2024-2025學年新教材高中數(shù)學第2章直線和圓的方程2.2直線的方程2.2.3直線的一般式方程學案含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE1-2.2.3直線的一般式方程學習目標核心素養(yǎng)1.駕馭直線的一般式方程．(重點)2.理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線．(重點、難點)3.會進行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．(難點、易混點)通過學習直線五種形式的方程相互轉(zhuǎn)化，提升邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).初中我們學習過二元一次方程，它的詳細形式是Ax＋By＋C＝0，前面我們又學習了直線方程的點斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)和截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.它們都可以化成為二元一次方程的這種形式，同時在肯定條件下，這種形式也可以轉(zhuǎn)化為斜截式和截距式，我們把Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)叫做直線的一般式，下面進入今日的學習．直線的一般式方程(1)定義：關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．(2)適用范圍：平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一般式表示．(3)系數(shù)的幾何意義：①當B≠0時，則－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y軸上的截距)；②當B＝0，A≠0時，則－eq\f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．思索：當A＝0或B＝0或C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的直線？[提示](1)若A＝0，則y＝－eq\f(C,B)，表示與y軸垂直的一條直線．(2)若B＝0，則x＝－eq\f(C,A)，表示與x軸垂直的一條直線．(3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過原點的一條直線．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的一般式方程可以表示平面內(nèi)隨意一條直線． ()(2)直線的其他形式的方程都可化為一般式． ()(3)關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)肯定表示直線． ()[提示](1)√(2)√(3)√2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應滿意的條件為()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0D[方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時為0，即A2＋B2≠0.故選D.]3．已知直線2x＋ay＋b＝0在x軸、y軸上的截距分別為－1，2，則a，b的值分別為()A．－1,2 B．－2,2C．2，－2 D．－2，－2A[y＝0時，x＝－eq\f(b,2)＝－1，解得b＝2，當x＝0時，y＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,a)＝2，解得a＝－1.]4．直線3x－eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角為________．60°[把3x－eq\r(3)y＋1＝0化成斜截式得y＝eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),3)，∴k＝eq\r(3)，傾斜角為60°.]5．直線eq\f(x,2)－eq\f(y,3)＝1的一般式方程是________．3x－2y－6＝0[由eq\f(x,2)－eq\f(y,3)＝1得3x－2y－6＝0.]直線的一般式方程與其他形式的互化【例1】(1)已知直線l的一般式方程為2x－3y＋6＝0，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距．(2)依據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，經(jīng)過點A(8，－2)；②經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸；③在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；④經(jīng)過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．[解](1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程為：y＝eq\f(2,3)x＋2.截距式方程為：eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1.由此可知，直線的斜率為eq\f(2,3)，在x軸、y軸上的截距分別為－3,2.(2)①由點斜式得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.②由斜截式得y＝2，即y－2＝0.③由截距式得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.④由兩點式得eq\f(y－－2,－4－－2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.1．求直線一般式方程的方法2．由直線方程的一般式轉(zhuǎn)化為四種特別形式時，肯定要留意其運用的前提條件．[跟進訓練]1．依據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)且經(jīng)過點A(5,3)；(2)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點；(3)在x，y軸上的截距分別是－3，－1.[解](1)由點斜式方程可知，所求直線方程為y－3＝eq\r(3)(x－5)，化為一般式方程為eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由兩點式方程可知，所求直線方程為eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，化為一般式方程為2x＋y－3＝0.(3)由截距式方程可得，所求直線方程eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化為一般式方程為x＋3y＋3＝0.直線的平行與垂直【例2】(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直．[思路探究]利用兩直線平行與垂直的條件，但要留意斜率的存在與否．[解]法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①當m＝0時，明顯l1與l2不平行．②當m≠0時，要使l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3，∴m的值為2或－3.(2)由題意知，直線l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1時，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0明顯垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3).當l1⊥l2時，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，∴a＝－1.綜上可知，當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，明顯l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理當m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，明顯l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2，∴m的值為2或－3.(2)由題意知直線l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，將a＝±1代入方程，均滿意題意．故當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.[跟進訓練]2．已知直線l1：x＋my＋6＝0，直線l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.[解](1)由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.當m＝－1時，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.兩直線明顯不重合，即l1∥l2.當m＝3時，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.兩直線重合．故l1∥l2時，m的值為－1.(2)由1×(m－2)＋m×3＝0得m＝eq\f(1,2)，故l1⊥l2時m的值為eq\f(1,2).含參數(shù)的直線一般式方程問題[探究問題]1．直線kx－y＋1－3k＝0是否過定點？若過定點，求出定點坐標．[提示]kx－y＋1－3k＝0可化為y－1＝k(x－3)，由點斜式方程可知該直線過定點(3,1)．2．若直線y＝kx＋b(k≠0)不經(jīng)過第四象限，k，b應滿意什么條件？[提示]若直線y＝kx＋b(k≠0)不經(jīng)過第四象限，則應滿意k>0且b≥0.【例3】已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過其次象限，求a的取值范圍．[思路探究](1)當直線恒過第一象限內(nèi)的肯定點時，必定可得該直線總經(jīng)過第一象限；(2)直線不過其次象限即斜率大于0且與y軸的截距不大于0.[解](1)證明：法一：將直線l的方程整理為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，∴直線l的斜率為a，且過定點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，而點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限．法二：直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式對隨意的a總成立，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－1＝0，,5y－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))即l過定點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).以下同法一．(2)直線OA的斜率為k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.如圖所示，要使l不經(jīng)過其次象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.1．本例中若直線在y軸的截距為2，求字母a的值，這時直線的一般式方程是什么？[解]把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程為y＝ax＋eq\f(3－a,5).由條件可知eq\f(3－a,5)＝2解得a＝－7，這時直線方程的一般式為：7x＋y－2＝0.2．本例中，a為何值時，已知直線與2x－y＋3＝0平行？垂直？[解]若兩直線平行時，則eq\f(5a,2)＝eq\f(－5,－1)≠eq\f(－a＋3,3)解得a＝2，若兩直線垂直時，則5a×2＋(－5)×(－1)＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，故a＝2時，兩直線平行；a＝－eq\f(1,2)時兩直線垂直．3．本例中將方程改為“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直線不經(jīng)過其次象限，則a的取值范圍又是什么？[解](1)當a－1＝0，即a＝1時，直線為x＝3，該直線不經(jīng)過其次象限，滿意要求．(2)當a－1≠0，即a≠1時，直線化為斜截式方程為y＝eq\f(1,a－1)x－eq\f(a＋2,a－1)，因為直線不過其次象限，故該直線的斜率大于等于零，且在y軸的截距小于等于零，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)≥0，,\f(a＋2,a－1)≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,a≤－2或a＞1))，所以a>1.綜上可知a≥1.直線恒過定點的求解策略(1)將方程化為點斜式，求得定點的坐標；(2)將方程變形，把x,y看作參數(shù)的系數(shù)，因為此式子對于隨意的參數(shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得x,y的值，即為直線過的定點．1．直線方程的一般式與斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)(B≠0)eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1(A、B、C≠0)2.兩個重要結論結論1：平面直角坐標系中任何一條直線都可以用關于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)來表示．結論2：任何關于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)都可以表示平面直角坐標系中的一條直線．3．依據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線平行和垂直的方法一般地，設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0))(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.1．假如ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿意條件()A．bc＝0 B．a(chǎn)≠0C．bc＝0且a≠0 D．a(chǎn)≠0且b＝c＝0D[y軸方程表示為x＝0，所以a，b，c滿意條件為b＝c＝0，a≠0.]2．直線x－y－1＝0與坐標軸所圍成的三角形的面積為()A．eq\f(1,4)B．2C．1D．eq\f(1,2)D