《立體幾何初步》單元測試（二）

高中數(shù)學(xué)精編資源11/11《立體幾何初步》單元測試(二)一、選擇題1.(2020·浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線,,則“在同一平面內(nèi)”是“兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示,該三棱柱的表面積為()A.B.C.D.3.(2020·全國卷II)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為),地球上一點的緯度是指與地球赤道所在平面所成角,點處的水平面是指過點且與垂直的平面.在點處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點處的緯度為北緯,則晷針與點處的水平面所成角為()A.B.C.D.4.已知為異面直線,平面平面,直線滿足,則()A.,且B.,且C.與相交,且交線垂直于D.與相交,且交線平行于5.在正方體中,點是棱上的動點,則過三點的截面圖形是()A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能 6.設(shè)表示不同的直線,表示不同的平面,給出下列四個命題:①若,且,則;②若,且,則;③若,則;④若,且,則.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.47.已知幾何體為正方體,以下結(jié)論:①平面;②;③平面.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.38.如圖,邊長為的等邊三角形的中線與中位線交于點,已知是繞直線旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形(不與,重合),則下列命題中真命題為()①動點在平面上的射影在線段上;②平面;③三棱錐的體積有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③9.在正方體中,點在線段上運動,則異面直線與所成的角的取值范圍是()A.B.C.D.10.已知棱長為的正方體內(nèi)有一圓柱,此圓柱恰好以直線為軸,則該圓柱側(cè)面積的最大值為()A.B.C.D.二、填空題11.(2021·浙江寧波北侖中學(xué)高一期中)一個正四棱柱的頂點都在一個球面上,且側(cè)棱長是底面邊長的2倍,則這個球與四棱柱的表面積的比值為________.12.將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”.有下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是________.(填命題的序號)13.已知球的兩個平行截面面積分別為,它們位于球心的同側(cè),且相距為1,那么這個球的半徑是________.三、解答題14.由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示.四邊形為正方形,為與的交點,為的中點,平面.(1)證明:平面;(2)設(shè)是的中點,證明:平面平面.15.(2020·浙江卷)如圖,三棱臺中,平面平面.(1)證明:;(2)求與平面所成角的正弦值.

答案解析一、選擇題1.答案:B解析:解決本題需要將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.依題意是空間不過同一點的三條直線,當(dāng)在同一平面內(nèi)時,可能,故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時,設(shè),根據(jù)基本事實2可知確定一個平面,而,根據(jù)基本事實1可知,直線即,所以在同一平面內(nèi).綜上所述,“在同一平面內(nèi)”是“兩兩相交”的必要不充分條件.2.答案:D解析:本題是一道三視圖還原直觀圖的表面積計算問題,解決本題首先要確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后求解其表面積即可.由題意可得,三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形,側(cè)面為三個邊長為2的正方形,則其表面積.3.答案:B解析:本題以數(shù)學(xué)文化知識為背景考查了空間中線面所成角的問題,解決本題需要畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有光截線的關(guān)系,根據(jù)點A處的緯度,計算出晷針與點A處的水平面所成角.畫出截面圖如下圖所示,其中是赤道所在平面的截線;是點處的水平面的截線,依題意可知是晷針?biāo)谥本€,是晷面的截線,依題意,晷面和赤道平面平行,晷針與晷面垂直,根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得,根據(jù)線面垂直的定義可得.由于,所以,由于,所以,也即晷針與點處的水平面所成角為.4.答案:D解析:由于為異面直線,平面平面,則平面與平面必相交但未必垂直,且交線垂直于直線,又直線滿足,則交線平行于.5.答案:D解析:本題考查了立體幾何的截面問題.當(dāng)點與重合時,截面圖形為等邊三角形,如圖(1);當(dāng)點與點重合時,截面圖形為矩形,如圖(2);當(dāng)點不與點重合時,截面圖形為等腰梯形,如圖(3).6.答案:B解析:本題主要考查了空間中線面平行、垂直位置關(guān)系的性質(zhì)與判定,解決此類問題要熟知空間中線面平行、垂直的概念、性質(zhì)定理、判定定理,以及相互轉(zhuǎn)化.①正確.②中,有可能,不成立;③中,還有可能相交于一點,不成立;④正確,所以正確的命題有2個.7.答案:D解析:由正方體的性質(zhì),得,結(jié)合線面平行的判定定理,得平面,所以①正確.連接,由正方體的性質(zhì)得,因為是在底面內(nèi)的射影,所以,所以②正確.由正方體的性質(zhì)得,由②可得,所以,同理可得,結(jié)合線面垂直的判定定理得平面,所以③正確.8.答案:C解析:折疊前,折疊后其位置關(guān)系沒有改變.①由已知可得平面平面點在平面上的射影在線段上.②∵平面平面平面.③當(dāng)平面平面時,三棱錐的體積達(dá)到最大.9.答案:D解析:本題考查了兩條異面直線所成角的計算,在解決此類問題時注意利用平移的方法,把兩條異面直線平移成平面角進(jìn)行計算.連接.因為,所以與所成的角就是與所成的角,即.當(dāng)點從向運動時,從0增大到,但當(dāng)點與重合時,,與“與為異面直線”矛盾,所以異面直線與所成的角的取值范圍是.10.答案:D解析:本題考查幾何體的側(cè)面積,解答本題時要注意先根據(jù)條件求得圓柱的底面最大半徑,由此計算得到圓柱的側(cè)面積最大值.由題知,只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況,由圖形的對稱性可知,側(cè)面積最大時,圓柱的上底面必與過點的三個面相切,且切點分別在線段,上,如圖所示,設(shè)線段上的切點為與平面的交點為,圓柱上底面的圓心為,半徑即為,記為,設(shè)與平面的交點為.正方體的棱長為.由題意知,,由知,,∴,則圓柱的高為,當(dāng)時,圓柱的側(cè)面積取得最大值,最大值為.二、填空題11.答案:解析:底面為正方形,正四棱柱的外接球半徑為體對角線的一半,設(shè)邊長為1,那么側(cè)棱長為2,正四棱柱的體對角線為外接球半徑為,可得球表面積為;正四棱柱的表面積為10.球與四棱柱的表面積的比值為.12.答案:①③解析:本題是一道新定義類型的試題,考查了線面、面面平行與垂直的性質(zhì)與判定.對于①,原命題為真命題,換后的命題為“垂直于同一直線的兩平面平行”,也是真命題,故①是“可換命題”;對于②,命題本身就是假命題,故②不是“可換命題”;對于③,原命題為真命題,換后的命題為“平行于同一平面的兩平面平行”,也是真命題,故③是“可換命題”;對于④,命題本身就是假命題,故④不是“可換命題”.綜上,是“可換命題”的為①③.13.答案:3解析:本題考查了球的結(jié)構(gòu)特征,在求解本題時,只需畫出球的沿直徑的軸截面,然后根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系和幾何關(guān)系利用勾股定理求解.設(shè)球的半徑為,兩截面圓的半徑分別為.由題意,得,∴,又,設(shè),則有,∴,解得.三、解答題14.答案:見解析解析:證明:(1)取的中點,連接.由于原多面體是四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面平面,所以平面.(2)因為分別為和的中點,所以.又平面平面,所以.因為,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.思路:本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與性質(zhì),線線平行的性質(zhì),面面垂直的判定.要證線面平行,先證線線平行,要證面面垂直,先證線面垂直.15.答案:見解析解析:本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系