(厘米)=0.4(米)，EH=30(米)，∵CD//AB，∴?ECD∽?EAB，∴CDAB=∴AB=12(米)答：旗桿的高度AB為12米．

25.(1)解：如圖，(2)解：∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴擊球點(diǎn)的高度為2米；由表格和函數(shù)圖象可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2.5)，∴排球飛行過程中可達(dá)到的最大高度為2.5米；(3)解：由表格和函數(shù)圖象可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2.5)，∴設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=ax?6∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴2=36a+2.5，解得：a=?1∴y=?1(4)解：排球能過球網(wǎng)．理由如下：y=?當(dāng)x=9時(shí)，y=?1∵2.375>2.24，∴排球能過球網(wǎng)．

26.解：(1)①∵m=0，∴把(1,0)代入y=x2+bx∴y=x∴拋物線的對稱軸為直線：x=??1②∵(?1,y1)∴y∴(?1,2)，∴它的對稱點(diǎn)為(2,2)，∵y∴t<?1或t>2．(2)把點(diǎn)(1,m)和點(diǎn)(3,n)代入y=xm=1+b，n=9+3b，當(dāng)mn<0，有兩種情況，①m>0n<0，得解不等式①，得b>?1，解不等式②，得b<?3，∴此不等式組無解．②m<0n>0，則解不等式①，得b<?1，解不等式②，得b>?3，∴此不等式組的解集為?3<b<?1，綜上所述，b的取值范圍是：?3<b<?1．

27.(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示：證明：∵

∠ACB=90°∴

∠CAD+∠ADC=90°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

∠EAD=90°

，即

∠CAD+∠EAC=∴

∠EAC=∠ADC．(2)

EF=DF

；證明：如圖，作

EM⊥AC

于點(diǎn)M，與直線CF

交于點(diǎn)N，∴

∠EMA=∠ACB=90°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

AE=AD

，由(1)可知

∠EAM=∠ADC

，∴

△EAM?

△ADC(AAS)

，∴

AM=CD

，

EM=AC

，∵

AC=BC

，∴

∠CAB=45°∵

CN//AB

，∴

∠NCM=∠CAB=45°∴

MN=MC

，∴

EN=AM

，∴

EN=CD

，∵

∠EMC=∠ACB∴

EN//CD

，∴

∠ENF=∠DCF

，

∠NEF=∠CDF

，∴

△ENF?△DCF(ASA)

，∴

EF=DF

．

28.(1)∵P1,2，Q12,1，Q∴1×2=2×1，1×?4≠2×?1∴點(diǎn)P的等積點(diǎn)是Q1故答案為：Q1(2)設(shè)點(diǎn)Qx,y∵P1,2，點(diǎn)Q是P∴x=2y即y=1故點(diǎn)Q在直線y=1∴點(diǎn)Qx,當(dāng)點(diǎn)O平移得到點(diǎn)P時(shí)，平移規(guī)律是向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，∵O，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)Qx,12x向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移∴點(diǎn)Cx+1,∵點(diǎn)Cx+1,12∴點(diǎn)12解得x=?4，∴點(diǎn)C2當(dāng)點(diǎn)P平移得到點(diǎn)O時(shí)，平移規(guī)律是向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，∵O，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)Qx,12x向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移∴點(diǎn)Cx?1,∵點(diǎn)Cx?1,12∴點(diǎn)12解得x=4，∴點(diǎn)C1綜上所