河南省平頂山市葉縣高級中學2024-2025學年高二上學期9月月考數(shù)學試卷含答案及解析

2024~2025學年上學期高二年級9月月考數(shù)學試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂，黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇必修第一冊第一章~第二章2.4.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓的圓心與半徑分別為（）A.， B.，C.， D.，2.兩平行直線和之間的距離為（）A. B.2 C. D.33.已知點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標為（）A. B.C. D.4.經(jīng)過直線和交點，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為（）A. B. C. D.5.已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（）A或 B.或1 C.或2 D.6.直線關于直線對稱的直線方程為（）A B. C. D.7.在空間直角坐標系中，已知，則點A到直線的距離為（）A B. C. D.8.如圖，在棱長為1的正方體中，，，若平面，則線段的長度的最小值為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知向量，則下列向量中與共面的向量是（）A. B. C. D.10.已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點P到坐標原點O的距離可能為（）A. B. C. D.11.如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長為2的菱形，，為對角線的交點，為的中點．則下列說法正確的是（）A. B.三棱錐的外接球的半徑為C.當異面直線和所成的角為時， D.點F到平面與到平面的距離相等三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點且在兩坐標軸上截距相等直線方程是_______________13.已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為_______，直線l的斜率的取值范圍為_______．14.如圖，在三棱柱中，，為的中點，E為的中點，和相交于點P，則_______．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知三個頂點的坐標分別是.（1）求的面積（2）求外接圓的方程16.在中，頂點A在直線上，頂點B的坐標為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．（1）求直線的方程；（2）若直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，求直線l的方程．17.如圖，在長方體中，，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.已知直線與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點，O為坐標原點．（1）求的最小值；（2）求的最小值．19.如圖，在四棱錐中，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．

2024~2025學年上學期高二年級9月月考數(shù)學試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂，黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇必修第一冊第一章~第二章2.4.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓的圓心與半徑分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓心和半徑.【詳解】圓心為，即，半徑為.故選：C2.兩平行直線和之間的距離為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用平行線間距離公式計算即得.【詳解】平行直線和之間的距離.故選：A3.已知點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設點D的坐標為．結合平行四邊形的一組對邊平行且相等的性質(zhì)和空間向量的相等向量的計算即可求解.【詳解】設設點D的坐標為，由題意得，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，解得，故選：A4.經(jīng)過直線和的交點，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩直線的交點坐標，再利用二倍角的正切公式求出直線的斜率即可求解.【詳解】由，解得，即所求方程的直線過點，令直線的傾斜角為，則，顯然是銳角，因此所求方程的直線斜率，所以所求的直線方程為，即.故選：C5.已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可【詳解】因為所以，因為平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，所以，化簡得，解得或1．故選：B6.直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程組求出兩條直線的交點坐標，再求出直線上的點關于直線的對稱點即可求解.【詳解】由，解得，則直線與直線交于點，在直線上取點，設點關于直線的對稱點，依題意，，整理得，解得，即點，直線的方程為，即，所以直線關于直線對稱的直線方程為.故選：D7.在空間直角坐標系中，已知，則點A到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量法求出點到直線距離即可.【詳解】，，.故選：A.8.如圖，在棱長為1的正方體中，，，若平面，則線段的長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建系，求出相關點的坐標，用表示出，證明平面，求得平面的法向量，由條件得到，將的表達式整理成二次函數(shù)，利用其最小值即得.【詳解】如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則有,依題意，，,于，.又因平面，平面,則,又,平面，故平面,故平面的法向量可取為，因平面，故，即.則，因，故當時，.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知向量，則下列向量中與共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)共面向量定理，設出表達式，由方程組的解的情況確定是否與共面即得.【詳解】對于A，設，則得，解得，即，故A正確；對于B，設，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故B錯誤；對于C，設，則得，解得，即，故C正確；對于D，設，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故D錯誤.故選：AC.10.已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點P到坐標原點O的距離可能為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設出動點Ax1,y【詳解】令Ax1,y1、Bx2,y設AB的中點M的坐標為，則有：，兩式相加得：，所以，則原點到該直線的距離，大于該值的都有可能.故選：CD11.如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長為2的菱形，，為對角線的交點，為的中點．則下列說法正確的是（）A. B.三棱錐的外接球的半徑為C.當異面直線和所成的角為時， D.點F到平面與到平面的距離相等【答案】ACD【解析】【分析】在菱形中，過點作直線，以為原點建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間向量求出線線角判斷AC；求出點到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.【詳解】在菱形中，過點作直線，由底面，得直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，而，則，由，得，則，對于A，，，則，于是，A正確；對于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，因此，三棱錐的外接球，B錯誤；對于C，，由異面直線和所成的角為，得，整理得，而，解得，C正確；對于D，，設平面與平面的法向量分別為，，令，得，，令，得，而，則點F到平面的距離，點F到平面的距離，顯然，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是_______________【答案】或.【解析】【分析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.【詳解】當截距為0時,滿足在兩坐標軸上的截距相等.此時設直線方程為,則,故,化簡得.當截距不為0時,設直線方程為,則.故,化簡可得.故答案為：或.【點睛】本題主要考查了根據(jù)直線的截距關系式求解直線方程的問題,需要注意分截距為0與不為0兩種情況進行求解.屬于基礎題.13.已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為_______，直線l的斜率的取值范圍為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】分別求得直線，的斜率，結合圖形可得的范圍，再由直線的斜率公式，可得傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示：由點，可得直線的斜率為，直線的斜率為，由直線與線段相交，可得的范圍是；由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角故答案為：；.14.如圖，在三棱柱中，，為的中點，E為的中點，和相交于點P，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用空間向量的基底表示，然后利用向量數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】在三棱柱中，連接，由分別為的中點，得，且，則，，，而，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知三個頂點的坐標分別是.（1）求的面積（2）求外接圓的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用斜率可得，則，由已知數(shù)據(jù)求解即可；（2）由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，求出圓心和半徑即可得外接圓的方程.【小問1詳解】三個頂點的坐標分別是，直線的斜率，直線的斜率，則，即.，，.【小問2詳解】由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，線段的中點為，半徑，所以外接圓的方程是.16.在中，頂點A在直線上，頂點B的坐標為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．（1）求直線的方程；（2）若直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出直線方程，與直線方程聯(lián)立求出點的坐標，再設出點的坐標，由的中點在直線上，求出點的坐標，然后求出直線方程.（2）按直線過的中點及與平行求出方程即得.【小問1詳解】由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，而邊中線所在的直線方程為，由，解得，則，設點，則點，于是，解得，即點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，，，由直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點，或，當直線過時，直線的斜率為，方程為，即，當直線時，直線的斜率為，方程為，即，所以直線l的方程為或.17.如圖，在長方體中，，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，再利用空間位置關系的向量證明推理即得.（2）利用（1）中坐標系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以D為坐標原點，向量分別為軸建立空間直角坐標系，有，，，，，，，則，，，，，因此，，又，，平面，所以平面.【小問2詳解】設平面的法向量為，由，，有，取，得，設直線與平面所成的角為，而則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知直線與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點，O為坐標原點．（1）求的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）先判斷直線經(jīng)過定點，設直線的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得；（2）利用（1）的結論，借助于常值代換法和基本不等式即可求得【小問1詳解】由整理得，，令，解得，即直線經(jīng)過定點.不妨設直線的方程為，則有（*）由（*）和基本不等式可得，，解得，當且僅當時，即時，等號成立，故當時，的最小值為12；【小問2詳解】因，由（1）得，，則，當且僅當時，等號成立，故當時，取得最小值.19.如圖，在四棱錐中，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過計算得出,取線段的三等分點（靠近點）證明平面平面即得；（2）依題建系，設與軸成角，分別求得點坐標和兩平面法向量，計算它們夾角的余弦值的表達式，求其值域即得.【小問1詳解】如圖，連接，兩線交于點，因則，，在中，設，由余弦定理，，解得，則,由題意知：共線且，取線段的三等分點（靠近點），連接，則點是的中點，因為的中點，故有,又平面，平面，故得，平面①因且，易知為菱形，故得，又平面