山東名?？荚嚶?lián)盟2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題含答案

山東名?？荚嚶?lián)盟2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．給出下列關(guān)于空間向量的命題，其中正確的結(jié)論是（）A．若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面B．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面C．兩個非零向量，與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則D．與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面3．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離4．已知圓O：上有A，B兩點，若滿足，則（）A．2 B． C． D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A2,0,0，，，，，若線段與平面交于點，則（）A． B． C． D．6．已知直線：，其中m，n都是正實數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，直線的一個方向向量為（1，0）B．當(dāng)變化時，所對應(yīng)的直線均過同一個定點C．當(dāng)時，坐標(biāo)原點（0，0）到直線的距離的最小值為D．所有直線組成的平面區(qū)域可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面7．直角坐標(biāo)系中直線上的橫坐標(biāo)分別為-2，的兩點、，沿軸將坐標(biāo)平面折成大小為的二面角，若折疊后、兩點間的距離是，則的大小為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的動點，若點P在直線上，則的最小值為（）A． B． C．1 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下列命題中正確的是（）A．過點，且在軸上的截距是在軸上截距的倍的直線方程為B．若，在直線的兩側(cè)，則的取值范圍為C．若三條直線，，不能圍成三角形，則實數(shù)的取值集合為D．過定點的直線截圓：所得的弦長為，則直線方程為和11．如圖，內(nèi)接于圓O，為圓O的直徑，，，平面，E為的中點，若三棱錐的體積為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．異面直線與所成角的余弦值為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．點A到平面的距離為D．平面與平面所成的角的大小為三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在長方體中，以點D為原點，，，所在的直線分別x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若向量的坐標(biāo)為，則向量的坐標(biāo)為.13．嫁接是一種營養(yǎng)生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個部分長成一個完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個橢圓形截面，如圖所示，其中，分別為兩個微面橢圓的長軸，且A，C，B，D都位于圓柱的同一個軸微面上，是圓柱微面圓的一條直徑，設(shè)上、下兩個截面橢圓的離心率分別為，，若，，則的值是.14．以坐標(biāo)原點為圓心的圓與軸的負(fù)半軸交于點，直線與圓相交于、兩點（其中點在軸的右側(cè)），以為直徑的圓與相交于、兩點，若直線與的斜率互為倒數(shù)，且，則圓的方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C過點，，圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若M為y軸上的一個動點，過M作圓C的兩條切線、，切點為A、B，求證：直線過定點.16．如圖，N是三棱柱的棱的中點，(1)若，求的值；(2)若，，平面，點M在棱上，使，求的值.17．如圖，在底面為正方形的多面體中，四邊形為矩形，是線段的中點，且，，.(1)求證：平面平面；(2)若二面角的大小為，求的值；(3)當(dāng)取何值時，與平面所成的角最大?18．已知長度為3的線段的兩個端點M和N分別在x軸和y軸上滑動，點T滿足.記點T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C相交于A、B兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.19．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用表示，稱“曼哈頓距離”，也叫“折線距離”，即，因此“曼哈頓兩點間距離公式”；若Ax1,y1，B(1)①點，，求的值；②寫出到定點的“曼哈頓距離”為2的點的軌跡方程，(2)已知點，直線：，求點到直線的“曼哈頓距離”最小值；(3)我們把到兩定點F1-c,0，的“曼哈頓距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“曼哈頓橢圓”.（i）求“曼哈頓橢圓”的方程；（ii）根據(jù)“曼哈頓橢圓”的方程，研究“曼哈頓橢圓”性質(zhì)中的范圍、對稱性，并說明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線的斜率為，又傾斜角的取值范圍為，所以直線的傾斜角.故選：B.2．【答案】C【詳解】對于A，任何兩個向量，都是共面向量，所以A不正確；對于B，可能是空間三個不共面的向量，如空間直角坐標(biāo)系中軸、軸、軸方向上的單位向量，所以B不正確；對于C，三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則與共線，所以C正確；對于D，若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點，點，但是直線可以平行平面，此時與、共面，所以D不正確.故選：C.3．【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑為6，圓的圓心，半徑為1，所以，所以，兩圓位置關(guān)系為內(nèi)切，故選：A.4．【答案】D【詳解】設(shè)Ax1,y1、B則，且∴，即.∵，兩點在圓上，∴，，又∵，∴.∴.故選：D.由題意可知，，，則.故選：D.5．【答案】B【詳解】，，設(shè)平面的法向量為，由，可知，且，令，則，所以，為平面的一個法向量，因為在線段上，設(shè)，所以，由可得：所以，，即，所以，故選：B.6．【答案】C【詳解】對于A，當(dāng)時，直線的方程為，即，平行于軸，直線的方向向量與平行，故A不正確；對于B，當(dāng)時，得，即；當(dāng)時，得，即，聯(lián)立方程得，則兩直線交于點，當(dāng)時，得，顯然點不在直線上，此時三條直線交于一點不成立，故當(dāng)變化時，所對應(yīng)的直線均過同一個定點不成立，故B不正確；對于C，當(dāng)時，坐標(biāo)原點到直線的距離，而，則，故，即最小值為，故C正確；對于D，由于點不滿足方程，所以所有直線組成的平面區(qū)域不可能覆蓋整個平面，故D不正確；故選：C.7．【答案】A【詳解】直線上的橫坐標(biāo)分別為-2，的兩點、的坐標(biāo)分別為，，如圖為折疊后的圖形，作軸于點，作軸于點，則、的夾角為，又，，，，，，則，解得，而，則.故選：A.8．【答案】B【詳解】如圖，過點作點關(guān)于線段的對稱點，則.

設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)第一象限內(nèi)的點Px0,y0而，，所以點到軸的距離為，所以可視為線段上的點Px0,y0到軸的距離和到的距離之和過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，和有最小值.過點作軸，則即為最小值，與線段的交點，即為最小值時的位置.因為，所以的最小值為.故選：B.9．【答案】ABD【詳解】因為，所以，，共面，所以A正確；因為，所以，，共面，所以B正確；假設(shè)存在m，n，使得，則，顯然無解，所以，，不共面，所以C不正確；因為，所以，，共面，所以D正確故選：ABD10．【答案】BD【詳解】對于A，當(dāng)直線過原點時，方程為時，也成立，所以A不正確.對于B，顯然直線經(jīng)過定點，故，因為，，在直線的兩側(cè)，則該直線與線段相交，且不過、兩點，由可知斜率為：，所以或，即或，故B正確.對于C，當(dāng)直線與直線平行時，；當(dāng)直線與直線平行時，；當(dāng)三條直線交于同一點時，.所以，若三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為，故C不正確.對于D，圓：，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓被直線截得的弦長為，符合題意.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即此時圓心到直線的距離，所以，，此時直線的方程為，故D正確.故選：BD11．【答案】AC【詳解】∵為圓O的直徑，且，，∴為直角三角形，，設(shè)，由E為的中點可得，解得，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系如下圖所示：，，，，，則，，，，對于A，易知，所以異面直線與所成角的余弦值為，選項A正確；對于B，設(shè)平面的法向量為，，即，取，，設(shè)與平面所成的角為，則，選項B不正確；對于C，點A到平面的距離為，選項C正確.對于D，設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，，，所以平面與平面的夾角大小為90°，選項D不正確.故選：AC.12．【答案】【詳解】可設(shè)，，，依題意可得，，則，所以，，，則點，所以.故答案為：13．【答案】【詳解】由題意可知，，不妨設(shè)，則，，，如下圖所示：所以上、下截面橢圓的離心率分別為，，所以.故答案為：14．【答案】.【詳解】如圖所示，以為直徑的圓與相交于、兩點，顯然，直線：過圓心，所以，，而，所以，，所以，直線與直線的傾斜角互補，即，又因為與為圓的半徑，所以△為正三角形，所以，在△中，由正弦定理可得：，故圓的半徑為，即圓的方程為：.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）由，可得，的中點，，所以，線段的中垂線斜率為1，所以線段的中垂線方程為：，聯(lián)立可得，圓心C點坐標(biāo)為，圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）依題意，設(shè)點，因為、與圓C相切，連結(jié)、，可知，，

所以，，所以，以M為圓心，以、為半徑的圓的方程為：，聯(lián)立，兩式作差并化簡得直線的方程為：，當(dāng)時，，所以，直線過定點（3,0）.另解1：依題意，設(shè)點，因為、與圓C相切，連結(jié)、，可知，，，則點A，B在以為直徑的圓上，由點，可知為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，可得直線的方程為：，當(dāng)時，，所以，直線過定點（3，0）.另解2：依題意，設(shè)點，Ax1,y因為與圓C相切，則，而，所以，即整理得，而，則，因為與圓C相切，則，而，所以，即整理得，而，則，所以點A，B都在直線上，即直線的方程為：，當(dāng)時，，所以，直線過定點（3,0）.16．【答案】(1)-1(2)【詳解】（1），而，則，，，所以（2）假設(shè)存在點，使，設(shè)，.由題意可知設(shè)，又，，則，，因為，所以，即，∴.∴，即，解得，即時，則.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）如圖，設(shè)，則是線段的中點，連接，由得，又矩形中，是線段的中點，則，，所以為平行四邊形，則，因為四邊形為矩形，則，故，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為平面，，則平面，且，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，是線段的中點，則，，，，，，從而，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，從而平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，整理得，而，所以.（3）由（2）可知，平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成的角為，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則，所以當(dāng)時，與平面所成的角最大，最大為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)點，，，由得，解得，，即，，由可得，整理得，即曲線的方程為；（2）因為為的垂心，故有，，

又，所以，故設(shè)直線的方程為，代入，可得：，整理得，由得，設(shè)Ax1,y1由，得，，，即，所以，所以，化簡得，解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.19．【答案】(1)①；②；(2)2；(3)（?。?；（ⅱ）答案見解析.【詳解】（1）①根據(jù)“曼哈頓距離”的定義得；②到定點的“曼哈頓距離”為2的點的軌跡方程為.（2）設(shè)直線上任意一點坐標(biāo)為，