5.3.3命題定理與證明（教學課件）七年級數(shù)學下冊（人教版）2

命題、定理、證明1.理解命題、定理及證明的概念，會區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論；（重點）2.會判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用.（重點、難點）我們?nèi)粘Ｖv話中，有些話是對某件事情作出判斷的，有些話只是對事物進行描述的，如：

(1)中華人民共和國的首都是北京.……()

(2)我們班的同學多么聰明!……………()

(3)浪費是可恥的.………()

(4)春天到了，花兒開了.………………()

判斷描述判斷描述在數(shù)學學習中，同樣有判斷和描述這兩類語言，如：(1)畫線段AB=3厘米.……()(2)兩條直線相交，只有一個交點.……()描述判斷觀察下列語句，它們有什么共同點？(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；(3)對頂角相等；(4)等式兩邊加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式.像上邊這樣，判斷一件事情的語句，叫作命題(proposition).1.只要對一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題.2.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.注意：一般地，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)：是已知事項；結(jié)論：是由已知事項推出的事項.數(shù)學中的命題?？梢詫懗伞叭绻?，那么……”的形式，這時“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命題(1)中，“兩條直線都與第三條直線平行”是_____，“這兩條直線也互相平行”是_____.(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論

可以寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”.有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，從而將它寫成“如果……，那么……”的形式.例如，命題(3)“對頂角相等”(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；________________________________________________________________(4)等式兩邊加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式.________________________________________________________________如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補.如果等式兩邊加同一個數(shù)，那么結(jié)果仍是等式.例1.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并把(3)寫成“如果……，那么……”的形式.

(1)如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°；

(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；

(3)兩直線平行，同位角相等.

解：(1)題設(shè)：AB⊥CD，垂足為O，結(jié)論：∠AOC=90°；(2)題設(shè)：∠1=∠2，2=∠3，結(jié)論：∠1=∠3；(3)題設(shè)：兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：同位角相等.如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同位角相等.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；假命題：命題中題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；(3)對頂角相等；(4)等式兩邊加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式.再舉出學過的2～3個真命題.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；假命題：命題中題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.(1)如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；(2)如果一個數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是對頂角.判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.例2.判斷下列命題是真命題還是假命題.(1)如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；(2)如果一個數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是對頂角.解：(1)假命題，反例：如圖∠1=60°，∠2=120°，∠1與∠2互補，但它們不是鄰補角.(1)如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；(2)如果一個數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是對頂角.解：(2)假命題，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.(3)假命題，反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對頂角.命題“同位角相等”是真命題嗎？如果是，說出理由；如果不是，請舉出反例.

解：命題“同位角相等”是假命題.反例：如圖，直線AB，CD被直線EF所截，∠1與∠2是同位角，且∠1=90°，∠2=110°，但它們不相等.如何證實一個命題是真命題呢？如何證實一個命題是真命題呢？我們學過的一些圖形的性質(zhì)，都是真命題.其中有些命題是基本事實(公理)，如“兩點確定一條直線”“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”等.

它們的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).

在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.例3.如圖，已知直線b∥c，a⊥b.求證a⊥c.證明：∵a⊥b(已知)∴∠1=90°(垂直的定義)又∵

b∥c(已知)∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等)∴∠2=∠1=90°(等量代換)∴a⊥c(垂直的定義)例4.如圖，直線AB和直線CD，直線BE和直線CF都被直線BC所截.在下面四個式子中,請你選擇其中三個作為題設(shè)，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題并證明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.題設(shè)(已知):________________. 結(jié)論(求證):________________.證明:∵AB⊥BC,CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定義)∵BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠1+∠EBC=∠ABC=90°∠2+∠FCB=∠DCB=90°(已知)∴∠1=∠2(等角的余角相等)①②③④如圖，直線AB和直線CD，直線BE和直線CF都被直線BC所截.在下面四個式子中,請你選擇其中三個作為題設(shè)，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題并證明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.題設(shè)(已知):________________. 結(jié)論(求證):________________.證明:AB⊥BC，CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定義)∵∠1=∠2(已知)∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2(等式的性質(zhì))即∠EBC=∠FCB∴BE//CF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)①②④③如圖，直線AB和直線CD，直線BE和直線CF都被直線BC所截.在下面四個式子中,請你選擇其中三個作為題設(shè)，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題并證明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.題設(shè)(已知):________________. 結(jié)論(求證):________________.證明:BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠1=∠2(已知)∴∠EBC+∠1=∠FCB+∠2(等式的性質(zhì))即∠ABC=∠DCB∵CD⊥BC(已知)，∴∠DCB=90°(垂直定義)∴∠ABC=90°(等量代換),即AB⊥BC(垂直定義)②③④①1.下列句子中哪些是命題?(1)猴子是動物的一種;…………………()

(2)玫瑰花是動物;………………………()

(3)美麗的天空;…………………………()

(4)同位角相等，兩直線平行;…………()

(5)負數(shù)都小于零;………()

(6)你的作業(yè)做完了嗎?…………………()

(7)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù);………………()

(8)過直線l外一點作l的平行線;………()

(9)如果a>b,a>c,那么b=c.……………()

√√×√√×√×√2.下列敘述錯誤的是()A.所有命題都有題設(shè)和結(jié)論B.所有命題都是定理C.所有定理都是真命題D.所有定理都是命題3.有下列語句:①畫∠AOB的平分線;②直角都相等;③同旁內(nèi)角互補嗎?④兩點確定一條直線.其中命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4BB4.對于同一平面內(nèi)的三條直線a,b,c,給出下列5個論斷:①a//b;②b//c;③a⊥b;④a//c;⑤a⊥c.以其中兩個論斷作為題設(shè)，一個論斷作為結(jié)論，組成一個你認為不正確的命題是()A.已知①②,則④B.已知③⑤,則②C.已知②④,則①D.已知①②，則⑤D5.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論.(1)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等;(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行.(3)兩點之間，線段最短.解:(1)題設(shè):兩條平行線被第三條直線所截;結(jié)論:內(nèi)錯角相等.(2)題設(shè):兩條直線被第三條直線所截的內(nèi)錯角相等;結(jié)論:這兩條直線平行.(3)題設(shè):在所有連接兩點的線中;結(jié)論:線段最短.6.將下列命題寫成“如果……，那么……”的形式.(1)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行;(2)同角的補角相等;(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線互相平行.解:(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行;(2)如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等;(3)在同一平面內(nèi),如果兩條直線垂直于同一條直線,那么這兩條直線互相平行.7.已知，如圖AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AD//BE.證明:∵AB//CD(已知)∴∠4=∠_______(_____________________)∵∠3=∠4(已知)∴∠3=∠_______(_________)∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF

(___________)即_________=__________∴∠3=∠_______(_________)∴AD//BE(_______________________)BAE兩直線平行,同位角相等BAE等量代換等式的性質(zhì)∠BAE∠CADCAD等量代換內(nèi)錯角相等，兩直線