科學(xué)計算語言Julia及MWORKS實踐 課件 26-方程組求解

目錄1、初等數(shù)學(xué)與線性函數(shù)2、插值與擬合3、概率統(tǒng)計分布計算14、優(yōu)化問題方程（組）求解2方程（組）求解按照方程（組）類型可分為線性方程（組）求解和非線性方程（組）求解，按照求解結(jié)果可分為求數(shù)值解與求解析解。線性方程組通?？梢曰癁锳x=b或者xA=b的矩陣形式。在Syslab中求解線性方程（組）可構(gòu)造矩陣運算，通過直接求逆等方式實現(xiàn)。線性方程（組）求數(shù)值解條件解的情況m=n方陣方程組，有唯一確定的解m<n欠定方程組，即方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)。使用最多m個非零分量求基本解m>n超定方程組，即方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)?？汕笞钚《私庀禂?shù)矩陣A的大小為m×n的線性方程組解的情況線性方程組Ax=b的通解描述了所有可能的解。對應(yīng)齊次方程組Ax=0的通解非齊次方程組Ax=b的特解?null函數(shù)查看解的零空間，即求解Ax=0，可以得到解的基向量。如何在Syslab中求解Ax=b的特解關(guān)注方程（組）求解3一般系數(shù)矩陣滿秩的方陣方程組，可以直接對系數(shù)矩陣求逆進(jìn)行求解A=[8-3

2;4

11-1;6

3

12];b=[20,33,36];x1=inv(A)*b;x2=linsolve(A,b);x3=A\b;Syslab中求逆的方法：inv函數(shù)：inv(X)求方陣X的逆矩陣，等效于X^(-1)linsolve函數(shù)：linsolve(A,b)求解線性方程組Ax=bA是方陣時，linsolve使用LU分解和部分主元消去法其他情況時，linsolve使用QR分解和列主元消去法3.\運算符示例求解線性方程組julia>3-elementVector{Float64}:2.99999999999999961.99999999999999981.0方程（組）求解4系數(shù)矩陣為方陣的奇異矩陣，Ax=b的解將不存在或不唯一。A=

[1

3

7;-1

4

4;1

10

18];r=rank(A);Syslab中求偽逆的方法：pinv函數(shù)：pinv(A)求方陣A的偽逆，如果Ax=b沒有精確解，則pinv(A)將返回最小二乘解。示例驗證線性方程組是否有精確解，如果沒有，求出其最小二乘解julia>2運行結(jié)果r=2，說明矩陣A不滿秩，有等于零的奇異值。A=[1

3

7;-1

4

4;1

10

18];b=[6;3;0]X=inv(A)*b;直接使用inv(A)求解報錯A=[1

3

7;-1

4

4;1

10

18]b=[6;3;0]x=pinv(A)*bA*pinv(A)*bjulia>3-elementVector{Float64}:0.99999999999999910.499999999999999562.499999999999998與b的實際值有較大差別，因此計算得到的x只是最小二乘解。方程（組）求解5超定方程組和欠定方程組沒有非零通解，無法求得精確解，但具有最小二乘解，因此同樣可以使用pinv函數(shù)求解。線性方程組也可以使用高斯消元法、雅可比迭代法和雙共軛梯度法等算法求解，Syslab在數(shù)學(xué)工具箱稀疏數(shù)組部分提供了相關(guān)算法。函數(shù)名功能描述cg求解線性方程-預(yù)條件共軛梯度法lsqr求解線性方程組-最小二乘法jacobi求解線性方程—雅可比迭代算法gauss_seidel求解線性方程—高斯賽得爾迭代法sor求解線性方程-連續(xù)過度松弛迭代法minres求解線性方程-最小殘差法方程（組）求解6Syslab中符號工具箱提供求解符號解析解的函數(shù)，便于求解含有未知變量的多項式代數(shù)方程。函數(shù)名功能描述solve_for為一組變量求解方程islinear檢查表達(dá)式是否相對于變量表達(dá)式列表是線性的find_poles求解表達(dá)式或函數(shù)的極點NolinearSystem創(chuàng)建非線性方程組系統(tǒng)注意事項：進(jìn)行符號運算求解解析解前，首先需要定義變量與參數(shù)示例求解方程組的解@variablesxyz@parametersabceqs=[x+y+z-a,x-y+z-b,x+y-z-c]solve_for(eqs,[x,y,z])julia>3-elementVector0.5b+0.5c0.5a-0.5b0.5a-0.5c符號工具箱中還提供符號簡化、公式重排和重寫的函數(shù)。矩陣冪的相關(guān)運算7(1)求解上述矩陣A的2次冪；(2)求解上述矩陣A的逆3次冪；(3)求解上述矩陣A的2/3次冪；(4)求解上述矩陣A對矩陣中的每個元素求平方、平方根；(5)對比對矩陣A求平方根與對矩陣A中每個元素求平方根的區(qū)別。已知矩陣(1)求解上述矩陣A的2次冪；

(2)求解上述矩陣A的逆3次冪；julia>A=[111;123;136];julia>A^23×3Matrix{Int64}:361061425102546;julia>A^(-3)3×3Matrix{Float64}:145.0-207.081.0-207.0298.0-117.081.0-117.046.0矩陣冪的相關(guān)運算8(3)求解上述矩陣A的2/3次冪；(4)求解上述矩陣A對矩陣中的每個元素求平方、平方根；julia>A^(2/3)3×3Symmetric{Float64,Matrix{Float64}}:0.8900750.5882210.3683720.5882211.203481.379930.3683721.379933.11667julia>A.^(2)3×3Matrix{Int64}:1111491936julia>A.^(1/2)3×3Matrix{Float64}:1.01.01.01.01.414211.732051.01.732052.44949(5)對比對矩陣A求平方根與對矩陣A中