安徽省合肥市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題含答案

安徽省合肥市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知直線l過、兩點,則直線l的傾斜角的大小為（

）A．不存在 B． C． D．2．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結論成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知兩平行直線，的距離為，則m的值為（

）A．0或-10 B．0或-20 C．15或-25 D．04．已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是正方形的中心，則的值為（

）A．不確定 B．2 C． D．46．在平行六面體中，為與的交點，是的中點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．7．臺風中心從地以每小時的速度向西北方向移動，離臺風中心內的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內的時長為（

）A．1小時 B．小時 C．小時 D．2小時8．已知圓：的圓心為點，直線：與圓交于，兩點，點在圓上，且，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．1二、多選題9．已知向量，，若，的夾角是鈍角，則的可能取值為（

）A． B． C．0 D．110．已知直線：，則（

）A．直線的一個方向向量為B．直線過定點C．若直線不經(jīng)過第二象限，則D．若，則圓上有四個點到直線的距離等于11．已知點在圓：上，點是直線：上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設直線分別交，軸于，兩點，則（

）A．的最小值為B．直線必過定點C．滿足的點有兩個D．過點作圓的切線，切線方程為或三、填空題12．已知點在平面內，為空間內任意一點，若，則．13．直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是．14．如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架、的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.長度為1的金屬桿端點在對角線上移動，另一個端點在正方形內（含邊界）移動，且始終保持，則端點的軌跡長度為.四、解答題15．已知直線：與直線：的交點為.(1)求點關于直線的對稱點；(2)求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程.16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點.

(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知動點與兩個定點，的距離的比是2.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.18．如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．

(1)證明：平面；(2)若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求動點Q到線段的距離的取值范圍．19．在空間直角坐標系Oxyz中，已知向量，點.若直線l以為方向向量且經(jīng)過點，則直線l的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)證明：向量是平面的法向量；(2)若平面，平面，直線l為平面和平面的交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個即可）；(3)若三棱柱的三個側面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點，，，平面，平面，求實數(shù)m的值.參考答案：題號12345678910答案CCBDDABAACBD題號11答案BCD1．C【分析】根據(jù)兩點,求出的直線方程,進而可求傾斜角大小.【詳解】解:由題知直線l過、兩點,所以直線的方程為,故傾斜角為.故選:C2．C【分析】根據(jù)題意，結合直線的方向向量和平面分法向量的關系，逐項判定，即可求解.【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3．B【分析】化簡直線方程得：，利用兩條平行線間的距離公式計算可得.【詳解】化簡得：，兩平行直線，的距離為：，，或，故選：B.【點睛】此題考兩條平行線間的距離公式，關鍵是化簡直線方程，使兩個直線方程x，y的對應系數(shù)相同，屬于簡單題.4．D【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D5．D【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則,0,，,2,，，,1,，．故選：D．6．A【分析】作出圖象，利用空間向量的線性運算可得出關于、、的表達式.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，所以，故選：A.7．B【分析】建立直角坐標系，數(shù)形結合求直線與圓相交的弦長，進而可得城市處于危險區(qū)內的時長.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點建立直角坐標系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當臺風進入圓內，則城市處于危險區(qū)，又臺風的運動軌跡為，設直線與圓的交點為，，圓心到直線的距離，則，所以時間，故選：B.8．A【分析】設弦的中點為，得到，化簡，即可求解.【詳解】設弦的中點為，由題可知圓的半徑為，因為，，所以，所以，，可得，解得.故選：A.9．AC【分析】根據(jù)題意分析得，再去除共線的情況即可.【詳解】由題意得，再去掉其共線反方向的情況，則，解得，當，共線時，解得，故且，對照選項知AC正確，BD錯誤.故選：AC.10．BD【分析】根據(jù)直線方向向量、直線過定點、直線截距、直線與圓的位置關系，逐項判斷即可得結論.【詳解】對于A：由方程可得可得一個方向向量：，可判斷A錯誤；對于B：，所以，則直線過定點，故B正確；對于C，若，則直線，此時直線不過第二象限，又直線過定點，要使得直線不過第二象限，則，解得，所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故C錯誤.對于D：當時，直線方程為：，圓心到直線的距離為：，而圓的半徑為，因為，所以圓上有四個點到直線的距離等于，正確；故選：BD11．BCD【分析】A：將問題轉化為求PQ的最小值，由此可解；B：根據(jù)是以為直徑的圓與圓相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否過定點；C：分析以為直徑的圓與圓的位置關系，由此可判斷結果；D：設出切線方程，根據(jù)相切時圓心到直線的距離等于半徑求解出結果.【詳解】A：因為，當PQ最小時，取最小值，PQ取最小值時即為到直線的距離，所以PQ最小值為，所以的最小值為，故A錯誤；B：設，，所以中點坐標為，，以為直徑的圓的方程為，又圓，兩圓方程相減可得，即為令，解得，所以公共弦所在直線過定點，故B正確；對于C：對于，令，則，所以，令，則，所以，所以中點的坐標為，，故以為直徑的圓的方程為，又因為，且，所以圓與圓相交，所以滿足的點有兩個，故C正確；對于D：如圖所示，不妨設切線方程為，即，因為與圓相切，所以，所以，解得，所以切線方程為或，故D正確；故選：BCD.12．/0.25【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，根據(jù)共面得到，得到答案.【詳解】由，得，即．因為點在平面內，所以，得．故答案為：.13．【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點運動的過程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時，；當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】建系標點，設，根據(jù)垂直關系可得，結合長度可得，分析可知端點的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結果.【詳解】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，可得，因為，即，可得，則，則，整理可得，可知端點的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，所以端點的軌跡長度為.故答案為：.15．(1)(2)，.【分析】（1）先求直線的交點，然后通過條件得到直線的方程，進而確定的中點坐標，最后確定的坐標；（2）先根據(jù)條件得到點到的距離不超過，然后在取到該值的條件下得到的斜率，進而確定直線的方程.【詳解】（1）聯(lián)立方程,解得所以兩直線，的交點為.設，則的中點為.聯(lián)立方程，解得所以.（2）因為，所以點到經(jīng)過點的直線距離的最大值為.由題意，與垂直，則，故的斜率為.所以直線的方程為，即所以當距離最大時，直線的方程為.16．(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）構建空間直角坐標系，然后根據(jù)空間向量求解直線與法向量的夾角的余弦值即可；【詳解】（1）∵、分別為，的中點，∴，∵為正方形，∴，則，∵平面，平面，∴平面.（2）由題知平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，A0,0,0，，，，∴，，∴，，，設平面ADNM的一個法向量為，則令，則，，∴.設直線與平面所成的角為，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)或【分析】（1）直接利用條件求出點的軌跡方程，所求方程表示一個圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當直線的斜率存在時，用點斜式設出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進而求出直線的方程.【詳解】（1）設點，動點與兩個定點，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關系的轉化，結合線面垂直的判定即可求證；（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；（3）根據(jù)向量共線求出，利用空間向量表示出點到直線距離，利用二次函數(shù)性質求范圍即可.【詳解】（1）

因為折疊前為中點，，所以，折疊后，，所以，所以，在折疊前分別為中點，所以，又因為折疊前，所以，所以在折疊后，，；以為坐標原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，為中點，所以，，設平面的法向量為，又，，所以，，令，則，，所以，所以，所以，所以平面.（2）設，由（1）知，，因為動點Q在線段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，設平面的法向量為，，，令，則，，所以，設平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3）設，，，動點Q在線段上，所以，，即，即，所以，，，設點Q到線段的距離為，，，，，，令，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，所以，由此可知動點Q到線段的距離的取值范圍為.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由空間向量的垂直即可證明；（2）設直線l的方向向量，由與兩平面的法向量垂直列方程求