山東省泰安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（含答案解析）

山東省泰安市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2024.11注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線在軸上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線的斜截式可直接得解.【詳解】對(duì)于直線，它在軸上的截距為.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出斜率即可得出傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由可得，則，由，可知.故選：C3.已知點(diǎn)沿著向量的方向移動(dòng)到點(diǎn)Q，且，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè),，利用求出，得到的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè),，則，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故選：C.4.已知圓，則過點(diǎn)的圓C的切線方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】分切線斜率存在與不存在討論即可.【詳解】，則其圓心坐標(biāo)為，半徑為2，由于，可知點(diǎn)1,2在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為，符合題意，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，切線方程為：或.故選：D.5.已知正方體中，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得和共面的平面的法向量，再逐項(xiàng)計(jì)算對(duì)應(yīng)向量與法向量的數(shù)量積即可判斷得解.【詳解】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，所以，設(shè)和共面的平面的法向量為，則，令，則，對(duì)于A，，則，所以與和共面，故A正確；對(duì)于B，，則，所以不與和共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，所以不與和共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，所以不與和共面，故D錯(cuò)誤；故選：A.6.已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則恒過的定點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即為所求.【詳解】直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因此，直線恒過的定點(diǎn).故選：C.7.已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示與平面的法向量，利用公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由圖可知，平面的法向量為.設(shè)與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.8.已知點(diǎn)在直線上，若以P為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用兩圓有公共點(diǎn)得到，進(jìn)而利用兩點(diǎn)距離公式得到關(guān)于的二次不等式，解之即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則，因?yàn)閳A可化為，所以圓A的圓心為，半徑為，因?yàn)橐訮為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，即，解得，則，即，則.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，直線，若或，則a的值可能為（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用兩直線平行與垂直的性質(zhì)，分別列式即可得解.【詳解】對(duì)于直線，直線，若，則，所以，解得，故B正確；若，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故C正確；由上述解析可知AD錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知圓，則（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的值為D.若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用點(diǎn)圓位置關(guān)系的判定方法可判斷A，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，從而列式可判斷B，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題，從而列式可判斷C，利用將軍欽馬問題，結(jié)合定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離問題可判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因，所以點(diǎn)0,2在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳A，可化為，所以圓心，半徑為，設(shè)，則，又點(diǎn)Px,y在圓上，所以直線與圓有交點(diǎn)，即，解得，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，而圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，則，而的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，且在線段時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故選：BCD.11.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，的面積S的最大值為C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面【答案】AC【解析】【分析】確定點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系.等體積轉(zhuǎn)化可得選項(xiàng)A正確；由線面垂直得，分析的最大值可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用計(jì)算的值只有一個(gè)，可得選項(xiàng)C正確；利用可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到距離為，故，為定值，選項(xiàng)A正確.B.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.當(dāng)時(shí)，，由得，，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得，選項(xiàng)C正確.D.當(dāng)時(shí)，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間向量綜合問題，具體思路如下：（1）當(dāng)時(shí)，分析條件可知點(diǎn)到距離為，利用等體積轉(zhuǎn)化可得，計(jì)算結(jié)果為定值.（2）當(dāng)時(shí)，由平面得，，分析的最大值即可得到結(jié)果.（3）當(dāng)時(shí)，計(jì)算的坐標(biāo)，利用只能得到一個(gè)得，，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得.（4）分析條件可得，要使平面，需，而，故不存在點(diǎn)P，使得平面.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】∵，，∴，∴.故答案為：6.13.已知在長(zhǎng)方體中，，，則到平面的距離為______．【答案】1【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，令，則，即，又，所以到平面距離為.故答案為：114.已知，，點(diǎn)C，D滿足，，則D點(diǎn)的軌跡方程為______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)，利用平面向量線性運(yùn)算與模的坐標(biāo)表示，結(jié)合求軌跡的相關(guān)點(diǎn)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，又，，則，，，因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)?，所以，所以，則，所以D點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線、的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩直線平行求出所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；（2）求出點(diǎn)、，可求出AB的值，以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】由得，即點(diǎn).因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以，所求直線斜率為，故所求直線方程為，即.【小問2詳解】直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3，則，點(diǎn)到的距離，所以，的面積.16.已知點(diǎn)，，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓E截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得圓的一般方程，從而配方得解；（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率存在與否，利用點(diǎn)線距離公式列式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，故，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，易知滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)的方程為，即綜上，所求直線的方程為或.17.如圖，在三棱錐中，，，M在線段上，且，N為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求異面直線，所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易知平面，進(jìn)而可求證；（2）取取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，得到異面直線，所成的角為或其補(bǔ)角，再由余弦定理即可求解.【小問1詳解】證明：連接，如圖，，N為的中點(diǎn).，，又平面，，平面，由平面，所以；【小問2詳解】取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，如圖，則，異面直線，所成的角為或其補(bǔ)角，由題意，，，，所以，又，,所以，則在中，，即異面直線，所成角的余弦值為.18.已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求四邊形面積的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）四邊形面積的最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)題意列關(guān)于的方程，解方程，可求出圓的半徑，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）推導(dǎo)出，可得出四邊形面積，分析可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，求出方程，聯(lián)立、的方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的值，由此可得出四邊形面積的最小值.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)題意可得，即，解得，故圓心為，該圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)椤⒍寂c圓相切，由切線長(zhǎng)定理可得，又因，，則，且，，所以，四邊形面積，當(dāng)時(shí)，取最小值，則四邊形面積最小，因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為y=?x?1，即，由得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，則四邊形面積的最小值為.19.如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.（1）求證：平面；（2）當(dāng)，時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，若為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.【答案】（1）證明見解析（2）（3）點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)處【解析】【分析】（1）利用中位線定與與平行線的傳遞性，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）利用勾股定理與線面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求得平面與平面的法向量，利用空間向量法求面面角的方法即可得解；（3）先利用線面平行的性質(zhì)定理分析得在上，假設(shè)，再利用線面角的空間向量法分析得與平面所成的角時(shí)的值，從而得解.【小問1詳解】取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.【小問2詳解】，則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動(dòng)點(diǎn)且平面QGM，