15.2.2分式的加減（解析版）

15.2.2分式的加減一、單選題1．2018年、2019年、2020年某地的森林面積（單位：km2）分別是S1，S2，S3，2020年與2019年相比，森林面積的增長(zhǎng)率提高了（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別表示出兩年的增長(zhǎng)率，然后求差，進(jìn)行分式的減法運(yùn)算即可．【詳解】2019年的增長(zhǎng)率是：，2020年的增長(zhǎng)率是：，則2020年與2019年相比，森林面積的增長(zhǎng)率提高了：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列代數(shù)式以及分式的減法，正確表示出增長(zhǎng)率是解題關(guān)鍵．2．已知，則的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】∵，∴，∴原式＝﹣2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．已知為實(shí)數(shù)且滿足，設(shè)，則下列兩個(gè)結(jié)論（）①時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；②若，則．A．①②都對(duì) B．①對(duì)②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對(duì) D．①②都錯(cuò)【答案】C【分析】①根據(jù)分式的加法法則計(jì)算，然后分情況討論即可得結(jié)論；②根據(jù)方式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再進(jìn)行分類討論即可得結(jié)論．【詳解】，，，，，，①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，或，或，或；當(dāng)時(shí)，和可能同號(hào)，也可能異號(hào)，或，而，或；①錯(cuò)；②，原式，，，，，．②對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的熟練運(yùn)用．4．已知，則代數(shù)式的值（）A．4 B．9 C．－4 D．－8【答案】A【分析】由＝3，變形得y-x=3xy，然后整體代入代數(shù)式，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論.【詳解】由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，則===4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，利用整體代入法是解決本題的關(guān)鍵．5．對(duì)于兩個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算*如下：．例如：．若，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)新定義，把轉(zhuǎn)化為分式的運(yùn)算即可．【詳解】根據(jù)定義運(yùn)算*，，，去分母得，，代入得，，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義運(yùn)算以及分式運(yùn)算，解題關(guān)鍵是根據(jù)新定義運(yùn)算找到x、y之間的關(guān)系，再整體代入．6．已知：是整數(shù)，．設(shè)．則符合要求的的正整數(shù)值共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先求出y的值，再根據(jù)x，y是整數(shù)，得出x＋1的取值，然后進(jìn)行討論，即可得出y的正整數(shù)值．【詳解】∵∴．∵x，y是整數(shù)，∴是整數(shù)，∴x＋1可以取±1，±2．當(dāng)x＋1＝1，即x＝0時(shí)＞0；當(dāng)x＋1＝?1時(shí)，即x＝?2時(shí)，（舍去）；當(dāng)x＋1＝2時(shí)，即x＝1時(shí)，＞0；當(dāng)x＋1＝?2時(shí)，即x＝?3時(shí)，＞0；綜上所述，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，y的正整數(shù)值是4或3或1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則，求出y的值是解題的關(guān)鍵．7．定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”．例如，分式與互為“3階分式”．設(shè)正數(shù)x，y互為倒數(shù)，則分式與互為（）A．二階分式 B．三階分式 C．四階分式 D．六階分式【答案】A【分析】根據(jù)題意得出xy＝1，可以用表示y，代入+，計(jì)算結(jié)果為2即可．【詳解】由題意得：xy＝1，則y＝，把

y＝，代入+，得：原式＝+＝+＝2∴與互為“2階分式”，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道新定義型題目，主要考查分式的相關(guān)計(jì)算，有一定難度，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．如果，，是正數(shù)，且滿足，，那么的值為（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵a，b，c是正數(shù)，且滿足a+b+c=1，∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，∴====2故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題9．已知＝，且A、B為常數(shù)，則A+3B＝_____．【答案】0【分析】先通分，再根據(jù)分式的加減進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)已知得出二元一次方程組，求出方程組的解，再代入求值即可．【詳解】＝＝＝，∵＝，且A、B為常數(shù)，∴，∴，解得：，∴A+3B＝3+3×(-1)=0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減和解二元一次方程組，能得出關(guān)于A、B的方程組是解此題的關(guān)鍵．10．已知為整數(shù)，且為整數(shù)，則所有符合條件的值的和為_____．【答案】【分析】先將原分式進(jìn)行通分變形，約分化簡(jiǎn)，然后求得符合題意的解即可．【詳解】，∵，為整數(shù)∴，或或或∴或或或∴∴所有符合條件的值的和為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)與分式的整數(shù)值，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握分式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．11．下列語句及寫成式子不正確的是______．①；②分式、、都是最簡(jiǎn)分式；③；④當(dāng)時(shí)，則代數(shù)式．【答案】①②③【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義、分式的加法和分式的性質(zhì)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】，故①錯(cuò)誤；，故②錯(cuò)誤；，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則代數(shù)式，故④正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)分式，最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子、分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，從而進(jìn)行約分．12．已知：，其中a，b，c，d是常數(shù)，則a+2b+3c+4d的值為_____．【答案】0【分析】由＝＝，根據(jù)對(duì)應(yīng)相等，求出a，b，c，d的值，代入計(jì)算即可．【詳解】∵，＝，＝，∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，∴a+2b+3c+4d＝1+2×（﹣3）+3×3+4×（﹣1），＝0，故答案為0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減法，解決此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．三、解答題13．觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗(yàn)證：；．（1）按照上述等式及驗(yàn)證過程的基本思想，請(qǐng)寫出兩個(gè)類似的等式，并選擇其中一個(gè)寫出驗(yàn)證過程；（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，并驗(yàn)證．【答案】（1）；（答案不唯一），證明見解析；（2），證明見解析【分析】（1）直接仿照題干寫出兩個(gè)等式即可；（2）利用規(guī)律寫出不等式并驗(yàn)證即可．【詳解】（1）答案不唯一，如：；證明：；（2）證明：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查規(guī)律，讀懂題干并找到規(guī)律是關(guān)鍵．14．先化簡(jiǎn)，再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)a代入求值【答案】，【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把合適的的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】，∵，為整數(shù)，且，，，∴取，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．注意本題的值只能為-1．15．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律：（1）根據(jù)以上式子填空：①．②．（2）當(dāng)取哪些正整數(shù)時(shí)，分式的值為整數(shù)？【答案】（1）①；②；（2）1或3【分析】（1）觀察可發(fā)現(xiàn)，原式子將分式化為“整式+分式”的形式，分別利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)即可；（2）利用所得規(guī)律化簡(jiǎn)原分式，再探究當(dāng)x取什么值時(shí)，的值為整數(shù)．即可得到答案．【詳解】（1）①．故答案為．②故答案為．（2）當(dāng)為正整數(shù)，且為5的約數(shù)時(shí)，的值為整數(shù)，即或時(shí)，的值為整數(shù)．∴，．即當(dāng)x為1或3時(shí)，的值為整數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：分式的變化規(guī)律，分式的加減運(yùn)算法則的逆用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給式子找出規(guī)律，并利用規(guī)律解答．16．先化簡(jiǎn)，再求值（1﹣）÷，其中m2＝1．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式=．【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再將除法化為乘法后，給各部分因式分解后約分，再求得，根據(jù)分母不能為0，將代入計(jì)算即可．【詳解】原式＝==，∵m2＝1，∴，又∵分式的分母不為0，即，∴當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．注意運(yùn)算順序和約分法則．還需注意分式的分母不能為0．17．先化簡(jiǎn)（﹣）÷，然后從﹣2＜x＜3中選擇一個(gè)合適的值代入求值．【答案】，當(dāng)x=2時(shí)，原式=2．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再選取一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】原式=，∵x≠0，x≠1，x≠-1，且﹣2＜x＜3，∴x取x=2，∴當(dāng)x=2時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解答此題的關(guān)鍵．18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是不等式組的整數(shù)解．【答案】

【分析】首先把括號(hào)里因式進(jìn)行通分，然后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，再解一元一次不等式組，求出整數(shù)解，最后代值計(jì)算．【詳解】原式．不等式組：解不等式組得：-1≤a≤2，∴a的整數(shù)解是-1，0，1，2．又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a為整數(shù)，∴a可取值為2．當(dāng)a=2時(shí)，原式=故答案為．【點(diǎn)評(píng)】考查了分式的混合運(yùn)算和一元一次不等式組的整數(shù)解，分式的混合運(yùn)算需特別注意運(yùn)算順序及符號(hào)的處理，也需要對(duì)通分、分解因式、約分等知識(shí)點(diǎn)熟練掌握．19．先化簡(jiǎn)，再求值：，再?gòu)模?，2，3中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為x的值，代入求值．【答案】，【分析】分式的混合運(yùn)算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加減，然后代入求值．【詳解】=÷=·==由題意可得：x≠0且x≠±2∴當(dāng)x=3時(shí)，原式=【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．20．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，如，；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，．假分式也可以化為整式與真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；（2）將假分式化為整式與真分式的和的形式；（3）當(dāng)x取什么整數(shù)時(shí)的值為整數(shù)．【答案】（1）真分式；（2）x+2﹣；（3）x＝3【分析】（1）根據(jù)真分式的定義求