第27章 圓-切線判定的常用方法 華東師大版九年級下冊專題訓練1(含答案)

專題訓練三切線判定的常用方法有公共點,連半徑,證垂直1.已知△ABC內(nèi)接于☉O,過點A作直線EF,如圖所示,AB是不過圓心O的弦,且∠CAE=∠B,那么EF是☉O的切線嗎?試證明你的判斷.2.如圖,已知AB為☉O的直徑,C是BD的中點,AD垂直于過點C的直線于點E.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)若∠BAD=60°,AB=43,求CE的長.3.如圖,AB是☉O的直徑,點C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,點F在線段AB的延長線上,且∠AFE=∠ABC.(1)求證:EF是☉O的切線;(2)若BF=1,sin∠AFE=45,求BC的長4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延長CA到點D,以AD為直徑作☉O,交BA的延長線于點E,延長BC到點F,使BF=EF.(1)求證:EF是☉O的切線;(2)若OD=5,∠F=100°,求扇形AOE的面積.(結(jié)果保留π)無切點,作垂直,證半徑5.如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AB與☉O相切于點D.求證:AC是☉O的切線.6.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB為直徑作☉O.求證:CD與☉O相切.7.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點,DE=DC,以點D為圓心,BD長為半徑作☉D,AB=5,EB=2.(1)求證:AC是☉D的切線;(2)求線段AC的長.8.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O為AB的中點,連結(jié)CO交☉O于點E,☉O與AC相切于點D.(1)求證:BC是☉O的切線;(2)延長CO交☉O于點G,連結(jié)AG交☉O于點F,若AC=42,求FG的長.

【詳解答案】1.解:EF是☉O的切線.證明如下:如圖,連結(jié)AO并延長,交☉O于點M,連結(jié)CM,則∠ACM=90°,∠M=∠B,∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.∵∠CAE=∠B,∴∠CAM+∠CAE=90°.∴AE⊥AM.∵AM為☉O的直徑,∴EF是☉O的切線.2.(1)證明:如圖1.連結(jié)OC.圖1∵C是BD的中點,∴DC=BC,∴∠CAD=∠∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠CAD=∠ACO,∴AE∥OC.∵AE⊥CE,∴OC⊥CE.∵OC是☉O的半徑,∴CE是☉O的切線.(2)解:如圖2,連結(jié)BC.圖2∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BAD=60°,∴∠CAD=∠BAC=30°.∵AB=43,∴AC=ABcos∠BAC=43×32∴CE=ACsin∠CAD=6×12=33.(1)證明:如圖,連結(jié)OE,則∠FOE=2∠OAE.∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE.∵∠AFE=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE.∴∠ACB=∠OEF.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠OEF=90°,即OE⊥EF,∵OE是☉O的半徑,∴EF是☉O的切線.(2)解:設半徑為r,即OE=OB=r,則OF=r+1,在Rt△EOF中,sin∠AFE=45=OEOF=∴AB=2r=8.在Rt△ABC中,sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=4∴AC=45×8=32∴BC=AB4.(1)證明:如圖,連結(jié)EO.∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE.∵∠OAE=∠CAB,∴∠OEA=∠CAB.∵EF=FB,∴∠FEB=∠FBE.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∴∠BEF+∠OEA=90°,即∠OEF=90°.∵點E在☉O上,∴EF是☉O的切線.(2)解:在四邊形COEF中,∠FEO=∠OCF=90°,∴∠F+∠EOC=180°.∵∠F=100°,∴∠EOC=180°-100°=80°.∴扇形AOE的面積為52×80π5.證明:如圖,過點O作OE⊥AC于點E,連結(jié)OD、OA,∵AB與☉O相切于點D,∴AB⊥OD.∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,∴AO是∠BAC的平分線.∴OE=OD,即OE是☉O的半徑.∵AC經(jīng)過☉O的半徑OE的外端點且垂直于OE,∴AC是☉O的切線.6.證明:如圖,連結(jié)CO,延長CO、DA交于點H,過點O作OE⊥CD于點E,∵∠OAH=∠B=90°,∠AOH=∠BOC,AO=BO,∴△AOH≌△BOC(A.S.A.).∴AH=BC,HO=CO.∵AD+BC=CD,AH+AD=HD,∴CD=DH.∴∠H=∠DCH.∵∠OAH=∠OEC=90°,HO=CO,∴△AHO≌△ECO(A.A.S.).∴OA=OE.∴OE為☉O的半徑.∵OE⊥EC,∴CD與☉O相切.7.(1)證明:如圖,過點D作DF⊥AC于點F.∵∠B=90°,AD平分∠BAC,∴BD=DF.∴DF為☉D的半徑.∴AC為☉D的切線.(2)解:∵AC為☉D的切線,∴∠DFC=∠B=90°.∵在Rt△BDE和Rt△FDC中,BD=FD,DE=DC,∴Rt△BDE≌Rt△FDC(H.L.).∴EB=CF.∵AB=AF,∴AB+EB=AF+CF,即AB+EB=AC.∴AC=5+2=7.8.(1)證明:如圖1,連結(jié)OD,過點O作OP⊥BC于點P.圖1∵☉O與AC相切于點D,∴OD⊥AC.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O為AB的中點,∴∠OCD=∠OCP=45°,∴OD=OP,即OP是☉O的半徑,∴BC是☉O的切線.(2)解:∵AC=42.BC=AC,∠ACB=90°.∴AB=2AC=8