2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE2．3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2．3.1離散型隨機(jī)變量的均值[目標(biāo)]1.能記住離散型隨機(jī)變量的均值的意義，會依據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值.2.能記住離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)，能記住兩點分布、二項分布的均值.3.會利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實際問題．[重點]離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計算；離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)以及兩點分布與二項分布的均值．[難點]離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)與應(yīng)用．學(xué)問點一離散型隨機(jī)變量的均值[填一填]1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)數(shù)學(xué)期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(2)數(shù)學(xué)期望的含義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2．均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，(1)Y也是隨機(jī)變量，(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.[答一答]1．隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有怎樣的關(guān)系？提示：隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系：隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù)，它不依靠于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而改變．對于簡潔隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．2．離散型隨機(jī)變量的分布列反映了隨機(jī)變量各個取值的概率，離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量的哪些內(nèi)容？提示：離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．3．離散型隨機(jī)變量的取值與離散型隨機(jī)變量均值的單位是否相同？提示：由定義可知離散型隨機(jī)變量均值的單位與離散型隨機(jī)變量的取值單位相同．學(xué)問點二兩點分布、二項分布的均值[填一填]1．兩點分布：若X聽從兩點分布，則E(X)＝p.2．二項分布：若X～B(n，p)，則E(X)＝np.[答一答]4．若某人投籃的命中率為0.8，那么他投籃10次肯定會進(jìn)8個球嗎？提示：某人投籃的命中率為0.8，是通過大量重復(fù)的試驗來推斷出來的一個均值．由于每次試驗是相互獨(dú)立的，投一次可能勝利，也可能失敗．也就是說投籃10次可能一個球也沒進(jìn)，也可能進(jìn)了幾個球，但并不肯定會是8個，只是從平均意義上講10次投籃進(jìn)8個球．1．正確理解離散型隨機(jī)變量的均值(1)隨機(jī)變量的均值反映的是離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．由定義可知，離散型隨機(jī)變量的均值與它本身有相同的單位．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫了它的取值規(guī)律，而隨機(jī)變量的均值是從一個側(cè)面刻畫隨機(jī)變量的取值特點．2．離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量，則其數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì)：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b(a，b∈R)；(2)E(ξ1＋ξ2)＝E(ξ1)＋E(ξ2)．3．求隨機(jī)變量ξ的均值的一般步驟(1)寫出ξ的分布列，在求ξ取每一個值的概率時，要聯(lián)系概率的有關(guān)學(xué)問，如分布列、古典概型、獨(dú)立事務(wù)的概率等；(2)由分布列求E(ξ)；(3)假如隨機(jī)變量是線性關(guān)系或聽從兩點分布、二項分布、超幾何分布，那么依據(jù)它們的期望公式計算．類型一求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人競賽，另一人當(dāng)裁判，每局競賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為eq\f(1,2)，各局競賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．【解】(1)記A1表示事務(wù)“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事務(wù)“第3局甲參與競賽時，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事務(wù)“第4局甲當(dāng)裁判”，則A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(1,4).(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事務(wù)“第3局乙和丙競賽時，結(jié)果為乙勝”，B1表示事務(wù)“第1局結(jié)果為乙勝丙”，B2表示事務(wù)“第2局乙和甲競賽時，結(jié)果為乙勝”，B3表示事務(wù)“第3局乙參與競賽時，結(jié)果為乙負(fù)”．則P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝eq\f(1,8)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)1·B3)＝P(eq\x\to(B)1)P(B3)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－eq\f(1,8)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,8).E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝eq\f(9,8).eq\a\vs4\al(求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟：,①理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X全部可能的取值；,②求出X取每個值的概率PX＝k；,③寫出X的分布列；,④利用均值的定義求EX.)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求圖中x的值；(2)從成果不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成果在90分以上(含90分)的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．解：(1)由頻率分布直方圖知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由頻率分布直方圖知成果不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018＋0.006)×10×50＝12，成果在90分以上(含90分)的人數(shù)為0.006×10×50＝3.ξ可能取0,1,2三個值，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(2,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,22).ξ的分布列為：ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)故E(ξ)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).類型二離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)【例2】已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)m若η＝aξ＋3，E(η)＝eq\f(7,3)，則a＝()A．1B．2C．3D．4【分析】先由分布列的性質(zhì)求出m，從而可求E(ξ)，利用期望的性質(zhì)E(η)＝aE(ξ)＋3求出a.【解析】由分布列的性質(zhì)得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋m＝1，∴m＝eq\f(1,6).∴E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－eq\f(1,3)a＋3＝eq\f(7,3)，∴a＝2.【答案】B若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ＝aX＋b，a，b為常數(shù).一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.(1)設(shè)E(ξ)＝10，則E(3ξ＋5)＝(A)A．35B．40C．30D．15解析：∵E(ξ)＝10，∴E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×10＋5＝35.(2)設(shè)ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)，又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)＝eq\f(32,3).解析：E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,6)＋eq\f(6,6)＋eq\f(8,6)＝eq\f(17,6).∴E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).類型三二項分布的均值【例3】某商場為刺激消費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷：顧客每消費(fèi)500元便得到抽獎券一張，每張抽獎券的中獎概率為eq\f(1,2)，若中獎，商場返回顧客現(xiàn)金100元．某顧客現(xiàn)購買價格為2300元的臺式電腦一臺，得到獎券4張．(1)設(shè)該顧客抽獎后中獎的抽獎券張數(shù)為ξ，求ξ的分布列．(2)設(shè)該顧客購買臺式電腦的實際支出為η(元)，用ξ表示η，并求η的數(shù)學(xué)期望．【分析】由題目可獲得以下主要信息：①該顧客共消費(fèi)2300元；②得獎券4張，且每張中獎率為eq\f(1,2)；③求ξ的分布列及η的數(shù)學(xué)期望．解答本題中的(1)可利用獨(dú)立重復(fù)試驗求解．(2)可先求出E(ξ)，進(jìn)而求出E(η)．【解】(1)由于每張獎券是否中獎是相互獨(dú)立的，因此ξ～B(4，eq\f(1,2))．∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,16)，其分布列為ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)∵ξ～B(4，eq\f(1,2))，∴E(ξ)＝4×eq\f(1,2)＝2.又由題意可知η＝2300－100ξ，∴E(η)＝E(2300－100ξ)＝2300－100E(ξ)＝2300－100×2＝2100.即所求變量η的期望為2100元．1假如隨機(jī)變量X聽從兩點分布，則其期望值EX＝pp為勝利概率.2假如隨機(jī)變量X聽從二項分布即X～Bn，p，則EX＝np，以上兩特例可以作為常用結(jié)論，干脆代入求解，從而避開了繁雜的計算過程.某班將要實行籃球投籃競賽，競賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次，在A區(qū)每進(jìn)一球得2分，不進(jìn)球得0分；在B區(qū)每進(jìn)一球得3分，不進(jìn)球得0分，得分高的選手勝出．已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別是eq\f(9,10)和eq\f(1,3).假如以投籃得分的期望值高作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)，問該選手應(yīng)當(dāng)選擇哪個區(qū)投籃？請說明理由．解：(1)設(shè)該選手在A區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為X，則X～B(2，eq\f(9,10))，故E(X)＝2×eq\f(9,10)＝eq\f(9,5)，則該選手在A區(qū)投籃得分的期望為2×eq\f(9,5)＝3.6.設(shè)該選手在B區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為Y，則Y～B(3，eq\f(1,3))，故E(Y)＝3×eq\f(1,3)＝1，則該選手在B區(qū)投籃得分的期望為3×1＝3.所以該選手應(yīng)當(dāng)選擇在A區(qū)投籃．因不理解二項分布導(dǎo)致錯誤【例4】一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目X的期望為________．【錯解】2.4【錯因分析】二項分布的特征是事務(wù)的相互獨(dú)立性，彼此之間無任何制約關(guān)系，而本例中條件“直到第一次命中為止”說明白隨機(jī)變量并非聽從二項分布．【正解】X的可能取值為3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064.所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.【答案】2.376設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的個數(shù)，則ξ的期望值E(ξ)＝eq\f(1,2).解析：由題意，相當(dāng)于從有2個次品的12個同類型的零件中取3個，取出次品的個數(shù)可能為0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22)，則依據(jù)期望公式可知ξ的期望值E(ξ)＝eq\f(1,2).1．隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123P0.20.5m則ξ的數(shù)學(xué)期望是(B)A．2 B．2.1C．2.3 D．隨m的改變而改變解析：∵0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.2．設(shè)隨機(jī)變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p＝(D)A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解析：∵E(X)＝40×p＝16，∴p＝0.4.3．已知ξ的分布列如下，若η＝3ξ＋2，則E(η)＝eq\f(15,2).ξ123Peq\f(1,2)teq\f(1,3)解析：∵eq\f(1,2)＋t＋eq\f(1,3)＝1，∴t＝eq\f(1,6).∴E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(11,6).E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×eq\f(11,6)＋2＝eq\f(15,2).4．某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為代表參與演講，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的演講者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝eq\f(4,7).(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)解析：ξ可取0,1,2，因此P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al