專題47 橢圓解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題47橢圓（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用 8【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 15【考點(diǎn)3】橢圓的簡單幾何性質(zhì) 21【分層檢測】 26【基礎(chǔ)篇】 26【能力篇】 35【培優(yōu)篇】 40考試要求：1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).知識梳理知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點(diǎn)，則(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：(1)當(dāng)r1＝r2時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，S取最大值，最大值為bc.3.焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中通徑(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).4.AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）2．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是．參考答案：題號123456答案ABBABA1．A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因為為的中點(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A2．B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.3．B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．4．A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A5．B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.6．A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.7．13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用一、單選題1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．252．（2024·陜西西安·三模）已知定點(diǎn)與橢圓上的兩個動點(diǎn)，，若，則的最小值為（

）A． B．13 C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（

）A．的周長為 B．C．的斜率為 D．橢圓的離心率為4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知、，點(diǎn)為曲線上動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為拋物線，則B．若為橢圓，則C．若為雙曲線，則D．若為圓，則三、填空題5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為.6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖所示，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為.

參考答案：題號1234答案DCABDBCD1．D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值.故選：D.2．C【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示，列出函數(shù)關(guān)系并求出最小值.【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：C3．ABD【分析】利用橢圓的定義可得的周長，可判斷A選項；設(shè)，由得，而可得，設(shè)，得，進(jìn)而由橢圓的定義可得,，從而可判斷B選項；在中用正弦定理可得，進(jìn)而求可得直線的斜率，可判斷C選項；計算離心率可判斷D選項.【詳解】對于A：過的直線與交于，兩點(diǎn)且，，連接，的平分線交于點(diǎn)，如圖所示：則的周長等于故A正確；對于B：設(shè)，，則，而.設(shè)，則，于是，即.由，得,又，得，所以，故B正確；對于C：在，由余弦定理可得：，則，即.在中，，又是中點(diǎn)，所以，則，于是，所以的斜率為點(diǎn)在軸上方時，在軸下方時，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：ABD.4．BCD【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；利用橢圓的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；利用雙曲線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用圓的方程以及數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如下圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，所以，，由圖可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，取最小值，且其最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，A錯；對于B選項，如下圖所示：

對于橢圓，，，則，則點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，取為該橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時，取最小值，B對；對于C選項，對于雙曲線，，，則，所以，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，取為雙曲線的右焦點(diǎn)，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的右支時，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線右支的交點(diǎn)時，等號成立；當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支時，由雙曲線定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線左支的交點(diǎn)時，等號成立.綜上所述，，C對；對于D選項，記點(diǎn)，對于點(diǎn)Mx,y，易知，，，如下圖所示：

所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時，等號成立，即，D對.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用二次曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解；（3）在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.5．【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計算即可得.【詳解】由橢圓定義可得，則有，即，，又，由，故，故.故答案為：.6．/【分析】設(shè)出，利用橢圓定義和圖形對稱性，借助于求得與的數(shù)量關(guān)系，接著在中求得，從而得到，最后在中運(yùn)用余弦定理即可求得.【詳解】設(shè)，依題意，，因點(diǎn)在軸上，則，，又因則，化簡得，在中，，故,在中由余弦定理，,即，解得：，即，則離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由橢圓的焦半徑想到橢圓定義式，由垂直想到求三邊利用勾股定理，由邊的數(shù)量關(guān)系想到設(shè)元替換，遇到三角形的邊角關(guān)系，要考慮能否用正、余弦定理.反思提升：橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西桂林·三模）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方且，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述正確的是（

）A．曲線可表示為焦點(diǎn)在軸的橢圓B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線C．曲線可表示為離心率是的橢圓D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線過的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（

）A．的周長為8B．的面積為C．該橢圓的離心率為D．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)到直線的距離為，則三、填空題5．（2023·廣東·二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個交點(diǎn)為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2024·上?！と＃┦骝v尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，當(dāng)點(diǎn)在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動時，帶動點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動，點(diǎn)也隨之而運(yùn)動，記點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為.若，，且，過上的點(diǎn)向作切線，則切線長的最大值為參考答案：題號1234答案DDACDACD1．D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.【詳解】因為方程表示的曲線是橢圓，所以，解得且，所以實數(shù)k的取值范圍是.故選：D.2．D【分析】由題意可知：，設(shè)，，根據(jù)向量共線可得，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，可知，設(shè)，，則，因為，可得，整理得，將代入方程可得，解得，可知B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：D．3．ACD【分析】由已知條件先求出的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判斷即可【詳解】由為3與5的等差中項，得，即，由為4與16的等比中項，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．故選:ACD．4．ACD【分析】由題意直線過焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，待定系數(shù)，得到橢圓方程.選項A，由橢圓定義的周長為；選項B，聯(lián)立直線與橢圓可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得的面積；選項C，；選項D，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，則由橢圓方程可得，再由距離公式代入坐標(biāo)化簡求解即可.【詳解】由題意知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，直線過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，故直線與軸的交點(diǎn)為右焦點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為為頂點(diǎn)，設(shè)為，所以，則，所以橢圓的方程為．對于A，由橢圓的定義，所以的周長為，故A正確．對于B，由消得，，解得，或，由，則，代入直線，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積，故B錯誤．對于C，因為，所以的離心率，故C正確．對于D，設(shè)，則．因為，所以，則，故D正確．故選：ACD．5．【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解作答.【詳解】由對稱性不妨令點(diǎn)M在第一象限，令直線交y軸于點(diǎn)A，過N作軸于B，令，

因為軸，則，而O為的中點(diǎn)，又A為中點(diǎn)，而，于是，由知，，顯然，因此，于是，又，則，解得，而，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：6．【分析】以滑槽所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出曲線和的方程，利用三角換元設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出的最大值，然后利用圓的切線長的求解方法，即可求得答案.【詳解】如圖，以滑槽所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，因為，所以點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，則其方程為，設(shè)，因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，得，所以，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為，設(shè)上的點(diǎn)，則，所以切線長為，所以切線長的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查與橢圓有關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出動點(diǎn)的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的思想.反思提升：(1)利用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意條件2a＞|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個應(yīng)用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的離心率.②與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡便.【考點(diǎn)3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、單選題1．（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．二、多選題3．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個焦點(diǎn) D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標(biāo)軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設(shè)在上，則（

）A．“斜橢圓”的焦點(diǎn)所在直線的方程為 B．的離心率為C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 D．三、填空題5．（2025·黑龍江大慶·一模）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為.6．（2023·廣西·一模）如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn).，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則.參考答案：題號1234答案CCACDBCD1．C【分析】運(yùn)用共焦點(diǎn)條件得到雙曲線中，由兩曲線的離心率之積為1得，再用轉(zhuǎn)化得到，進(jìn)而得到.【詳解】由題意易得，在雙曲線中，即，由于橢圓離心率為，且由兩曲線的離心率之積為1得.，，，，又，或，故選：C.2．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得的周長為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】橢圓的方程為，則，，，連接，，則由橢圓的中心對稱性可知，可知為平行四邊形，則，可得的周長為，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時，AB取最小值，最小值為，所以周長為．故選：C.3．ACD【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)Px,y在該橢圓上，則其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上，則關(guān)于對稱，所以，故D正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，故A正確；將代入可得，可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，則，則，故B錯誤；所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以C正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過證明該非標(biāo)準(zhǔn)橢圓的對稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計算即可，也可將該過程想象成坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn).4．BCD【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可聯(lián)立以及與橢圓方程，進(jìn)而可判斷焦點(diǎn)所在的直線，即可判斷A，根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)間距離可求解長軸以及短軸長，即可求解BC，根據(jù)方程有解，利用判別式即可求解.【詳解】由題意可知，斜橢圓關(guān)于和對稱，聯(lián)立直線與，可得，聯(lián)立直線與，可得，所以兩焦點(diǎn)所在直線方程為，A選項錯誤；由可知，與相交的兩點(diǎn)之間距離等于短軸為，與相交的兩點(diǎn)之間距離等于長軸為，故焦距為，故的離心率為，選項正確；旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點(diǎn)在軸上，曲線方程為選項正確；因為，關(guān)于的方程有解，所以，解得，所以選項正確，故選：BCD．5．【分析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，分析可知為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，

由對稱性可知：，則為平行四邊形，則，即，因為，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.6．/0.375【分析】由離心率比求得長半軸與實半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，焦距，由，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn)F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．反思提升：1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.(3)構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值域或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求范圍.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為86．（2024·山東濰坊·二模）已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，P為上一點(diǎn)，則（

）A．的焦距為 B．的離心率為C．的周長為 D．面積的最大值為7．（20-21高三上·江蘇南通·期末）嫦娥奔月是中華民族的千年夢想.2020年12月我國嫦娥五號“探月工程”首次實現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天興趣小組利用計算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個焦點(diǎn)），環(huán)繞周期為，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為，則（

）A．圓形軌道的周長為B．月球半徑為C．近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為D．橢圓軌道的離心率為三、填空題8．（2022·廣東佛山·三模）已知橢圓，、為的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)，則內(nèi)切圓半徑的最大值為．9．（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.10．（2023·貴州畢節(jié)·一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長為．四、解答題11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且的周長為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點(diǎn)P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．12．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．參考答案：題號1234567答案DCDCABDABDBC1．D【分析】根據(jù)題意得到，,

,設(shè)，其它邊全部用t表示,運(yùn)用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.2．C【分析】根據(jù)離心率和焦距可得，進(jìn)而可得，即可得方程.【詳解】由題意可知：，可得，則，所以該橢圓的方程為.故選：C.3．D【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時焦距，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．C【分析】由直線方程得出直線過定點(diǎn)，再由直線與橢圓有公共點(diǎn)列出不等式，結(jié)合橢圓離心率公式計算即可．【詳解】由直線得，直線過定點(diǎn)，由題意得，點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)部，所以，則，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，故選：C．5．ABD【分析】根據(jù)以及橢圓的對稱性可得，進(jìn)而可求解，即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對于A，焦距為，故A正確，對于B，短軸長為，B正確，對于C，離心率為，C錯誤，對于D，的周長為，D正確，故選：ABD6．ABD【分析】根據(jù)橢圓方程求出，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】設(shè)橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，故，所以的焦距為，故A正確；的離心率為，故B正確；的周長為，故C錯誤；對于D，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時，的面積最大，最大值為，故D正確.故選：ABD.7．BC【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義和性質(zhì)分別求出各量即可判斷.【詳解】由題，以的速度進(jìn)入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道，環(huán)繞周期為，則可得環(huán)繞的圓形軌道周長為km，半徑為km，故A錯誤；則月球半徑為，故B正確；則近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為，故C正確；設(shè)橢圓方程為，則（為月球的半徑），，故離心率為，故D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解橢圓的定義.8．＃＃1.5【分析】根據(jù)橢圓定義可得，結(jié)合內(nèi)切圓半徑，顯然當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時最大，即內(nèi)切圓半徑的最大，此時，代入求解．【詳解】∵，則∴的周長∵內(nèi)切圓半徑，則內(nèi)切圓半徑的最大即為最大顯然當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時最大，此時則故答案為：．9．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓定義得到，再利用關(guān)系即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，則，所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓．則，所以，所以動圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.10．【分析】根據(jù)給定條件，求出正三角形的邊長，再利用弧長計算公式計算作答.【詳解】因為橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個勒洛三角形，令其半焦距為c，則點(diǎn)或或或為一正三角形的三個頂點(diǎn)，于是得正三角形邊長為，顯然勒洛三角形三段圓弧長相等，所對圓心角為，所以該勒洛三角形的周長為.故答案為：11．(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出即可得解；（2）由題意可將原問題轉(zhuǎn)換為，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值即可.【詳解】（1）∵的周長為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設(shè)直線MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內(nèi)心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當(dāng)直線MN垂直于x軸，即時，顯然點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn)．故在x軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在x軸上.12．(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【能力篇】一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，動點(diǎn)滿足與的斜率之積為，動點(diǎn)的軌跡記為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，則（

）A．的軌跡方程為B．的最小值為1C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為D．若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍三、填空題3．（2024·浙江杭州·二模）機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時，橢圓的離心率等于．四、解答題4．（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個頂點(diǎn)所圍成的菱形的面積為4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，設(shè)，滿足．①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；②求四邊形ABCD面積的最大值．參考答案：題號12答案DBCD1．D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.2．BCD【分析】根據(jù)求軌跡方程的方法即可求得選項A，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷選項B，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)可判斷選項C，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線與直線的關(guān)系，即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而判斷選項D.【詳解】對于選項A，設(shè)Mx,y，因為A-2,0，，所以，化簡得，故A錯誤；對于選項B，因為，則，，則，所以為橢圓的右焦點(diǎn)，則，故B正確；對于選項C，設(shè)的方程，代入橢圓方程，得，設(shè)，則，，所以，令，則，令，則，在為增函數(shù)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時即等號成立，故C正確；對于選項D，因為，，，所以，則，設(shè)，則，則，所以，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是利用面積公式得出面積表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出最值；二是根據(jù)垂直平分得出點(diǎn)之間的關(guān)系.3．/【分析】依題意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出橢圓長軸長，作出圓錐的軸截面交橢圓于點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長，利用離心率定義計算即得.【詳解】如圖，設(shè),因,故，又,由余弦定理，，即,設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.則,又由得,從而則得,不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，則，故故答案為：.4．(1)(2)①證明見解析；②4【分析】（1）根據(jù)題意，找出之間的關(guān)系式，列方程求解即可；（2）①設(shè)出方