15.1.2分式的基本性質(zhì)（解析版）

15.1.2分式的基本性質(zhì)一、單選題1．下列約分計算結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解，確定分子，分母的公因式，后約分化簡，計算即可．【詳解】∵與a+b沒有公因式，∴無法計算，∴的計算是錯誤的，∴選項A不符合題意；∵a+m與a+n沒有公因式，∴無法計算，∴的計算是錯誤的；∴選項B不符合題意；∵-a+b=-(a+b)與a+b的公因式是a+b，∴，∴選項C符合題意；∵，∴的計算是錯誤的；∴選項D不符合題意；故選C．【點評】本題考查了分式的化簡，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握化簡計算的要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．2．下列分式中，屬于最簡分式的個數(shù)是（）①，②，③，④，⑤，⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)最簡分式的定義判斷即可．【詳解】①，③，④，⑤，可約分，不是最簡分式；②，⑥分子分母沒有公因式，是最簡分式，一共有二個；故選：B．【點評】本題考查了最簡分式，解題關(guān)鍵是明確最簡分式的定義，準(zhǔn)確判斷分子分母是否含有公因式．3．下列命題中的真命題是（）A．多項式x2－6x＋9是完全平方式B．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，則△ABC是直角三角形C．分式是最簡分式D．命題“對頂角相等”的逆命題是真命題【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式、直角三角形性質(zhì)、分式化簡、和對頂角相等的逆命題進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵x2－6x＋9=（x－3）2，故A選項是真命題；∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故B選項是假命題；∵，故C選項是假命題；“對頂角相等”的逆命題是相等的角是對頂角，是假命題，故D選項是假命題；故選：A【點評】本題考查了分式的性質(zhì)、完全平方公式、直角三角形性質(zhì)、逆命題，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．4．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分母因式分解，再約分即可．【詳解】，故選：A．【點評】本題考查了分式的約分，解題關(guān)鍵是把多項式因式分解，然后熟練運用分式基本性質(zhì)進(jìn)行約分．5．若把，的值同時擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【詳解】A、=，故A的值保持不變．

B、，故B的值不能保持不變．

C、，故C的值不能保持不變．

D、，故D的值不能保持不變．

故選：A．【點評】本題考查了分式，解題的關(guān)鍵是正確理解分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．下列關(guān)于分式的各種說法中，錯誤的是（）．A．當(dāng)時，分式無意義 B．當(dāng)時，分式的值為負(fù)數(shù)C．當(dāng)時，分式的值為正數(shù) D．當(dāng)時，分式的值為【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義和性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】當(dāng)時，分式無意義，選項A正確；當(dāng)時，分式的值可能為負(fù)數(shù)，可能為正數(shù)，故選項B錯誤；當(dāng)時，，分式的值為正數(shù)，選項C正確；當(dāng)時，，分式的值為，選項D正確；故選：B．【點評】本題考查了分式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的性質(zhì)，從而完成求解．7．下列命題中，屬于真命題的是（）A．如果，那么 B．是最簡分式C．直角三角形的兩個銳角互余 D．不是對頂角的兩個角不相等【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法、最簡分式的化簡、直角三角形的性質(zhì)、對頂角的概念判斷即可．【詳解】A.如果ab=0，那么a=0或b=0或a、b同時為0，本選項說法是假命題，不符合題意；B.，故不是最簡分式，本選項說法是假命題，不符合題意；C.直角三角形的兩個銳角互余，本選項說法是真命題，符合題意；D.不是對頂角的兩個角可能相等，本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉教材中的性質(zhì)定理．8．若，則下列分式化簡中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可以判斷各個選項中的式子是否正確，從而可以解答本題；【詳解】∵A、，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，故該選項正確；D、，故該選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了分式的混合運算，解題時需要熟練掌握分式的性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；二、填空題9．已知、、、、、都為正數(shù)，，，，，，，則________．【答案】【分析】根據(jù)等式性質(zhì)及分式性質(zhì)進(jìn)行計算即可求得結(jié)果．【詳解】由，，，，，，可將每個等式的左右兩邊相乘得：，∴，，∴，同理可得：，，，，，∴；故答案為．【點評】本題主要考查等式性質(zhì)及分式性質(zhì)，熟練掌握等式性質(zhì)及分式性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．已知，則分式的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，進(jìn)行約分就可求出結(jié)果．【詳解】∵，∴x-y=4xy，∴原式=，故答案為：．【點評】此題考查分式的基本性質(zhì)，正確對已知式子進(jìn)行化簡，約分，正確進(jìn)行變形是關(guān)鍵．11．已知，求__________．【答案】4【分析】將分式整理成，根據(jù)可得，代入分式并約分即可求解．【詳解】∵，∴∴，故答案為：4．【點評】本題考查分式的性質(zhì)，將分式整理成的形式是解題的關(guān)鍵．12．將分式的分子、分母各項系數(shù)化為整數(shù)，其結(jié)果為_______________．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母都乘以最小公倍數(shù)6，分式的值不變，并且其分子、分母各項系數(shù)化為整數(shù)．【詳解】．故答案為：．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．三、解答題13．我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點，如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分?jǐn)?shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．如：==1+．（1）請寫出分式的基本性質(zhì)；（2）下列分式中，屬于真分式的是；A．B．C．﹣D．（3）將假分式，化成整式和真分式的形式．【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變；（2）C；（3）=m﹣1+【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)回答即可；（2）根據(jù)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式進(jìn)行判斷即可；（3）先把轉(zhuǎn)化為得到，其中前面一個分式約分后化為整式，后面一個是真分式．【詳解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變．（2）根據(jù)題意得：選項C的分子次數(shù)是0，分母次數(shù)是1，分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)是真分式．而其他選項是分子的次數(shù)均不小于分母的次數(shù)的分式，故ABD選項是假分式，故選：C．（3）∵=m﹣1+，∴故答案為：m﹣1+．【點評】本題考察了分式的基本性質(zhì)以及未知數(shù)的次數(shù)問題，解答本題的關(guān)鍵是熟悉掌握未知數(shù)次數(shù)的判斷以及分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變．14．約分（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）m；（3）【分析】（1）約去分子分母的公因式即可得到結(jié)果；（2）將分子進(jìn)行因式分解，約去公因式（）即可得到結(jié)果；（3）首先把分子分母分解因式，然后再約掉分子分母的公因式即可．【詳解】（1）＝＝；（2）＝＝m；（3）＝＝．【點評】此題主要考查了分式的約分，關(guān)鍵是正確確定分子分母的公因式．15．先約分，再求值：其中.【答案】【分析】先把分式的分子分母分解因式，約分后把a(bǔ)、b的值代入即可求出答案．【詳解】原式===當(dāng)時原式==．【點評】本題考查了分式的約分，解題的關(guān)鍵是熟練進(jìn)行分式的約分，本題屬于基礎(chǔ)題型．16．已知，求A、B的值.【答案】A=，B=【分析】先對等式右邊通分，再利用分式相等的條件列出關(guān)于A、B的方程組，解之即可求出A、B的值.【詳解】∵,又∵，∴，∴，解得.∴A=，B=.【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì).利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，再利用系數(shù)對應(yīng)法列出方程組是解題的關(guān)鍵.17．若分式的和化簡后是整式，則稱是一對整合分式．（1）判斷與是否是一對整合分式，并說明理由；（2）已知分式M，N是一對整合分式，，直接寫出兩個符合題意的分式N．【答案】（1）是一對整合分式，理由見解析；（2）答案不唯一，如．【分析】（1）根據(jù)整合分式的定義即可求出答案．

（2）根據(jù)整合分式的定義以及分式的運算法則即可求出答案．【詳解】（1）是一對整合分式，理由如下：∵，滿足一對整合分式的定義，與是一對整合分式．（2）答案不唯一，如．【點評】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．已知．（1）用含z的代數(shù)式表示x，y；（2）求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)加減消元法解關(guān)于x、y的方程組即可（2）將（1）中的結(jié)果代入分式中進(jìn)行運算即可【詳解】（1）①②得，解得．把代入①，得，解得．（2）．【點評】本題考查了用加減法解方程組的特殊解法，把x、y看作未知數(shù)解方程組是解題的關(guān)鍵19．一個矩形的面積為，如果它的一邊為，求這個矩形的周長．【答案】這個矩形的周長為：【分析】根據(jù)整式的除法運算法則與合并同類項法則，即可求解．【詳解】∵矩形的一邊長為，面積為，∴矩形的另一邊長為：∴該矩形的周長為：．答：這個矩形的周長為：．【點評】本題主要考查整式的除法法則與加法法則，掌握因式分解與合并同類項法則，是解題的關(guān)鍵．20．閱讀理解：對于二次三項式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式進(jìn)行因式分解，得到結(jié)果為（a+b）2．而對于二次三項式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我們可采用下述方法：a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．解決問趣：（1）請利用上述方法將二次三項式a2+6ab+8b2分解因式；（2）如圖，邊長為a的正方形紙片1張，邊長為b的正方形紙片8張，長為a，寬為b的長方形紙片6張，這些紙片可以拼成一個不重疊，無空隙的長方形圖案，請畫出示意圖；（3）已知x＞0，且x≠2，試比較分式與的大?。敬鸢浮浚?）（a+2b）（a+4b）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題目的引導(dǎo)，