2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

4.1.1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解n次方根及根式的概念.正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算.2.學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化,駕馭用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值.自主預(yù)習(xí)1.有理指數(shù)冪(1)一般地,an中的a稱為,n稱為.

(2)一般地,給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a,假如存在實(shí)數(shù)x,使得,則x稱為a的n次方根.

①0的隨意正整數(shù)次方根均為,記為.

②正數(shù)a的偶數(shù)次方根有兩個,它們互為,其中正的方根稱為a的,記為,負(fù)的方根記為;負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi).

③隨意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個,記為.而且正數(shù)的奇數(shù)次方根是一個,負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方根是一個.

(3)當(dāng)na有意義的時候,na稱為,n稱為,a稱為一般地,根式具有以下性質(zhì):①(na)n②nan(4)一般地,假如n是正整數(shù),那么:當(dāng)na有意義時,規(guī)定a1n=;當(dāng)na對于一般的正分?jǐn)?shù)mn,也可作類似規(guī)定,即amn==.但值得留意的是,這個式子在mn不是既約分?jǐn)?shù)(即m負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:若s是正分?jǐn)?shù),as有意義且a≠0時,規(guī)定a-s=.

(5)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則:asat=,(as)t=,(ab)s=.

點(diǎn)撥(1)在(na)n中,當(dāng)n為奇數(shù)時,a∈R;當(dāng)n為偶數(shù)時,a≥0.但在nan中,(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn不行以理解為mn個2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪一般地,當(dāng)a>0且t是時,at是一個確定的實(shí)數(shù).因此,當(dāng)a>0時,t為時,可以認(rèn)為實(shí)數(shù)指數(shù)冪at都有意義.

課堂探究例1用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x25;(2)要點(diǎn)歸納在實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡與計算中,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式在應(yīng)用上比較便利.而在求函數(shù)的定義域時,根式形式較簡單視察出各式的取值范圍.故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,要切實(shí)駕馭.變式訓(xùn)練1用根式表示x-12y23例2計算下列各式的值:(1)331039;(2)5變式訓(xùn)練2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,其中a>0,b>0.(1)5a6;(2)13a2;(3)4要點(diǎn)歸納指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)后,當(dāng)a≤0時,amn有時有意義,有時無意義.如(-1)13=3-1=-1,但(-1)12就不是實(shí)數(shù)了.為了保證在m例3化簡下列各式:(1)5x-2變式訓(xùn)練3化簡:18-12×-760+80.25×42核心素養(yǎng)專練1.化簡3aa=2.已知3a=2,3b=15,則32a-b=3.3(-6)3+4(4.求值:(1)(2-1)0+169-12(2)0.027-13--16-2+25605.化簡:3a72a-參考答案自主預(yù)習(xí)1.(1)底數(shù)指數(shù)(2)xn=a①0n0=②相反數(shù)n次算數(shù)根na-na③na正數(shù)(3)根式根指數(shù)被開方數(shù)(4)nana(5)as+tastasbs2.無理數(shù)隨意實(shí)數(shù)課堂探究例1(1)5x2變式訓(xùn)練13例2(1)3(2)25變式訓(xùn)練2(1)a65(2)a-23(3)例3(1)24y16(2)m變式訓(xùn)練3110+22核心素養(yǎng)專練1.a2.203.-64.(1)2(2)325.a第1課時學(xué)習(xí)目標(biāo)通過復(fù)習(xí)初中學(xué)問,引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的概念,通過對有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0,a≠1;m,n為整數(shù),且n>0)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0,a≠1;x∈R)含義的相識,了解指數(shù)冪的拓展過程,駕馭自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí),閱讀課本第3~4頁完成下列練習(xí),識記相關(guān)概念性質(zhì).復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則:aman=,(am)n=,(ab)m=,a-n=.

假如x2=a,那么x叫做a的平方根;分狀況探討:當(dāng)a>0,a=0,a<0時,a的平方根的狀況.假如x3=a,那么x叫做a的立方根.如:(±2)2=4,就叫4的平方根,9=;33=27,3就叫27的,38=課堂探究任務(wù)一類比二次方根和三次方根,學(xué)生獨(dú)立完成,給出四次方根和五次方根的定義思索并回答課本的問題:①(±3)4=81,±3就叫做81的次方根.

②依此類推,若存在實(shí)數(shù)根,使得xn=a,則x稱為a的n次方根.當(dāng)na有意義的時候,na稱為根式,n稱為根指數(shù),a方程xn=a根的狀況如何分類呢?當(dāng)n為奇數(shù)時,n次方根狀況如何?例如:①327=,3-27=.②記n次方根當(dāng)n為偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根狀況如何?例如:①(±3)4=,81的4次方根就是.②記n次方根x=.

思索下面兩個問題1.依據(jù)n次方根的定義,當(dāng)n為奇數(shù)時,是否對隨意實(shí)數(shù)a都存在n次方根?n為偶數(shù)呢?2.根式化簡開偶次方根時應(yīng)留意什么問題?要點(diǎn)歸納1.0的隨意正整數(shù)次方根均為0.2.正數(shù)a的偶次方根有兩個且它們互為相反數(shù);負(fù)數(shù)的偶次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在.3.隨意實(shí)數(shù)的奇數(shù)次方根都有且只有一個.學(xué)生舉例并總結(jié)根式的性質(zhì)一般的根式的性質(zhì):①na②當(dāng)n是奇數(shù)時,nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時,n學(xué)問應(yīng)用例1(1)有下列幾種說法:①16的4次方根是2;②416的運(yùn)算結(jié)果是±4;③當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時,na對隨意實(shí)數(shù)a都有意義;④當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時,na只有當(dāng)a(2)求值化簡:3(-a)3;4(-7)4任務(wù)二閱讀課本第5頁的“嘗試與發(fā)覺”,得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義及運(yùn)算性質(zhì)(a)2=a1=(a12)2能成為(am)n=aab=ab能成為ambm=(ab)m的特例嗎?m,n視察(5)2=51=(512)2,所以51一般地,假如n是正整數(shù),那么:當(dāng)na有意義時,規(guī)定a1n當(dāng)na沒有意義時,稱a1規(guī)定amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1);a-mn=1amn=1na跟蹤練習(xí)(1)將下列根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式.nam=(a>0,m,n∈N*,n>1);3x2=;(2)求值:6413;探討:0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.隨意實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):a>0,b>0,α,β∈R.①

②

③

任務(wù)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.a3·a=,a3·3a2=,aa=(式中例3求值:2723;16-34變式訓(xùn)練化簡:①a2a(a>0);②13③a23b1課堂練習(xí)1.3a·6-aA.--a B.-a C.-a2.625的4次方根是()A.5 B.-5 C.±5 D.253.下列結(jié)論中,正確的命題的個數(shù)是()①當(dāng)a<0時,(a2)32=a3;②nan=|a|;③函數(shù)y=(x-2)12-(3x-7)0的定義域?yàn)?0,+∞A.0 B.1 C.2 D.34.求值:(1)33·43·427作業(yè)布置1.課本P8練習(xí)A第3,4題,練習(xí)B第1題.2.整理筆記及上課講的習(xí)題.核心素養(yǎng)專練1.4(-3)A.3 B.-3 C.±3 D.812.化簡(-b)2是(A.-b B.b C.±b D.13.化簡6(a-4.計算:(3-5)3=;35.化簡a+4(1-A.1 B.2a-1 C.1或2a-1 D.06.假如a,b都是實(shí)數(shù),則下列實(shí)數(shù)肯定成立的是()A.3a3+B.|a|+b2=a2C.4(a2+D.a27.當(dāng)8<x<10時,(x-8)28.若x2-2x+1+y2+69.若(|x|-1)-13有意義,則x10.化簡:(1)(3649)311.計算1612+181-12.若a2-2a+113.化簡下列各式.(1)4-23;第2課時學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)一步駕馭根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,及運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡與求值.自主預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)根式的性質(zhì)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義一般的根式的性質(zhì):①na②當(dāng)n是奇數(shù)時,nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時,n分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1);a-mn=1amn=1na隨意實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):a>0,b>0,α,β∈R.①

②

③

自我檢測1.下列各式正確的是()A.-32=-3 B.4C.22=2 D.3(-2.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A.-x=(-x)12(B.6y2=y1C.x-34=4D.x-13=-33.求值:2723+16-12課堂探究任務(wù)一典型例題例1求證:假如a>b>0,n是大于1的自然數(shù),那么a1n>推論:假如a>b>0,s是正有理數(shù),那么as>bs.利用例1的結(jié)論可以證明(課后練習(xí))(1)假如a>1,s為正有理數(shù),那么as>1,a-s<1;(2)假如a>1,s>t>0,s與t均為有理數(shù),那么as>at.應(yīng)用:比較大小①21.5與23;②32.4與33.2;③335與1;④0.53與任務(wù)二例2計算下列各式的值.(1)331039;(2)5跟蹤練習(xí)1.-338-23+(0.002)-12-10×(5-2)-2.(0.064)-13--780+[(-2)3]-例3(1)化簡下列各式.①5②4a23b(2)已知a12+a①a+a-1;②a2+a-2;③a3跟蹤練習(xí)化簡:(1)(2m2n-35)10÷(-m12n-3任務(wù)三情境與問題國家統(tǒng)計局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,我國科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)探討經(jīng)費(fèi)支出近些年爆炸式增長:2013年為221.59億元,2024年、2024年、2024年的年增長率分別為16.84%,14.06%,14.26%,你能依據(jù)這三個年增長率的數(shù)據(jù),算出年平均增長率,并以2013年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ),預(yù)料2024年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎?提示年平均增長率的計算公式為,設(shè)年平均增長率與各增長p1,p2,…,pn之間的關(guān)系,即p=n(1+p課堂練習(xí)1.若x12+x-12=2.若3x=a,5x=b,則45x=()A.a2b B.ab2 C.a2+b D.a2+b23.3-8的值是課堂作業(yè)1.利用例1的結(jié)論可以證明(課后練習(xí)):(1)假如a>1,s為正有理數(shù),那么as>1,a-s<1;(2)假如a>1,s>t>0,s與t均為有理數(shù),那么as>at.2.課本P13習(xí)題4-1A第1,3題,4-1B第1,2題.核心素養(yǎng)專練1.已知x5=6,則x等于()A.6 B.5C.-56 D.±2.(42)4運(yùn)算的結(jié)果是(A.2 B.-2 C.±2 D.不確定3.m是實(shí)數(shù),則下列式子中可能沒有意義的是()A.4m2 B.3m C.4.下列各式化簡錯誤的是()A.a-2B.(a6b-9)-23=a-C.(x14y-1D.-15a15.下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中,正確的是()A.-x=(-x)12(B.x-1C.xy-34=4yD.6y2=y16.化簡:111912-3π20-1·181147.已知x=a-3+b-2,求4x28.已知x+x-1=3,求下列各式的值:(1)x12+(2)x32+9.探究:當(dāng)nan+(na)n=2a時,實(shí)數(shù)a和整數(shù)n所應(yīng)參考答案第1課時自主預(yù)習(xí)略課堂探究略課堂練習(xí)1.A2.C3.A4.(1)333(2)425a2b核心素養(yǎng)專練略第2課時自主預(yù)習(xí)略自我檢測1.C2.C3.3課堂探究例1求證:假如是a>b>0,n是大于1的自然數(shù),那么a1n>證明