2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：22 立體幾何大題15種歸類（平行、垂直、體積、動點(diǎn)、最值等非建系）（解析版）

22：立體幾何大題15種歸類

（平行、垂直、體積、動點(diǎn)、最值等非建系題型）

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納................................................................................1

【題型一】平行1：四邊形法證線面平行......................................................1

【題型二】平行2：中位線法證線面平行......................................................3

【題型三】平行3：做平行平面法證線面平行..................................................5

【題型四】平行4：難題―線面平行探索型.....................................................7

【題型五】平行5：證面面平行.............................................................10

【題型六】平行：難題一面面平行探索性題型.................................................12

【題型七】垂直1：線面垂直................................................................16

【題型八】垂直2：面面垂直................................................................18

【題型九】垂直3：難題一垂直探索性題型...................................................20

【題型十】垂直4：翻折中的垂直............................................................24

【題型十一】體積1：常規(guī)求法和等體積轉(zhuǎn)化型...............................................26

【題型十二】體枳2：難題一多面體割補(bǔ)型...................................................28

【題型十三】體積3：難題一兩部分體積比型.................................................32

【題型十四】體積4：難題一動點(diǎn)型..........................................................35

【題型十五】體積5：難題—最值型..........................................................38

二、最新?？碱}組練.............................................................................41

【題型一】平行1：四邊形法證線面平行

【典例分析】

如圖，在正方體A4GR中，E,尸分別是A4,CD的中點(diǎn).

（1）求證，防〃平面（2）求異面直線行Q與八廠所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）姮.

15

【分析】（1）取CR中點(diǎn)G,連接/GA，證四邊形/GA/是平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定即可推理

作答.

（1）在正方體A8C￡>—4星通中，取CR中點(diǎn)G,連接尸G,GAlt如圖，

而F是C。的中點(diǎn)，則尸G//QR,FG=；DD「又石是的中點(diǎn)，則4石//力已，陋=；叫

因此，A.E//FG,\E=FG,四邊形尸是平行四邊形，有EF"GA、,而平面A。"，G4,u平面

AC",E"http://平面AC。.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

1.利用平移法做出平行四邊形

2.利用中位線做出平行四邊形

【變式演練】

1.如圖所示，在四棱錐尸中,PC,底面ABC。，AB//CD,AB=2AD=2CD=2tE是

CE〃平面PADi

【答案】(1)證明見解析(2)-

【分析】(1)取附的中點(diǎn)凡連接EF，DF,利用平行四邊形證明比7〃加，再由線面平行的判定定理即

可得證；

EF=^-AB,又,：DCHAB,DC=^-AB,AEF//CD,EF=CD,二四邊形EFQC是平行四邊形，

22

???EC〃。/，乂平面R1Q,u平面小?，CE//平面%/）；

2.如圖，在四棱錐P-A8CQ中，孫_1_面48。。，A3〃C￡>,且C￡>=2,AB=\tRC=2五,PA=l,ABLBC,

N為PD的中點(diǎn).

(1)求證：4V〃平面P8C；

(2)求平面產(chǎn)AO與平面P8c所成二面角的余弦值；

(3)在線段PO上是否存在一點(diǎn)"，使得直線CM與平面P8C所成角的正弦值是主竺，若存在求出空

29DP

的值，若不存在說明理由.

21

【答案】（1）證明見解析（2）-（3）存在，-

34

【分析】

（1）只要證明AN所在平面ANE與平面PBC平行即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計算二面角的余弦值；

（3）用向量法計算直線與平面成角的正弦值，然后列方程求解.

(1)

證明：取CP中點(diǎn)F，連接BF,

且N/=《OC,

因?yàn)榉睳外為PC,P。的中點(diǎn)，則NF〃DC,

乂入B〃CD,且CZ）=2,AB=\=^DC,所以四邊形NA8”是平行四邊形,

.-.AN//BF,又/WU面PBC,BFu面P8C。所以AN〃平面尸8C；

【題型二】平行2：中位線法證線面平行

【典例分析】

.如圖，四棱錐P—A8CO中，側(cè)面PAO_L底面/WC。，底面ABCD為梯形，AB//DCt且

AP=PD=CD=2AB=273,ZAP3=NA￡）C=60°.AC交8。于點(diǎn)尸，G為△皿）的重心.

（1）求證：GF//平面萬仍；

（2）求三棱錐8-G”1的體積.

【答案】（1）證明見解析（2）6

3

【分析】（1）連接QG并延長交帖于點(diǎn)E,連接即，由已知條件可得“18尸SgC。。得名=喀=馬,

FRAB1

再由G為△以￡）的重心，空=］，則有冬=絲=3,從而可得G/〃仍，再由線面平行的判定可證得

GEI卜BGE1

結(jié)論，

（2）由已知可得△P4O和4Aoe為止三角形，連接PG并延長交AO「點(diǎn)"，有汽M_LA。，則面

2

ABCD,從而可得%GFC=%-BFC=，然后由已知條件求解%.極，

（1）證明：在圖中：連接QG并延長交24于點(diǎn)E,連接班:.

由底面/WCQ為梯形，ABHCD,CD=2AB.

DFDC2一?八.“h、DG2r,DFDG2

5Ms。乙則M1方=前=「又由G為△PM的重心.-=-.則而=9=『

所以G/〃EB.而GF仁平面244,￡Bu平面必乩所以GF〃平面必&

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

中位線法難點(diǎn)在于怎么“發(fā)現(xiàn)三角形”

【變式演練】

1.如圖，三棱臺A4G-A8C,平面AACC」平面ABC,側(cè)面A4CG是等腰梯形,

Z7\AC=y,AACB=^AC=BC=2A.C]=2y[2,M,"分別是A?的中點(diǎn).

（1）求證：。〃//平面八4”；

（2）求GM與平面AB。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

7

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、三棱錐等積性、線面角的定義進(jìn)行求解即可.

（1）證明：連接AM與交于點(diǎn)兒連接叨，

因?yàn)锳C=24G，所以由棱臺的性質(zhì)可知：AB=2AiBlf且A8//4由，

因?yàn)镸是的中點(diǎn)，因此從例=A"，因此四邊形A是平行四邊形，所以。是AM的中點(diǎn)，又，是4G

的中點(diǎn)，

所以PH//C.M,而尸〃u平面,MC,0平面ABJI,

所以GM〃平面4片”；

13

2乃

—,AD=2AB=2BC=2PA=4

3t

求證：〃平面ACM；

（2）求直線產(chǎn)。與平面4cM的距離.

【答案】（1）證明見解析（2）6

【分析】（1）以線面平行的判定定理去證明即可解決；

（1）證明：如圖，連接8Q,交AC于點(diǎn)、N,連接MN.

所以絲=BC

［同為ADi/BC,AD=2BC,NDAD乂知為依靠近“的三等分

B

點(diǎn)'所以4*4所以鞋=端,所以MN〃P。,又MNu平面4"。P°（z平面AMC,所以P。//平

面AMC.

【題型三】平行3:做平行平面法證線面平行

【典例分析】

如圖，C,。分別是以AS為直徑的半圓。上的點(diǎn)，滿足3C=CD=OA,△Rib為等邊三角形，且與半圓

0所成二面角的大小為90。，￡為姑的中點(diǎn).

DE〃平面PBC；（2）求二面角A-BE-O的余弦值.

⑵變

I

【分析】（1）通過證明平面ODE〃平面P8C來證得OE〃平面P8C.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向顯法求得二面角A-SE-D的余弦值.

（1）依題意8C=CO=QA，所以ZAOD=NDOC=NCO8=60°,

所以三角形A8、三角形OO。、三角形CO8是等邊三角形，

所以O(shè)8=BC=CD=OD,所以四邊形OBCO是菱形，所以O(shè)D78C,

由于。0c平面P8C,8Cu平面尸8C,所以。?！ㄆ矫?8c.由于E是Q4的中點(diǎn)，。是A8的中點(diǎn)，所以

OEUPB,由于OEU平面PBC,P4u平面尸BC,所以0￡〃平面PBC.

由于OEcOD=O,所以平面ODE〃平面尸8C,所以O(shè)E〃平面P8C.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證明后續(xù)的“探索性”題型時非常實(shí)用。授課時

可以先用“中點(diǎn)型”培養(yǎng)“找面做面”的思維。

【變式演練】

1.在四棱錐產(chǎn)—A8CO中，BC=BD=DC=273,AD=AB=PD=PB=2.

（1）若總為尸C的中點(diǎn)，求證：平面Ml".

（2）當(dāng)平面尸8D1平面時，求二面角。一夕。-8的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）姮

13

【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量解決二面角.

（1）取C。的中點(diǎn)M,連接EM,BM,

由已知得，△BCD為等邊三角形，ABM1CD.

VzW=AB=2,）=2百，Z/1DB=ZABD=3O°,NADC=（X）°,/.BM//AD.

又：HVfcz平面以。，AOu平面以。，〃平面以。.

???￡為PC的中點(diǎn)，M為CQ的中點(diǎn)，AEM//PD.

又平面以。，PDu平面以。，〃平面%/X

EMIBM=M,PDcDA=D，，平面8EM〃平面小Q.

「BEu平面8EM,???8E〃平面以。.

2.如圖所示的四棱錐P—A8CO的底面ABC。是一個等腰梯形，AD//I3C,RAD=2AB=2BC=4fPO是h

PAO的中線，點(diǎn)E是棱PO的中點(diǎn).

（1）證明：CE〃平面幺4.

（2）若平面平面48CO,且PA=〃DR9=AO,求平面P仍與平面PCO夾角余弦值.

（3）在（2）條件下，求點(diǎn)O到平面RW的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）!；（3）生旦.

77

【分析】（1）連接OC、0E,平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得0E//平面2止、CO〃平面

再根據(jù)面面平行的判定可得平?面OCE〃平面R4B,利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；

（2）取BC的中點(diǎn)為連接cw,證明出PO_L平面A8CO,OM工BC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM、淺、

加的方向分別為x軸、＞軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面R4B與平面

PCO所成銳二面角的余弦值.

（3）利用等體積法，求。到平面的距離.

（1）連接OC、OE,由0、E分別是棱A。、PD的中點(diǎn)，則0E〃幺，

「OEa平面A43，n4u平面AW，則OE〃平面

又AO//8C,且AO=2A8=2BC=4,

???4。//8。且49=8。，四邊形A8C0是平行四邊形，則CO//A8,

?.?CO0平面ABI平面P4B，則CO//平面

又COcOE=O,可得平面OCE〃平面叢8.又CEu平面OCE.

，CE〃平面以8.

【題型四】平行4：難題.?線面探索型

【典例分析】

在四棱錐P-A8CQ中，底面A3CQ是菱形，ACfBD=O.

（I）若AC_LPQ,求證：AC1平面PB力；

（】1）若平面B4C1平面ABCD,求證：PB=PD;

PM

（III）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BW//平面P4O,若存在，求器的值；若不存在,

說明理由.

【答案】（I）證明見解析；（H）證明見解析；（III）不存在.

【分析】（I）由A6CD是菱形可得AC_L8Q：結(jié)合AC_LPD,由線面垂直的判定定理可得AC1平面

PA。.；（II）由（I）可知ACLP。,由面面垂直的性質(zhì)可得_LP。,結(jié)合30=30可得結(jié)果；（III）

利用反證法，假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得5M//平面PA。，可推出平面PB。//平面PAD.從而

可得結(jié)論.

【詳解】（【）因?yàn)榈酌鍭BC。是菱形。所以AC_LBD

又因?yàn)锳C_LPD，,幽1頻=就，所以ACL平面尸AZX

（II）由（I）可知AC_LP。.因?yàn)槠矫鍼4C_L平面ABC。，平面PACc平面..徽悠二，.修，

尸0_1_平面ABCQ，因?yàn)镋）u平面P4C,所以3OJLP。.

因?yàn)榈酌鍭6CD是菱形，所以3。=￡）。.所以尸8二PD.

（HI）不存在.下面用反證法說明.

假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得m/〃平面PAD在菱形ABCD中，8?！˙C,因?yàn)?WU平面PAD，

8Cu平面PAD，所以8C〃平面B4Z）.因?yàn)槠矫媸?C，8CJ_平面08C,

=所以平面P3C〃平面PAO.而平面PBC與平面PAO相交，矛盾.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

1.常規(guī)題，對應(yīng)的點(diǎn)大多在中點(diǎn)處。

2.要多訓(xùn)練非中點(diǎn)的題選。

【變式演練】

1.如圖所示四棱錐P—A8C。中，尸AJ_底面ABCO,四邊形A8C。中，ABA.AD,BC//AD,

PA=AB=BC=2,AD=4.

（1）求四棱錐P—45CZ）的體積：

（2）求證：CD1平面尸AC；

（3）在棱PC上是否存在點(diǎn)“（異于點(diǎn)C）,使得6M//平面BAD,若存在，求償?shù)闹?；若不存在，說

明理由.

【答案】（1）4；（2）見解析；（3）不存在.

【解析】

【分析】

（1）利用四邊形4BC。是直角梯形，求出S八8或，結(jié)合A4_L底面A3CO,利用棱錐的體積公式求解即可

求；（2）先證明B4J_CO,ACLCD,結(jié)合24cAe=A，利用線面垂直的判定定理可得CD1平面

PAC；⑶用反證法證明，假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM!/平面PAD,證明平面PBC/：平面PAD，

與平面P8C與平面PAO相交相矛盾，從而可得結(jié)論.

【詳解】（1）顯然四邊形/員力是直角梯形，SM8=；（3C+AO）XA3=；X（2+4）X2=6

又PA_L底面ABCDVp-ABCD=Q^ABCD?%=QX6X2=4

J,J

⑵PA1平面ABCD,CDu平面ABCD,PA1CD在直角櫛形ABCD中，4C=yjAB2+BC2=2x/2，

CD=2A/2?:.AC2+CD2=AD2,即AC_LCQ又???/VlcAC=A，.?.C￡）_L平面尸AC；

（3）不存在，下面用反證法進(jìn)行證明

假設(shè)存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM//平面處〃.?.?8C7/AO,且3CZ平面2W,

AOu平面處".'.BC//平面以。又?.?BCc8M=8,

「?3面PBCH平面勿〃而平面戶員7與平面勿〃相交，得出矛盾.

兀

2.如圖，矩形ALE/和菱形ABC。所在平面互相垂直，已知/4。。=一，點(diǎn)N是線段AO的中點(diǎn).

3

（1）求證：CN上AF；

（2）試問在線段跖上是否存在點(diǎn)M，使得直線A/7//平面MNC?若存在，請證明A///平面MNC,

并求出電的值；若不存在，請說明理由.

ME

【答案】（1）證明見解析：（2）存在，證明見解析，2.

【解析】

【分析】

（1）由已知可得AAQC是等邊三角形，N是線段AO的中點(diǎn)，得CNJ.AO,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理

證得CN_L平面A。石廠，即可證明結(jié)論；

（2）取FE的中點(diǎn)尸，可證PE〃BC，連接CP交BET點(diǎn)M，M點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

利用總〃8C，可得粵=毀，即可求出結(jié)論.

MEPE

【詳解】

（1）菱形A8C。，AD=DC^ZADC=-,則AADC是等邊三角形，

3

又N是線段AO的中點(diǎn)，???CN_LHO.

又平面ADEF±平面ABCD,平面ADEFD平面ABCD=AD，

所以CN_L平面AO石廠.

乂■:AFu平面ADEF，故CNJLAF.

p

（2）取EE的中點(diǎn)p,連接b交跖于點(diǎn)M，M點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

證明：連接PN,vPE/MD.AD//BC,：.PE//BC，

所以“與CE相交于點(diǎn)M,???村是A￡>的中點(diǎn)，乃是在的中點(diǎn)，

:.PN//AF,又PNu平面MNC，A尸（z平面MNC,

:.直線AF//平面MNC.又?：PE//BC,—=2.

MEPE

【題型五】平行5：證面面平行

【典例分析】

如圖所示，在三棱柱A3C-ABC中，E,F,G,，分別是ABAC,4聲，AC的中點(diǎn)，

求證：（2）B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面E%〃平面BC”G.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明G"http://耳G，從而可得GH//8C，即可證明8,C,H，G

四點(diǎn)共面；

（2）證明平面EFA中有兩條直線AE、E產(chǎn)分別與平面“C7/G中的兩條直線BG、8C平行，即可得到

平面EFA//平面BCHG.

【詳解】（1）???G,H分別是4片，4G的中點(diǎn)，「.GH是少,與G的中位線，則GH//旦G，

又???旦。|〃8，,「.6〃〃席，.二8CH,G四點(diǎn)共面.

⑵尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，.?.瓦V/8C，??口U平面8C〃GBCu平面BC7/G,

;.EF平面BCHG，又GE分別是4旦，45的中點(diǎn)，1AB,A,G±EB,

四邊形AEBG是平行四邊形，.?.AE//G8,,.,4七0平面8?！?,GBu平面BCHG，

.?.A1￡7/平面8C”G,又???4七0￡尸=七，.?.平面EE4//平面BCHG,

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

面面平行的核心思維是“線面平行”。

【變式演練】

1.如圖，在圓柱QQ中，ABfCD分別是上、下底面圓的直徑，且A8〃C￡>,EF,G"分別是圓柱軸截

面上的母線.

(1)若CE=DE=2瓜,圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.

(2)證明：平面八平面比D.

【答案】(1)24萬.(2)證明見詳解.

【分析】(1)借助圓柱的母線垂直于底面構(gòu)造直角三角形計算可得半徑，然后可得表面積;

(2)構(gòu)造平行四邊形"QE儲證明QE,結(jié)合已知可證.

(1)連接CF、DF\DE=CE,EhCF,EF1DF：qCEF=ADEF:.CF=DF

因?yàn)镃O為直徑，記底面半徑為七EF=2RO則C尸+。尸=4*.?.￡)/=&/?

又［DF2+EF2=DE2..(拉A)?+(2R)2=(2府解得R=2

???圓柱的表面積S=2冗RX2R+2乃*=24萬.

連接QE、Q〃、QH、色石由圓柱性質(zhì)知G”，EF且G”=M，GEHF

0苫。2,且QEJ.Q"，四邊形"。2瓦＞|為平行四邊形??.。冉又?.O用①平.面CDE,O【Eu平面COE

。1〃〃平面。。及同理，AB//平面CDE又\O、H=O\,QHu平面A8”，A8i平面48”

???平面AB"〃平面ECQ.

2.如圖①,在梯形E48C中,AB〃尸&AABC與^PAC均為等腰直角三角形，ZPAC=ZABC=90°,PC=4,

D,E分別為B4,尸。的中點(diǎn).將APOE沿OE折起，使點(diǎn)尸到點(diǎn)產(chǎn)的位置(如圖②)，G為線段P3的中

點(diǎn).在圖②中解決以下兩個問題：

2

(1)求證：平面G4C〃平面產(chǎn)DE；

(2)若直線P4與平面所成的角為30。時，求三棱錐P」ACG的體積.

【答案】(1)證明見解析(2)近

6

【分析】

（1）連接BE交AC于點(diǎn)M,連接GM,PE,可證得GM〃產(chǎn)E,根據(jù)線面平行的判定定理即可證得GM〃

平面產(chǎn)/組.同理可證得AC〃平面產(chǎn)/組.由面面平行的判定定理即可證得結(jié)果.

（2）利用等體積轉(zhuǎn)換可得Vp“cG=1匕.以計算即可得出結(jié)果.

（1）連接BE交AC于點(diǎn)M,連接GM,PE，

四邊形AACE是正方形，M為BE的中點(diǎn)，乂G為線段戶8的中點(diǎn)，

則GM//P'E,又GM仁平面PDE,PEU平面PDE,所以GM//平面P'DE.

又。，E分別為弘，PC的中點(diǎn)，則。E〃4C,又ACa平面〃。石，DEu平面產(chǎn)DE,

所以AC〃平面POE.XGMCiAC=M,GM,ACu平面GAC,

所以平面G4C〃平面P'DE.

【題型六】平行6:難題?一面面平行探索性題型

【典例分析】

已知正四棱錐S-ABCD的各條棱長都相等，且點(diǎn)E廠分別是S民5。的中點(diǎn).

（1）求證:AC_LS3；

（2）在SC上是否存在點(diǎn)M，使平面MBD//平面AE7L若存在，求出"的值；若不存在，說明理

MC

由.

【答案】（1）見解析（2）4―=2

MC

【解析】試題分析：（1）設(shè)ACT8。=。，連接so,根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得SO_L平面ABCD,所以

SO_L4C.又3。1AC,證得ACJ-平面SBD,進(jìn)而得到ACA.SB,

（2）取CG中點(diǎn)”，連0H并延長交SC于點(diǎn)M，得OM//AG，得BOu平面進(jìn)而得到平面

MBD//平面AEF，在AS。。中，得N是SM中點(diǎn)，M是CM中點(diǎn)，即可求解結(jié)論.

試題解析：

（工）設(shè)ACc5￡）=。,則0為底面正方形A8CD中心，連接SO,因?yàn)?-A8c力為正四梭錐.所以SOJ_

平面ABCD，所以S。14C.又BD1AC,且SOcBD=O,所以AC，平面SBD：

因?yàn)镾3u平面S3。,故AC1.SB.

（2）存在點(diǎn)例，設(shè)SOc￡F=G，連AG,CG.取CG中點(diǎn)〃，連。”并延長交SC于點(diǎn)M,

???。是AC中點(diǎn)，???O”/A4G,即QM//4G,又EFI/BD，平面人招，AG,E/u平面

AM，

???0M//平面AEF,80//平面AEF,

又0McBD=0,OM,8力u平面MB。，???平面〃平面AE尸，

在A50C中，作GN//HM交SC于N,則N是SM中點(diǎn)，M是CN中點(diǎn)，

.?洛2.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

找面的經(jīng)驗(yàn)：任何一對互相平行平面，和第三個平面相交，交線互相平行

【變式演練】

1.在正方體AG中，E、尸分別為，G、4G的中點(diǎn)，AC\BD=P,AQIEF=Q,如圖.

（1）若AC交平面&BQ于點(diǎn)K，證明：P、Q、H三點(diǎn)共線；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得平面42M〃平面瓦丑若存在確定M的位置，若不存在說明

理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且萼=!.

AC4

【解析】

【分析】

（1）先得出PQ為平面EFBD與平面的交線，然后說明點(diǎn)R是平面與平面EFBD的公共

點(diǎn)，即可得出P、Q、R三點(diǎn)共線；

（2）設(shè)四。JAG=。，過點(diǎn)M作〃2。交AC于點(diǎn)M，然后證明出平面用?！啊ㄆ矫?/p>

再確定出點(diǎn)M在4c上的位置即可.

【詳解】

（DQACIBD=P,ACu平面的G。，Mu平面"BD，所以，點(diǎn)尸是平面例6。和平面

的一個公共點(diǎn),同理可知.點(diǎn)Q也是平面AAGC和平面￡7血＞的公共點(diǎn)，則平面AAGC和平面￡7血＞的

交線為PQ，

??力。。平面）8。=尺，ACu平面A4。。，所以，點(diǎn)R也是平面和平面EEBQ的公共點(diǎn)，

由公理三可知，RePQ,因此，P、Q、R三點(diǎn)共線；

（2）如下圖所示：

設(shè)AG=O,過點(diǎn)M作。交4c于點(diǎn)M，

下面證明平面片RM〃平面EFBD.

?.?￡、/分別為AG、BG的中點(diǎn)、，：.BR//EF,

Q31nz平面耳EFu平面EFBD，..BQ]〃平而EFBD.

又OMHPQ,OMa平面￡「30，PQu平面EFBD：.OM〃平面EFBD，

QOM1B,Z）,=O,OM,4。1U平面瓦AM,因此，平面4AM〃平面

下面米確定點(diǎn)M的位置：

?.?E、/分別為AG、4G的中點(diǎn)，所以，EF//BR,且EFIOC]=Q,則點(diǎn)Q為的中點(diǎn),

易知4G〃AC，即OQ//PM，又OMHPQ、所以，四邊形OMPQ為平行四邊形，

...PM=OQ=；OG=；AG=；AC,

???四邊形A8CO為正方形，且ACIBD=P,則/）為AC的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，

/.AM=-AP=-AC,

24

因此，線段AC上是否存在點(diǎn)M，且絲=1時，平面平面跳及〉

AC4

2.如圖，在四棱錐P—A5CO中，已知底面48CZ）為矩形，必_1平面尸。。，點(diǎn)后為棱2。的中點(diǎn).

（1）求證：CO1平面PAO

（2）直線AO上是否存在一點(diǎn)尸，使平面P3///平面A"?若存在,請給出證明；若不存在，請說明

理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由題意利用線面垂直的判定定理證明題中的結(jié)論即可；

（2）延長D4到點(diǎn)“，使人尸=。4,此時平面尸8///平面AEC利用幾何關(guān)系結(jié)合面面平行的判定定理即

可證得題中的結(jié)論.

【詳解】（1）由線面垂直的定義可得：PA1CD，由矩形的性質(zhì)可得：DA1CD,

且P4,DA是平面PAQ內(nèi)的兩條相交直線，故CQ1平面PAD.

（2）延長QA到點(diǎn)/，使AF=DA，此時平面PBF//平面AEC.

證明如下：連接PfB/，

??二4尸=。4,，點(diǎn)A為。尸的中點(diǎn)，

乂???點(diǎn)￡為棱PD的中點(diǎn)，,AE//PF

又?.AEu平面AEC,PFa平面AECPF//平面AEC

???底面?48C。為矩形，.?.AO//BCHA￡）=8C

又*?點(diǎn)/為力4延長線I:的點(diǎn),=:.AF//BCSAF=BC

???四邊形4FBC為平行四邊形BF//AC

又?.?ACu平面AEC,BF<z平面AEC

又??PF匚平面PBfBFu平面PBEPFcBF=F：.平面PBF//平面AEC

【題型七】垂直1：線面垂直

【典例分析】

如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=ltBC=2tZCBA=-tA8E尸為直角梯形，BE//AFfZBAF=-t

（0求證：AC_L平面A8E尸.

（2）求多面體A8COE與多面體AOE/的體積的比值.

4

【答案】（1）證明見解析；（2）-

【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件及勾股定理先證線ABAC垂直，佶助題設(shè)條件，運(yùn)用性面面垂直的性質(zhì)定理

進(jìn)行推證；

（2）利用力_,律?可求三棱錐。一AE尸的體積，利用面面垂直的性質(zhì)得出多面體A8COE的總，

可求得其體積，從而可得答案.

【詳解】

（1）在.A3c中，A3=l,NCBA=q,8C=2,所以AC?=BA2+3C2-244-3CCOSNC34=3，

**

所以AC2+BT=AC2,所以ABJ_AC,

乂因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫鍭8C。平面A8加=484Cu平面A4C。,

所以AC_L平面48EE

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

講透徹“三垂線定理”這個最常用的模型

【變式演練】

1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=gCD,AB#CD,CP±CD,

M為PD的中點(diǎn).

（1）求證：AM〃平面PBC；

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）取PC的中點(diǎn)N,連MN、8V,可證得四邊形A8NM為平行四邊形，于是AM//8N,

然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立.（2）在等腰中梯形A3CO中，取CD的中點(diǎn)丁，連AT,37，

證得四邊形A377）為菱形，進(jìn)而緡ATJL加.同理四邊形八5CT為菱形，可得5C_L3D.再由平面

PCD1平面A8CQ得到CP1平面ABCD,于是得CP工BD，最后根據(jù)線面垂直的判定可得BD平

面PBC.

證明：（1）如圖，取P。的中點(diǎn)N,連MN，BN,?；M為PD的中點(diǎn),N為PC的中點(diǎn)，

:.MNHCD,MN=gCD.又ABUCD、AB=gCD,：,MNUAB，MN=AB,

22

???四邊形A8NM為平行四邊形，JAM//8N.又AA/Z平面PBC，BNu平面PBC，

???AM//平面/3c.

（2）如圖，在等腰中梯形A8CZ）中，取的中點(diǎn)7,連AT，BT.AB、CD,AB//CD,

2

:.AB=DT，A8//O7，???四邊形AB7D為平行四邊形.又=

???四邊形A37D為菱形，???A7_L3D.同理，四邊形A8CT為菱形，,A7V/3C.

???ATJ_3O.???5CJL30.???平面PCQJ_平面A3CQ,平面PCQc平面ABCQ=CD，CPLCD,

。戶（=平面尸8，???。尸_1平面48。。，又BDu平面ABCD，

：?CP上BD.,：BC工BD,BCcCP=C,：.BDL平面PBC.

2.如圖，已知AABC是正三角形，EA.CQ都垂直于平面ABC,且E4=43=2"。。=〃,歹是砥的中

點(diǎn)，求證：

（1）式。//平面A8C；（2）AF上平面EDB.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)M,連FM,MC,???F、M分別是BE、BA的中點(diǎn)，JFM〃EA,FM=gEA,

???EA、CD都垂直于平面ABC,JCD〃EA???CD〃FM又DC=a,/.FM=DC

J.四邊形FMCD是平行四邊形，J.FD〃MC,，F(xiàn)D〃平面ABC.

（2）???M是AB的中點(diǎn)，△ABC是正三角形，???CM_LAB,又CM_LAE,ABAAE=A,

，CMJL面EAB,CM1AF,FD1AF,「F是BE的中點(diǎn),EA=AB,AAF1EB,

???AP_L平面EDD.

【題型八】垂直2:面面垂直

【典例分析】

如圖，在以尸為頂點(diǎn)，母線長為次的圓錐中，底面圓0的直徑A8長為2,C是圓。所在平面內(nèi)一點(diǎn),

且AC是圓。的切線，連接6c交圓。于點(diǎn)。，連接P。，PC.

（1）求證：平面尸AC_L平面PBC；

AB

C

（2）若E是PC的中點(diǎn)，連接0E,。，當(dāng)二面角的大小為120時,求平面B4C與平面QOE

所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）叵.

13

【分析】

（1）由A8是圓。的直徑，4c與圓。切「點(diǎn)A，可得AC_LA3.

由？。1底面圓。，可得POA.AC,利用線面垂直的判定定理可知，AC_L平面Q4/，即可推出

乂在中，PA=PB=—AB^可推出R4d_尸3,利用線面垂直的判定定理可證夕3_L平面％。，

2

從而利用面面垂直的判定定理可證出平面PACJ_平面PBC.

解：（1）4〃是圓。的直徑，AC與圓O切于點(diǎn)4，ACLAB

PO_L底面圓。,-PO1AC

POcAB=O,

又.?在AMB中，PA=PB=—ABt-PA1PB

2

./AriAC=A,平面尸AC，從而平面P4C_L平面P8C.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】

基本規(guī)律

核心思維：尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）

【變式演練】

1.如圖，梯形A3CO所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為48的中點(diǎn)，AI3J.AD,

（ID）求多面體AF-EBCQ的體積.

【答案】（D證明見解析；（II）證明見解析：（111）3.

【分析】（I）可證。F〃CE，從而得到CE〃平面AO

（II）可證3尸_1_平面ECG,從而得到平面CEG1平面CF8

【詳解】

（I）因?yàn)镃Q〃防，且CO=M，則四邊形CO莊為平行四邊形，散DFHCE.

又u平面ADb，CE（Z平面所以CE〃平面A力廠.

（II）連接R7.

在等腰梯形ABEF中，BG〃EF,BG=EF,從而四邊形G8E尸為平行四邊形，

乂GB=BE=6故四邊形G6E尸為菱形，故BF上EG.

在櫛形A8CQ中，同理可證四邊形4GCQ為平行四邊形，故4Q〃GC.

因?yàn)閺亩鳪CJ_A3,而平面A3EF_L平面A8CD,

平面48后/。平面ABCQ=A8：GCu平面ABC。，

故GC1平面而B/u平面MEP，故GC1BF,

因?yàn)镃GcEG=G,故B/_L平面ECG.

因?yàn)閡平面BCF,故平面CEG1平面CFB.

2.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面A5CQ為正方形，PA1底面ABC。，PA=AB,E為線段/的

中點(diǎn).

（1）若b為線段8C上的動點(diǎn)，證明：平面AEF_L平面PBC；

（2）若尸為線段8C,CD,D4上的動點(diǎn)（不含A，B）,P4=2,三棱錐A—B瓦'的體積是否存在

最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）證明見解析：（2）存在，

［分析］⑴利用AE1PB,AE1BC,可得AEJ_平面P8C,根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面AEF±平

面PBC;

（2）由P4_L底面ABC。，得平面以4_L平面ABC。.將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到直線A3的距離有無最大值

即可解決.

【詳解】（1）證明：因?yàn)槭?=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，所以

因?yàn)镻4JL底面ABC。，BCu平面ABC。，所以BCJ_Q4,

又因?yàn)榈酌?8CD為止方形，所以8CJ_AB,=A，所以6CJ_平面Q43，

因?yàn)锳Eu平面PAN，所以AE_L8C,因?yàn)镻6c8C=8,所以AE_L平面PBC,

因?yàn)锳Eu平面AE77,所以平面AE/7JL平面「8c.

【題型九】垂直3：難題.?垂直探索性題型

【典例分析】

直三棱柱ABC-A,4G中，A3=5,AC=3,BC=4,點(diǎn)O是線段AB上的動點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)時，求證：AG||平面80。；

（2）線段AB上是否存在點(diǎn)。，使得平面人3與4,平面若存在，試求出的長度；若不存在,

A

請說明理由.

9

【答案】（1）見解析；（2）-

【試題分析】（1）連接8G，交BQ卜點(diǎn)、E，連接。￡，則點(diǎn)E是3cl的中點(diǎn)，利用三角形的中位線有

DEI/AC,…由此證得線面平行.⑵當(dāng)C￡>JLA8時平面A叫A1平面C。片.利用CD1AB,CD1AAt,

可證得CZ）_L平面A644,由此證得兩個平面垂直.利用等面積法求得A。的長.

【試題解析】（1）如圖，連接80,交于點(diǎn)E，連接OE，則點(diǎn)￡是5C；的中點(diǎn)，

又點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，由中位線定理得。E||AG，因?yàn)樾平面片CD,平面4CD,

所以AG||平面68.

（2）當(dāng)CD_LAB時平面ABB.A_L平面CDB..

證明：因?yàn)锳A，平面ABC，COu平面ABC,所以AA_LC。.

又CD1A8，A41cA8=4,所以CQ1平面A84A,

因?yàn)镃Ou平面。。片，所以平面434A1平面CQ片，故點(diǎn)。滿足CQL4B.

因?yàn)锳8=5,AC=3,BC=4,所以AC?+臺。2=