專題49 直線與橢圓、雙曲線解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)P(yáng)age專題49直線與橢圓、雙曲線（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 14【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系 14【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題 27【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問(wèn)題 42【分層檢測(cè)】 55【基礎(chǔ)篇】 55【能力篇】 66【培優(yōu)篇】 71真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．參考答案：1．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時(shí)，過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開(kāi)即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過(guò)韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無(wú)關(guān)的定值，所以.方法二：由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項(xiàng)得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.3．(1)(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．4．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.5．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.6．(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系一、解答題1．（2024·安徽·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，C在點(diǎn)處的切線l分別交直線和直線于兩點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓上、下頂點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合）.①求證：與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.3．（2025·廣東·一模）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為.(1)求;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn).（i）證明：直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；（ii）求證：是定值.5．（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.6．（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，Ax1,y1、B(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）聯(lián)立曲線后消去縱坐標(biāo)可得一元二次方程，借助橢圓方程代入計(jì)算可得該一元二次方程有唯一解即可得證；（2）由（1）可得直線的方程，即可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出與即可得.【詳解】（1）聯(lián)立，整理得：，又因?yàn)?，即，則，即，此方程有唯一解，即直線與橢圓相切；（2）由（1）知，直線的方程為，即，將直線和直線分別與上式聯(lián)立，由題意可得，因?yàn)镕1,0，所以，所以，即為定值.2．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)直接求解即可；（2）①由題知直線斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出直線和的方程，化簡(jiǎn)得到，即可判斷直線，的交點(diǎn)在直線上.②設(shè)直線與直線，的交點(diǎn)分別為，，表示出，即求的最小值，利用換元法可得，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，消去可得，則，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，因?yàn)?，，可得直線，直線，所以．即，解得，所以直線，的交點(diǎn)在直線上.②設(shè)直線與直線，的交點(diǎn)分別為，，則由（1）可知：直線，直線．聯(lián)立和方程，解得，，因?yàn)?，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，可得，只需求的最小值．由弦長(zhǎng)公式可得．令，則．可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．即的最小值為，可得面積的最小值為．故直線，，圍成的三角形面積的最小值為.3．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后表示出直線的斜率，再由它們的斜率之積是，列方程化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得直線為0，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由得，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入上式化簡(jiǎn)可得，從而可求得直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)是，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡是除去兩點(diǎn)的橢圓.（2）證明：設(shè)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可知，且有，解得，此時(shí)直線為0，②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則此時(shí)有：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可得：，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，所以，所以，所以所以，則或，當(dāng)時(shí)，則直線恒過(guò)點(diǎn)與題意不符，舍去，故，直線恒過(guò)原點(diǎn)，結(jié)合①，②可知，直線恒過(guò)原點(diǎn)，原命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.4．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得；（2）（i）設(shè)，，，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由（i）求出，，再由計(jì)算可得.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，因?yàn)榫€段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則，，∴點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，則，，所以，

所以點(diǎn)的軌跡方程為

（2）（i）設(shè)，，，若，則，即直線的方程為，顯然滿足直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；若，顯然，由題可知，則，，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，不妨令，，所以，，，即，即，∴直線的方程為，即，又∵點(diǎn)在上，，則，即直線的方程為，將方程聯(lián)立，得，，由，可知方程有且僅有一個(gè)解，∴與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

（ii）由（i）聯(lián)立，可得，同理可得，，所以是定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可聯(lián)立求解曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合不等式即可求解，【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)，則，將其代入雙曲線方程，又，解得，此時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，故，則，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，故，因此，綜上可得.6．(1)(2)(3).【分析】（1）由題意，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解；（2）易知直線不與x軸重合，設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合計(jì)算求得即可；（3）如圖，由（2），利用弦長(zhǎng)公式求出，利用平行線之間的距離公式求出平行線與之間的距離，進(jìn)而表示，結(jié)合換元法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（2）顯然，直線不與x軸重合，設(shè)直線方程為，由，得，由，得，其中，恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為.（3）延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)Q.則由對(duì)稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題，設(shè)，直線程為，直線方程，由第（2）問(wèn)，易得，因?yàn)椋?，因而，平行線與之間的距離為，因此，.令，則，得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），所以，四邊形面積的取值范圍為.反思提升：1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.2.對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題一、解答題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率記為.(1)證明：；(2)若，焦距為.①求橢圓的方程；②若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.3．（2024·廣東廣州·三模）一般地，當(dāng)且時(shí)，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓上異于其左，右頂點(diǎn)M，N的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，直線與橢圓C，自上而下依次交于R，Q，S，T四點(diǎn)，探究，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，直線與橢圓C交于點(diǎn)D，E，求的值．4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：；(3)若直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．5．（2024·安徽池州·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；(2)直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).6．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線()經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．(1)(2)或．(3)．【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，即可求解；（2）由題意設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，結(jié)合的面積建立方程，計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，進(jìn)而，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長(zhǎng)為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因?yàn)榈男甭适堑男甭实?倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．

2．(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，由點(diǎn)差法代入計(jì)算，即可證明；（2）①根據(jù)題意，由條件可得的方程，代入計(jì)算，即可得到橢圓方程；②聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，由可知，，即可得到直線過(guò)定點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)Ax則，將兩點(diǎn)代入橢圓方程，得兩式作差得，所以，所以，即.（2）

①因?yàn)?，所以，?因?yàn)榻咕酁?，所以，所以，所以橢圓的方程為.②聯(lián)立得，得，所以.由（1）得，，由可知，.因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，所以，所以或，滿足（※）式.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)2,0（舍去）；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈妊切?，且為底邊，可求得，所以?dāng)時(shí)，，即直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即直線的方程為.3．(1)，理由見(jiàn)解析(2)7【分析】對(duì)小問(wèn)（1）可通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓，得到線段與線段的中點(diǎn)相同；對(duì)小問(wèn)（2）可先求出點(diǎn)與點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，求出直線與直線斜率之間的關(guān)系，然后設(shè)斜率為參數(shù)求解.【詳解】（1）將橢圓與直線聯(lián)立：，整理得；，，設(shè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理：，同理，將與直線聯(lián)立可得：，，設(shè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理：，，即線段與線段的中點(diǎn)相同.故.（2）橢圓的離心率為，則，的方程為：，可得，由題意可知直線，斜率均存在且不為零.設(shè)，將點(diǎn)代入橢圓，，令，則；寫(xiě)出直線方程：，：，已知點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓內(nèi)部，故一定有兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立與，整理得：；設(shè)，，由韋達(dá)定理：，，，同理，將替代成可得，可得，故的值為7.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)涉及到圓錐曲線截直線得到的線段問(wèn)題，通常：（1）先設(shè)直線方程，設(shè)出曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)立，直線代入圓錐曲線化簡(jiǎn)，消去或者中的一個(gè)；（3）通過(guò)韋達(dá)定理可以將兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)之和與兩坐標(biāo)之積用參數(shù)表示而不用求出兩個(gè)交點(diǎn)，這種方法就是通常所說(shuō)的“設(shè)而不求”.4．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離公式即可列等式求解；（2）根據(jù)直線與雙曲線聯(lián)立方程，得韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；（3）依據(jù)題意得直線和直線的方程分別為，聯(lián)立直線和曲線E方程求得韋達(dá)定理，從而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q到兩漸近線的距離，接著根據(jù)計(jì)算結(jié)合變量取值范圍即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，所以，整理得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，

①直線的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)直線方程為，，則且由點(diǎn)A和點(diǎn)B在曲線E上，故，所以，同理可得，所以；②直線斜率存在時(shí)，則可設(shè)方程為，Ax1,y1聯(lián)立，則即，且，且，所以，同理，所以，綜上，.（3）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，且曲線E的漸近線方程為，故可分別設(shè)直線和直線的方程為和，且，

聯(lián)立得，設(shè)Ax1,y1則，，，故，因?yàn)镻是中點(diǎn)，所以即，同理可得，所以P到兩漸近線的距離分別為，，Q到兩漸近線的距離分別為，，由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，則四邊形面積為，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解四邊形面積的取值范圍的關(guān)鍵1在于明確直線和直線的變量m的范圍為，；關(guān)鍵2在于先將四邊形補(bǔ)形為矩形再分割為四邊形和兩個(gè)三角形利用來(lái)計(jì)算求解.5．(1)6(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；（2）利用設(shè)而不求的方法結(jié)合同一法即可證得為的中點(diǎn).【詳解】（1）由題意知，所以的方程為直線的傾斜角為，過(guò)點(diǎn)直線的方程為設(shè)Ax1,得與互相垂直的傾斜角為由對(duì)稱性可知

（2）方法一：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得②聯(lián)立，整理得是的中點(diǎn)③由②③得，即④同理聯(lián)立得⑤由①④⑤得⑥聯(lián)立，得取中點(diǎn)，所以⑦由⑥⑦得與重合，即是中點(diǎn).方法二：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得設(shè)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立，得，又是的中點(diǎn)整理可得的中點(diǎn)又直線恒過(guò)定點(diǎn)，，同理三點(diǎn)共線所以的中點(diǎn)在上，又上的點(diǎn)在上所以與重合，即是中點(diǎn)方法三：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得，所以②設(shè)的坐標(biāo)分別為，代入得兩式相減得，變形為，即③由②③得，即④同理聯(lián)立得，所以⑤由①④⑤得，所以⑥取中點(diǎn)，同理可證⑦由⑥⑦得.結(jié)合均在直線上，所以與重合，即是中點(diǎn).

6．(1)；(2)不能，證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由漸近線方程求得一個(gè)關(guān)系，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，若是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出直線l方程，再聯(lián)直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷.【詳解】（1）由題雙曲線()經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為，所以，，解得，所以雙曲線C的方程為：.（2）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)Ax所以，兩式作差得，即，若是線段的中點(diǎn)，則，則，所以直線l的斜率，則直線l的方程為，將直線l與雙曲線聯(lián)立，得，，方程無(wú)解，所以這樣的直線不存在，即點(diǎn)P不能是線段的中點(diǎn).反思提升：1.弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問(wèn)題一、解答題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2023·四川綿陽(yáng)·三模）在平面直角坐標(biāo)系?中：①已知點(diǎn)?，直線?，動(dòng)點(diǎn)?滿足到點(diǎn)?的距離與到直線?的距離之比?；②已知點(diǎn)?分別在?軸，?軸上運(yùn)動(dòng)，且?，動(dòng)點(diǎn)?滿?；③已知圓?的方程為?，直線?為圓?的切線，記點(diǎn)?到直線?的距離分別為?，動(dòng)點(diǎn)?滿足?．(1)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)?的軌跡方程；(2)記（1）中動(dòng)點(diǎn)?的軌跡為?，經(jīng)過(guò)點(diǎn)?的直線?交?于?兩點(diǎn)，若線段?的垂直平分線與?軸相交于點(diǎn)?，求點(diǎn)?縱坐標(biāo)的取值范圍．3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作拋物線的切線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，BC的中垂線交x軸于點(diǎn)G，若，的面積分別記為，，且，點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)若互相垂直的兩條直線均過(guò)點(diǎn)，且，直線交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，，求.5．（2025·寧夏·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)T到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記T的軌跡為曲線E，直線交E右支于A，B兩點(diǎn)，直線交右支于C，D兩點(diǎn)，.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過(guò)點(diǎn)Q作E兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形面積的取值范圍.6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，.已知點(diǎn)和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn).(i)若，求直線的斜率；(ii)求證：是定值.參考答案：1．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得.（2）設(shè)，求出，再利用給定關(guān)系求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍.（3）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，得，即，又，所以.（2）設(shè)，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設(shè)，由圖象對(duì)稱性，得、關(guān)于軸對(duì)稱，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設(shè)直線，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．2．(1)所選條件見(jiàn)解析，?．(2)?．【分析】（1）分別根據(jù)選擇的條件，設(shè)，把條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，化簡(jiǎn)得到與之間的關(guān)系即為點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，得到，線段的垂直平分線的方程為，令，得.代入得，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）若選①：設(shè)?，根據(jù)題意，得?，整理可得?，所以動(dòng)點(diǎn)?的軌跡方程為?．若選②：設(shè)?，則?，(I)因?yàn)?，所以?，整理，得?，代入(I)得：?，所以動(dòng)點(diǎn)?的軌跡方程為?．若選③：設(shè)?，直線?與圓相切于點(diǎn)?，則?由橢圓的定義，知點(diǎn)?的軌跡是以?為焦點(diǎn)的橢圓，所以?，故，?所以動(dòng)點(diǎn)?的軌跡方程為?．（2）設(shè)?，當(dāng)直線?的斜率不存在時(shí)，?當(dāng)直線?的斜率存在時(shí)，設(shè)直線?的斜率為?，線段?的中點(diǎn)為?，由?，得，?所以，?線段?的垂直平分線的方程為，?令x=0?，得?．由?，得，?由?得?，所以?，則?或?，所以?或?．綜上所述，點(diǎn)?縱坐標(biāo)的取值范圍是?．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）根據(jù)條件中的點(diǎn)到直線距離，點(diǎn)到點(diǎn)的距離，向量關(guān)系及橢圓定義，分別化簡(jiǎn)求得與之間的關(guān)系，即可求得軌跡方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程可以求得參數(shù)滿足的關(guān)系，代入到題干條件，求得直線的方程，從而求得軸上的截距滿足的一元二次函數(shù)條件，從而求得結(jié)果.3．(1)(2)【分析】（1）不妨設(shè)在第一象限，由題意可知，再結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上及離心率從而可求解；（2）設(shè)出點(diǎn)，求出切線方程，再代入橢圓，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，求出的垂直平分線，從而求出的坐標(biāo)，從而可求解.【詳解】（1）由，可知焦點(diǎn)．不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由題意可知點(diǎn)．由點(diǎn)P在橢圓上，得．又因?yàn)椋?，則，可得，解得．所以，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，由得，，所以切線l的方程為，即．代入橢圓方程，得．由，得．設(shè)點(diǎn)，，，則．，則GE的方程為，即，令，得．在直線l的方程中令，得．，，，，可得．于是，可得．化簡(jiǎn)得，解得，符合．所以（舍去），進(jìn)而，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．(1)(2)①；②【分析】（1）設(shè)雙曲線方程為，表示漸近線方程，從而得到方程組，求出、，即可求出曲線方程；（2）①首先判斷直線的斜率均存在且不為，設(shè)的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)、、三點(diǎn)共線，表示出，即可得解；②首先得到，再利用并項(xiàng)求和法及錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，則，解得，所以的方程為；（2）①當(dāng)直線中又一條直線的斜率為，另一條直線的斜率不存在是，直線與軸重合，不符合題意；所以直線的斜率均存在且不為，設(shè)的方程為，Ax1,y1，Bx2由，得，則，所以，，所以，則，所以，同理可得，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，又，所以，因?yàn)?，所以；②，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，代入計(jì)算，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別設(shè)直線和直線的方程為和，然后聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，分別得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式與面積公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，所以，整理得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，且曲線的漸近線方程為，故可分別設(shè)直線和直線的方程為和，且，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,y1則，，，故，因?yàn)槭茿B中點(diǎn)，所以即，同理可得，所以到兩漸近線的距離分別為，.到兩漸近線的距離分別為，，由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接OP，則四邊形面積為，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形面積的取值范圍為.6．(1)(2)(i)；(ii)【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求解即可；（2）（I）構(gòu)造平行四邊形，求出，然后利用弦長(zhǎng)公式求直線的斜率即可；（II）利用三角形相似和雙曲線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）將點(diǎn)和代入雙曲線方程得：，結(jié)合，化簡(jiǎn)得：，解得，雙曲線的方程為．（2）(i)設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)記為，則．因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即，故三點(diǎn)共線．又因?yàn)榕c互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，所以．由題意知，直線斜率一定存在，設(shè)的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：，故，直線與雙曲線上支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得．由弦長(zhǎng)公式得，則，且由圖可知，即，代入解得．(ii)因?yàn)?，由相似三角形得，所以．因?yàn)椋裕蕿槎ㄖ担军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)(ii)的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理即可順利得解.反思提升：1.求解直線與橢圓的綜合問(wèn)題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)用設(shè)而不求的方法.2.直線方程的設(shè)法，根據(jù)題意，如果需要討論斜率不存在的情況，則設(shè)直線方程為x＝ty＋m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐標(biāo)軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．3．（2024·山東泰安·三模）已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．二、多選題5．（2024·四川·一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)不共線時(shí)，的周長(zhǎng)為D．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則6．（22-23高二下·廣西·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的周長(zhǎng)為16C．的面積為 D．7．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．的面積為 B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為三、填空題8．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．9．（2022·安徽蚌埠·三模）已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí),直線的方程為.10．（2024·黑龍江吉林·二模）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，若的面積是4，則.四、解答題11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).12．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：上任意一點(diǎn)Q（異于頂點(diǎn)）與雙曲線兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為，E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，|EF|的最小值為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M，N兩點(diǎn)，且，是否存在m，n使得橢圓的離心率為？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)1234567答案CCBBBCDABAB1．C【分析】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與橢圓在在第一象限有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合及直線與橢圓相切即可求解.【詳解】

原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與橢圓在在第一象限有交點(diǎn)，當(dāng)直線與橢圓交于上頂點(diǎn)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合可得，；聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，令，解得（負(fù)值舍去），所以.故選：C.2．C【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得所以若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線，即，所以，又過(guò)點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以解得，所以C的方程為故選：C3．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性求出漸近線方程，再結(jié)合給定面積計(jì)算得解.【詳解】由為直角三角形，及雙曲線的對(duì)稱性知，且，則的漸近線方程為，即，由的面積為4，得，解得，又，因此，所以的方程為.故選：B4．B【分析】利用點(diǎn)差法即可．【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．5．BCD【分析】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)Px0,y【詳解】對(duì)于A，由題意知：，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為橢圓的焦點(diǎn)弦，，B正確；對(duì)于C，，的周長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，作垂直于直線，垂足為，設(shè)Px0,，，，，D正確.故選：BCD.6．AB【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)即可求解拋物線的定義，即可判斷A，聯(lián)立雙曲線方程與拋物線方程，即可求解交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解長(zhǎng)度，即可判斷BC,由余弦定理即可判斷D.【詳解】由已知，雙曲線右焦點(diǎn)，即，故A項(xiàng)正確．且拋物線方程為．對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得．，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，．設(shè)，又，所以，，，則的周長(zhǎng)為16，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB

7．AB【分析】根據(jù)雙曲線方程得a，b，c，由此可得漸近線方程和以為直徑的圓的方程，由此即可判斷C，D；聯(lián)立漸近線與圓的方程，可求得坐標(biāo)，由此即可判斷A，B．【詳解】由雙曲線方程知，，所以雙曲線的漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；又，所以為直徑的圓方程為，故D錯(cuò)誤；由，得或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或，故B正確；又，所以，故A正確．故選：AB．8．（或，答案不唯一）【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無(wú)解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.9．【分析】根據(jù)點(diǎn)差法和橢圓的離心率可求出，再根據(jù)的中點(diǎn)為，可得，由此可得直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題可知直線的斜率存在；設(shè),由于點(diǎn)都在橢圓上，所以①,②,，化簡(jiǎn)得；又因?yàn)殡x心率為，所以，所以，即；又線段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的斜率為，故所求直線的方程為，即．故答案為：.10．/【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題意，則，因?yàn)?，所?

故答案為：.11．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出的值，然后由橢圓的離心率計(jì)算，再由平方關(guān)系得到，可寫(xiě)出橢圓的方程；（2）設(shè)的坐標(biāo)，點(diǎn)差法計(jì)算出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)所在直線可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）依題意得：，即，解得，解得橢圓的方程為（2）如圖所示：

設(shè)，中點(diǎn)為，所以則又兩點(diǎn)在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，①.過(guò)點(diǎn)斜率為的直線為.因?yàn)樵谥本€上，故，②聯(lián)立①②，解得所以中點(diǎn)坐標(biāo)為.12．(1)(2)存在符合題意的橢圓，其方程為【分析】（1）設(shè)，由及可得，得，再結(jié)合即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)，則PM方程為，聯(lián)立漸近線方程得到，進(jìn)一步得到，同理得到，再利用計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，由，所以，

①又點(diǎn)在上，所以，即，

②由①②得：，

③又E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，|EF|的最小值為，所以，

④又，⑤聯(lián)立③④⑤解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）假設(shè)存在，由（1）知的漸近線方程為，則由題意如圖：所以由，

設(shè)，則直線方程為，直線方程為由，得；由，得

又，所以，所以，，同理可得，，由四邊形是平行四邊形，知，所以，，即，所以，存在符合題意的橢圓，其方程為.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)且為的中點(diǎn)，則直線的方程為D．的面積為二、多選題2．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為k的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，則的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空題3．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．四、解答題4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，線段上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為定值．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：題號(hào)12答案DBC1．D【分析】令，由雙曲線的定義和余弦定理可判斷A；由求出可判斷B；由中點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，由點(diǎn)斜式方出可判斷C；由A,B得，由余弦定理和三角形的面積公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A：令，則，由雙曲線的定義知，又，得，得，所以，又，得，故，故A正確．對(duì)于B：由A得，得,因此雙曲線的漸近線方程為，故B正確．對(duì)于C：由A，B可知,，所以雙曲線，直線與雙曲線交于Mx1,y1設(shè)直線的斜率為，的中點(diǎn)為Px0,y則，兩式相減可得，得，所以故直線，化簡(jiǎn)得，故C正確．對(duì)于D：由得，則，故，故，故D錯(cuò)誤．故選：D.2．BC【分析】設(shè)出直線方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用對(duì)稱性以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，消去并整理可得，此時(shí)恒成立；由韋達(dá)定理可得；因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，解得，又易知，所以雙曲線右焦點(diǎn)；因此，即可得，代入，得，解得或；綜上可得或，易知雙曲線漸近線方程為，且，；所以，因此的可能取值是.故選：BC3．【分析】設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，即可求得a的值，再結(jié)合的周長(zhǎng)為4a，即得答案.【詳解】由題意知，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，兩式相減得，由題意為AB中點(diǎn)，則，代入整理得．即由題意知，因此，所以，由焦距為6，解得．由橢圓定義知的周長(zhǎng)為．故答案為：4．(1)；(2)存在，點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求得橢圓的方程.