單調(diào)性與最大(小)值（1）教案- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

單調(diào)性與最大(小)值（1）一、課時(shí)內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性二、課時(shí)目標(biāo)1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表述函數(shù)單調(diào)性的定義.2.會(huì)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性,能歸納出證明單調(diào)性的-般步驟.3.能根據(jù)圖象的升降特征，劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)。4.在抽象函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程及符號(hào)表示的作用。三、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的定義.2.難點(diǎn):用符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性.四、教學(xué)過(guò)程1.明確學(xué)習(xí)目標(biāo),引出課題前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示方法,知道函數(shù)y=f(x)(x∈A)描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.這樣,我們就可以通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中變化的規(guī)律了,這就是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)的目的.那么,什么是函數(shù)的基本性質(zhì)呢?課本中給了我們這樣的解釋:變化中的不變形就是性質(zhì),變化中的規(guī)律性也是性質(zhì).我們知道,函數(shù)由定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則三個(gè)要素構(gòu)成,因變量y隨自變量x的變化而變化,因此，當(dāng)x按某種規(guī)律變化時(shí),y所呈現(xiàn)的規(guī)律性和不變性就是函數(shù)的性質(zhì).實(shí)際上,有些性質(zhì)我們?cè)诔踔须A段已經(jīng)接觸過(guò).設(shè)計(jì)意圖:明確本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo),自然過(guò)渡到本節(jié)課學(xué)習(xí)的主題.幫助學(xué)生從一般觀念上了解什么是“函數(shù)的性質(zhì)”,便于開(kāi)展研究.[問(wèn)題1]通過(guò)觀察函數(shù)圖像,往往能給我們以函數(shù)變化規(guī)律的啟發(fā).觀察下面三個(gè)函數(shù)的圖象,你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎?師生活動(dòng):(1)學(xué)生結(jié)合初中學(xué)過(guò)的知識(shí),用自然語(yǔ)言表述三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、第三個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)等;(2)教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)構(gòu)成圖象的基本元素是點(diǎn),因此從圖象整體上看,函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨的增大而增大,在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的圖象呈，上升趨勢(shì),實(shí)際上是圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)增大時(shí),對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)隨之增大;(3)教師指出,在初中,我們利用函數(shù)圖象研究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì),這一性質(zhì)就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察一般情況的函數(shù)圖象，用圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性.2.觀察具體函數(shù)的圖象,實(shí)現(xiàn)從自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)單調(diào)性的過(guò)渡教師講授:初中階段我們對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)是通過(guò)對(duì)具體函數(shù)圖象的觀察,從直觀的角度,用自然語(yǔ)言進(jìn)行定性的描述.接下來(lái)我們要考慮如何用符號(hào)語(yǔ)言,對(duì)單調(diào)性進(jìn)行定量的刻畫(huà).實(shí)際上,這樣做很有必要.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的必要性.[問(wèn)題2]如何用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性?師生活動(dòng):指導(dǎo)學(xué)生先用自然語(yǔ)言從直觀角度刻畫(huà):當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大。(2)先鎖定x<0時(shí)的情況，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“x<0”可以用符號(hào)語(yǔ)言“x∈(,0)”表示。(3)指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“增大、減小”描述的是不等關(guān)系,需要結(jié)合不等式的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表述,“x的增大”通過(guò)“任取”來(lái)表示,“y減小”通過(guò)“”來(lái)表示.給出函數(shù)在x<0時(shí)單調(diào)遞減的符號(hào)語(yǔ)言。對(duì)任意的，得到,當(dāng)x>x時(shí),有，我們就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間(,0)上是單調(diào)遞減的.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生先用符號(hào)語(yǔ)言描述具體函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性.在借助具體函數(shù)給出準(zhǔn)確描述的過(guò)程中,通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串,加深學(xué)生對(duì)借助不等式語(yǔ)言和邏輯用語(yǔ)描述函數(shù)性質(zhì)的體會(huì),突破難點(diǎn).追問(wèn):如何用符號(hào)語(yǔ)言描述“函數(shù)在x>0時(shí)單調(diào)遞增”?.師生活動(dòng):1.學(xué)生通過(guò)類(lèi)比上面的過(guò)程,自主完成.2.教師通過(guò)巡視，指導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫(huà).設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)前面的講解和引導(dǎo),學(xué)生有了使用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)具體函數(shù)的單調(diào)性的經(jīng)驗(yàn),對(duì)x>0的情況,學(xué)生可以通過(guò)模仿自主完成.教師可以借此機(jī)會(huì),落實(shí)學(xué)生的理解情況.[問(wèn)題3]你能用符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)的單調(diào)性嗎?師生活動(dòng):(1)教師巡視指導(dǎo),有部分學(xué)生可能會(huì)忘記函數(shù)f(x)=|x|的圖象,提醒學(xué)生這是上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容;(2)提醒學(xué)生結(jié)合前面的例子,注意體會(huì)函數(shù)單調(diào)性的“局部性”,單調(diào)增和單調(diào)減時(shí)，f(x)與f(x)的不等號(hào)方向.設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題2中,學(xué)生只是通過(guò)模仿刻畫(huà)了f(x)=x在(0,+∞)上的單調(diào)性.問(wèn)題3用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用符號(hào)語(yǔ)言,刻畫(huà)具體函數(shù)的單調(diào)性.通過(guò)問(wèn)題3,提高學(xué)生對(duì)用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的理解,為進(jìn)一步理解一般函數(shù)單調(diào)性的定義作鋪墊.3.閱讀教材,明確函數(shù)單調(diào)性的概念[問(wèn)題4]如何利用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)-般函數(shù)的單調(diào)性呢?請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材76頁(yè)到77頁(yè)最后思考部分的內(nèi)容,并回答如下問(wèn)題:(1)說(shuō)說(shuō)你對(duì)單調(diào)性定義的理解;(2)你是如何理解定義中的“任意”、“都有”這些詞的?師生活動(dòng):學(xué)生閱讀、思考并回答,然后教師結(jié)合前面的具體實(shí)例對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念做簡(jiǎn)要總結(jié),包括畫(huà)關(guān)鍵詞(“任意”、“都有”),強(qiáng)調(diào)不等式語(yǔ)言和邏輯用語(yǔ)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的作用,強(qiáng)調(diào)函數(shù)單調(diào)性描述的可以是“整體單調(diào)”，也可以是“局部區(qū)間單調(diào)”等.設(shè)計(jì)意圖:經(jīng)過(guò)三個(gè)具體實(shí)例的描述，學(xué)生可以通過(guò)閱讀教材明確函數(shù)單調(diào)性的概念,給學(xué)生獨(dú)立思考、內(nèi)化知識(shí)的時(shí)間.通過(guò)老師總結(jié)和點(diǎn)評(píng),加深對(duì)概念的理解.4.概念辨析;[問(wèn)題5]思考教材中的問(wèn)題:(1)設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量組成的集合,而且,當(dāng)時(shí)，都有,我們能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎?你能舉例說(shuō)明嗎?師生活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖舉出反例.追問(wèn):我們能說(shuō)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)嗎?師生活動(dòng):1.通過(guò)與學(xué)生交流、互動(dòng),了解學(xué)生的看法.2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)單調(diào)性概念解釋為什么不能說(shuō)函數(shù)在定義域上是減函數(shù).設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步理解函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言.(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎?你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上函數(shù)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎?設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)學(xué)生結(jié)合單調(diào)性概念,梳理學(xué)過(guò)的函數(shù),通過(guò)舉例說(shuō)明,檢測(cè)學(xué)生對(duì)單調(diào)性理解的認(rèn)識(shí).5.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[問(wèn)題6]根據(jù)定義證明函數(shù)在定義域上是增函數(shù).師生活動(dòng):(1)由學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程;(2)注意引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系一次函數(shù)兩種情況的圖象簡(jiǎn)圖;(3)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①取數(shù):任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差:f(x1)－f(x2)；③變形:通常是因式分解和配方；④定號(hào):判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)；⑤結(jié)論:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.(4)實(shí)際上,本例的一次函數(shù)不是具體的一個(gè)函數(shù),因此也畫(huà)不出具體的函數(shù)圖象,但是我們可以借助嚴(yán)格的推理和運(yùn)算判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而體會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的必要性;(5)引導(dǎo)學(xué)生能夠通過(guò)代數(shù)運(yùn)算的角度“看”一次函數(shù)的單調(diào)性,即對(duì)于代數(shù)式ax+b,當(dāng)a>0時(shí)，隨著x增大,代數(shù)式ax+b的值隨之增大,當(dāng)a<0時(shí),隨著x.增大,代數(shù)式ax+b的值隨之減小.設(shè)計(jì)意圖:根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，并能歸納出證明的一般步驟.[問(wèn)題7]物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大,試對(duì)此用函數(shù)單調(diào)性證明.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言解釋生活中的實(shí)際問(wèn)題.[問(wèn)題8]根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。(1)通過(guò)與題目“若b>a>1,證明:的聯(lián)系和比較,結(jié)合前面不等式性質(zhì)中關(guān)于利用實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)證明不等式的大小(作差法)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生克服運(yùn)算上的難點(diǎn);(2)再次強(qiáng)調(diào)，實(shí)際上，我們還不了解函數(shù)的具體圖象,但是我們能夠借助單調(diào)性的定義,通過(guò)推理和運(yùn)算判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;(3)注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)代數(shù)運(yùn)算的角度“看”函數(shù)的單調(diào)性.通過(guò)結(jié)合基本不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí),指出函數(shù)在[1,+∞)上有最小值2,為下一節(jié)課內(nèi)容作鋪墊.設(shè)計(jì)意圖:積累利用函數(shù)單調(diào)性