專題5.7 三角函數(shù)的應用（4類必考點）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題5.7三角函數(shù)的應用TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：幾何中的三角函數(shù)模型】 1【考點2：三角函數(shù)在實際生活中的應用】 6【考點3：三角函數(shù)在物理學中的應用】 11【考點4：數(shù)學文化及新定義】 15【考點1：幾何中的三角函數(shù)模型】【知識點：幾何中的三角函數(shù)模型】1．（廣東省清遠市2023屆高三上學期期末數(shù)學試題）如圖，已知OAB是半徑為2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的動點，過點C作CH⊥OA，垂足為H，某地區(qū)欲建一個風景區(qū)，該風景區(qū)由△AOC和矩形ODEH組成，且OH=2OD，則該風景區(qū)面積的最大值為（

）A．52km2 B．114km2【答案】A【分析】設∠COA=θ，其中θ∈0,π2【詳解】設∠COA=θ，其中θ∈0,π2又OH=2OD，則OD=cos則風景區(qū)面積S=1又cos2則2cos當且僅當sinθ=12故選：A2．（2021秋·北京·高一?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，動點M在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動，每12分鐘轉動一周.若點M的初始位置坐標為12,3【答案】?【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形求出3分鐘轉過的角度，結合三角函數(shù)的定義計算點M所處位置M'【詳解】解：由題意可得圖：每12分鐘轉動一周，則運動到3分鐘時，轉過的角為312點M的初始位置坐標為12,32，若角的始邊為x軸的非負半軸，此時角α運動到3分鐘時，形成的角度為α+π所以sin動點M所處位置M'的坐標是?故答案為：?33．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）我國古代歷法從東漢的《四分歷》開始，就有各節(jié)氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目．唐代僧一行在編制《大衍歷》時發(fā)明了求任何地方每日晷影長和去極度的計算方法——“九服晷影法”，建立了晷影長l與太陽天頂距θ之間的對應數(shù)表（世界上最早的正切函數(shù)表）．根據(jù)三角學知識知：晷影長l等于表高h與天頂距θ正切值的乘積，即l=?tanθ．若對同一表高進行兩次測量，測得晷影長分別是表高的2倍和3倍，記對應的天頂距分別為θ1和θ2，則A．?1 B．?17 C．1【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得出tanθ【詳解】由題意知tanθ1故選：B.4．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）重慶奉節(jié)小寨天坑景區(qū)擁有世界上深度和容積最大的巖溶漏斗，吸引大量游客來此參觀留影.為了測量天坑邊上如圖1所示的A，B兩點間的距離，現(xiàn)在旁邊取兩點C，D測得CD=300米，∠ADB=3π4，∠BDC=∠DCA=π12，∠ACB=2π3（假設A，B【答案】300【分析】畫出圖形，在三角形中，結合正余弦定理即可解決.【詳解】如圖所示：在△BCD中，CD=300，∠BDC=π∠BCD=∠ACB+∠DCA=2π3+由正弦定理得：BDsin135°=300sin30°，解得BD=3002∠CAD=180°?15°AB2=AD所以AB兩點的距離為3005故答案為：3005．（2022春·廣西桂林·高一?？计谥校┮寻霃綖?0的半圓形木料截成矩形，應該怎么截取，才能使矩形面積達到最大？【答案】當α=π【分析】得出長方形截面面積表達式，轉化為求函數(shù)最值問題【詳解】易得OB=Rcos∴S=2OB?AB=2Rcos∴sin2α=1,α=即當α=π6．（2022·上海寶山·統(tǒng)考一模）某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當遮陽篷ABC與地面所成的角大小為______時，所遮陰影面ABC【答案】60°##π【分析】遮陰影面ABC'面積達到最大即是點C'到AB的距離最大，根據(jù)正弦定理表示出點C【詳解】如圖，過點C作CD⊥AB交AB于D，連接C'D因此∠C'DC就是遮陽篷ABC與地面所成的角，因為C'D⊥AB，所以求遮陰影面ABC設∠DCC'=θ，當θ=90°時遮陰影面ABC'故答案為：60°7．（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）某農(nóng)業(yè)觀光區(qū)的平面示意圖如圖所示，其中矩形ABCD的長AB＝2千米，寬AD＝1千米，半圓的圓心P為AB中點，為了便于游客觀光休閑，在觀光區(qū)鋪設一條由圓弧AE、線段EF、FC組成的觀光道路，其中線段EF經(jīng)過圓心P，點F在線段CD上（不含線段端點C，D），已知道路AE，F(xiàn)C的造價為每千米20萬元，道路EF造價為每千米70萬元，設∠APE＝θ，觀光道路的總造價為y萬元．(1)試求y與θ的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（θ），并寫出θ的取值范圍；(2)當θ為何值時，觀光道路的總造價y最小．【答案】(1)y=20θ+90+(2)θ=【分析】（1）過點F作FO⊥AB，垂足為O，利用三角函數(shù)求出FP,FC，由弧長公式求出AE，即可求解；（2）由導數(shù)正負研究原函數(shù)增減，確定最值，進而求出總造價y取最小值時的θ．【詳解】（1）由題意可知∠APE＝θ，過點F作FO⊥AB，垂足為O，則∠FPB＝θ，所以EF＝1+1sinθ，F(xiàn)C＝1?=20θ+90+70?20（2）由（1）得y'=20+20令y'=40?20cos2cosθ=12或cosθπππy'﹣0+y↘極大值↗所以θ=π3時，y最小，即當【考點2：三角函數(shù)在實際生活中的應用】【知識點：三角函數(shù)在實際生活中的應用】1．（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考期中）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A1,?3出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時8秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為x,y，其縱坐標滿足y=ft=RsinA．y=sinπ4C．y=2sinπ4【答案】D【分析】由點A坐標，可求得R.由題可知ft的最小正周期為8，據(jù)此可求得ω.又由題,有f0=?3，結合【詳解】因點A1,?3在水車上，所以由題可知ft的最小正周期為8，則2πω=8，又因f0=?3，則2sinφ=?綜上：ft故選：D2．（2023·高一課時練習）如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每π?min轉1圈，筒車的軸心O距水面的高度為2m．設筒車上的某個盛水筒W到水面的距離為d（單位：m）（在水面下，d則為負數(shù)）．若以盛水筒W剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：min）之間的關系d=Asin(1)求A、ω、φ、K的值；(2)求盛水筒W出水后至少經(jīng)過多少時間就可到達最高點？【答案】(1)A=4，ω=2，φ=?π6(2)π【分析】（1）根據(jù)題意可確定A,K的值，根據(jù)周期確定ω=2，由t=0時，d=0即可求得φ=?π（2）由（1）可得d=4sin【詳解】（1）由圖可知d的最大值為6，最小值為?2，即A+K=6?A+K=?2解得A=4因為每π?min轉1圈，所以函數(shù)的最小正周期T=2πω則d=4sin(2t+φ)+2,因為當t=0時，d=0，即所以sinφ=?12，由?（2）由（1）可得d=4sin2t?π6+2則2t?π6=π2+2kπ,故至少經(jīng)過π33．（2023·高一單元測試）某港口其水深度y（單位：m）與時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=ftt/h3691215182124y/m12.015.018.114.912.015.018.015.0經(jīng)長期觀察，y=ft的曲線可近似地看作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的圖象，其中A＞0，ω>0(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=ft(2)一般情況下，該港口船底離海底的距離為3m或3m以上時認為是安全的（船?？繒r，近似認為海底是平面）．某船計劃靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船體與水面相連處的垂直距離）需12m．如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，問：它至多能在港內(nèi)停留多長時間（忽略進出港所需時間）？【答案】(1)ft=3(2)18h【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得A+B=18?A+B=12，求得A=3，B=15，T=12，進而求得ω，φ，得到函數(shù)y=f（2）由題意得3sinπ6【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得A+B=18?A+B=12，則A=3，B=15，T=12由T=2πω=12當t=9時函數(shù)取最大值，即π6?9+φ=2kπ+π2，又因為φ∈?π,π，所以φ=?π所以函數(shù)y=ft的近似表達式為ft=3（2）由題意得3sinπ6因為0≤t≤24，所以π6通過正弦函數(shù)圖象可知，當π6t?π∈0,π∪2π,3π由于停泊時的要求3sin它至多能在港內(nèi)停留24?6=18h4．（2021春·山東·高一階段練習）2021年2月25日，習近平總書記在全國脫貧攻堅總結大會上莊嚴宣告，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標準下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，創(chuàng)造了人間奇跡．某貧困地在脫貧期間為方便無線網(wǎng)絡的全覆蓋，在該地區(qū)某條河的一側修建大型信號塔AB，河的另一側是以點O為圓心，803米為半徑的扇形扶貧農(nóng)作物種植區(qū)域OCD，假設扇形OCD與點B處于同一水平面上，記OB交弧CD于點E，若在點C，O，E處看點A的仰角分別為45°，30°和60°(1)求信號塔高度；(2)如果在CE間修一條直路，求直路CE長度．【答案】(1)120米(2)80米．【分析】(1)根據(jù)條件找出其中的幾何關系即可求解；(2)運用余弦定理建立方程即可求解.【詳解】（1）由題意，∠EAO=∠AEB?∠AOE=30°，所以AE=OE=803，在△AEB中，AB=AE（2）由（1）知，AB=120，在Rt△ABE中，BE=ABtan60°=403，在Rt△ABCcos∠BOC=在△EOC中，cos∠BOC=所以(1203)2所以公路長度為80米；綜上，信號塔高度AB為120米，公路長度CE為80米5．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省南通中學?？计谀┰诔擎?zhèn)化的舊房改造進程中，小明家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面.小明準備將店面改建成超市，遇到如下問題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉動靈活的平板車希望能自如在直角走廊運行.平板車平板面為矩形ABEF，它的寬為1米.直線EF分別交直線AC,BC于M,N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；請你結合所學知識幫小明解決如下問題：(1)若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且∠CAB=θ,0<θ<π2，試將平板面的長AB表示為θ(2)若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?【答案】(1)fθ=(2)長度不能超過42【分析】（1）由題意分別表示出DM=2sinθ，DN=2cosθ，（2）由題意可知對任意角0<θ<π2，平板車的長度≤fθmin，記【詳解】（1）DM=DPsinθ=2EN=BEtanθ=AB=EF=DM+DN?MF?EN===所以fθ=（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角0<θ<π2，平板車的長度記t=sinθ+cosθ=2又0<θ<π2則所以22<sinθ+π則f記4t?2=m，2<m=4t?2≤42?2，則函數(shù)f因為y=m,y=?12m在所以y=m?12m+4所以fθ=y=16m當m=42?2時取得最小值所以長度不能超過42【考點3：三角函數(shù)在物理學中的應用】【知識點：三角函數(shù)在物理學中的應用】1．（2023·高一課時練習）如圖，彈簧掛著的小球上下振動，它在t（單位：s）時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式?=2sin(t+πA．小球的最高點和最低點相距2cm B．小球在t=0時的高度?=1C．每秒鐘小球往復運動的次數(shù)為2π D．從t=1到t=3【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷小球的最高點和最低點相距4cm，判斷A;將t=0代入?=2sin(t+π【詳解】由題意彈簧掛著的小球上下振動，它相對于平衡位置的高度由關系式?=2sin則小球的最高點和最低點相距平衡位置都是2cm，故小球的最高點和最低點相距4cm小球在t=0時的高度?=2sin由?=2sin(t+π3)則每秒鐘小球往復運動的次數(shù)為12由題意知當t∈[π6,7π6因為(1,3)?[π6,7π6]且t=1時，小球在平衡位置以上位置，t=3時，小球在平衡位置以下位置，即小球此時從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運動，故彈簧長度逐漸變長，D正確，故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數(shù)關系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為t1，t2A．13s B．23s C．【答案】D【分析】由條件確定函數(shù)y=sinωt+φ的周期，再由周期公式求【詳解】因為t1+t2所以T=4，又T=2πω，所以所以y=sin由y>0.5可得sinπ所以2kπ+π6<π2所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為43故選：D.3．（2021春·天津?qū)幒印じ咭惶旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習）一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為63【答案】6【分析】由題意畫出圖形，求出相關量，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】記輪船的初始位置為A，燈塔位置為B，20分鐘后輪船的位置為C，如圖所示：由題意得：AC=18×1∠CAB=180BC=63在△ABC中，由余弦定理得：cos=6所以解得AB=6或AB=?12（舍去），燈塔與輪船原來的距離為6海里，故答案為：6.4．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中?？计谥校┡_風中心從A地以40km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A地正東【答案】1【分析】求出臺風路徑上距離B30km【詳解】設臺風運動到C處和D處距離B點30km，過B作BE⊥AD于E∵∠BAD=45°，AB=40，∴BE=AB∴CD=2CE=2B∴B處于危險區(qū)的時間為2040故答案為：125．（2023·全國·高一專題練習）某種波的傳播是由曲線y=Asinωx+φA>0來實現(xiàn)的，我們把函數(shù)解析式y(tǒng)=Asinωx+φ(1)若y=Asin12(2)將兩個“1類波”f1x=sinx+π6【答案】(1)?1,2.(2)2+【分析】（1）由題意可知A=2,確定12（2）利用兩角和的正弦公式化簡f1x+f2【詳解】（1）由題意知y=2sin12故sin1則函數(shù)y=2sin12（2）由題意得f=2故A=2【考點4：數(shù)學文化及新定義】【知識點：數(shù)學文化及新定義】1．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考開學考試）天文計算的需要，促進了三角學和幾何學的發(fā)展．10世紀的科學家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學方面的一些創(chuàng)造性的工作．比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形ABCD測得一座山的高GT=?（如圖①），再于山頂T處懸一直徑為SP且可以轉動的圓環(huán)（如圖②），從山頂T處觀測地平線上的一點I，測得∠OTI=α．由此可以算得地球的半徑r=（

）A．?sinα1?sinα B．?cos【答案】A【分析】根據(jù)解直角三角形，結合正弦函數(shù)的概念即可求得答案.【詳解】由圖可知，OI⊥TI,故OIOT=r故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習）圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節(jié)變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”）.當正午陽光照射在表上時，影子會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至.如圖是根據(jù)蚌埠市（北緯32.92°）的地理位置設計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）約為33.65°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）約為80.51°.圭面上冬至線和夏至線之間的距離（即BD的長）為7米，則表高（即AC的長）約為（

）（已知tan33.65°≈2A．4.36米 B．4.83米 C．5.27米 D．5.41米【答案】C【分析】由題意可求出BC=32AC，CD=529AC，再由【詳解】由圖可知tan33.65°=所以BC=32AC得BD=32?故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0-07”，478密位寫成“4-78”．若(sinα?cosα)2=2sinA．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角公式求出α，再根據(jù)所給算法一一計算各選項，即可判斷；【詳解】解：因為(sin即sin2即4sinαcosα=1，所以sin2α=解得α=π12對于A：密位制12?50對應的角為12506000對于B：密位制2?50對應的角為2506000對于C：密位制13?50對應的角為13506000對于D：密位制32?50對應的角為32506000故選：C4．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠距離測量的估算方法，其具體方法是在同一天（如夏至）的正午，于兩地分別豎起同高的標桿，然后測量標桿的影長，并根據(jù)“日影差一寸，實地相距千里”的原則推算兩地距離．如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A，B兩地豎起高度均為a寸的標桿AE與BF，AC與BD分別為標桿AE與BF在地面的影長，再按影長AC與BD的差結合“寸影千里”來推算A，B兩地的距離．記∠CEA=α,∠BDF=ββ<π2?α，則按照“寸影千里”的原則，A，A．1000asin(α+β)sinαsinC．1000acos(α+β)sinβcos【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出BD?AC，再由同角三角函數(shù)及兩角和的余弦公式化簡，最后根據(jù)“寸影千里”的原則