題型27 5類概率統(tǒng)計(jì)大題綜合解題技巧(分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)案例綜合、概率與數(shù)列、概率與導(dǎo)數(shù)綜合)(解析版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2題型275類概率統(tǒng)計(jì)大題綜合解題技巧（分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)案例綜合、概率與數(shù)列、概率與導(dǎo)數(shù)綜合）技法技法01分布列與數(shù)字特征應(yīng)用及解題技巧技法02二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布的應(yīng)用及解題技巧技法03統(tǒng)計(jì)案例綜合的應(yīng)用及解題技巧技法04概率與數(shù)列的應(yīng)用及解題技巧技法05概率與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及解題技巧技法01分布列與數(shù)字特征應(yīng)用及解題技巧分布列與數(shù)字特征分布列與數(shù)字特征是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移1．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.2．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.3．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．例1-1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，甲組研究新產(chǎn)品成功的概率為，乙組研究新產(chǎn)品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)120萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損50萬(wàn)元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤(rùn)100萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損40萬(wàn)元，求該企業(yè)獲利萬(wàn)元的分布列．【詳解】（1）因?yàn)榧住⒁覂蓚€(gè)研發(fā)小組研究新產(chǎn)品成功的概率分別為為和，且相互獨(dú)立，所以，恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值有.，所以分布列為：例1-2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問(wèn)題．1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)前兩局平局的情況下，后面分兩種情況計(jì)算高二年級(jí)最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率即可；（2）由題可知高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6，分別計(jì)算概率從而可得分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級(jí)的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為0362．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.4．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，3(3)選擇小宇，理由見(jiàn)解析【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）分別計(jì)算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過(guò)比較概率的大小可得答案.【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則．（2）X的可能取值為2，3，4，，，X的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望．（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．技法02二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布的應(yīng)用及解題技巧二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移兩點(diǎn)分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.例2-1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某地文旅部門為了增強(qiáng)游客對(duì)本地旅游景區(qū)的了解，提高旅游景區(qū)的知名度和吸引力，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展，在2023年中秋國(guó)慶雙節(jié)之際舉辦“十佳旅游景區(qū)”評(píng)選活動(dòng)，在堅(jiān)持“公平、公正公開”的前提下，經(jīng)過(guò)景區(qū)介紹、景區(qū)參觀、評(píng)選投票、結(jié)果發(fā)布、頒發(fā)獎(jiǎng)牌等環(huán)節(jié)，當(dāng)?shù)氐?個(gè)“自然景觀類景區(qū)”和4個(gè)“人文景觀類景區(qū)”榮獲“十佳旅游景區(qū)”的稱號(hào)．評(píng)選活動(dòng)結(jié)束后，文旅部門為了進(jìn)一步提升“十佳旅游景區(qū)”的影響力和美譽(yù)度，擬從這10個(gè)景區(qū)中選取部分景區(qū)進(jìn)行重點(diǎn)推介.(1)若文旅部門從這10個(gè)景區(qū)中先隨機(jī)選取1個(gè)景區(qū)面向本地的大學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介、再選取另一個(gè)景區(qū)面向本地的中學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介，記面向大學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“自然景觀類景區(qū)”為事件A，面向中學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“人文景觀類景區(qū)”為事件B，求，；(2)現(xiàn)需要從“十佳旅游景區(qū)”中選4個(gè)景區(qū)，且每次選1個(gè)景區(qū)（可以重復(fù)），分別向北京、上海、廣州、深圳這四個(gè)一線城市進(jìn)行重點(diǎn)推介，記選取的景區(qū)中“人文景觀類景區(qū)”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由古典概型的計(jì)算公式可得，，，由條件概率的計(jì)算公式得：，同理，則．（2）由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，；；；；．所以X的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望．例2-2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）文化月活動(dòng)中，某班級(jí)在宣傳欄貼出標(biāo)語(yǔ)“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時(shí)間后，隨機(jī)有個(gè)字脫落．(1)若，用隨機(jī)變量表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)若，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語(yǔ)恢復(fù)原樣的概率．【詳解】（1）方法一：隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，，，，隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P隨機(jī)變量X的期望為法二：隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以.（2）設(shè)脫落一個(gè)“學(xué)”為事件，脫落一個(gè)“好”為事件，脫落一個(gè)“數(shù)”為事件，事件為脫落兩個(gè)字，，，，，，所以某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回，標(biāo)語(yǔ)恢復(fù)原樣的概率為，法二：掉下的兩個(gè)字不同的概率為，所以標(biāo)語(yǔ)恢復(fù)原樣的概率為．例2-3．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）2015年5月，國(guó)務(wù)院印發(fā)《中國(guó)制造》，是我國(guó)由制造業(yè)大國(guó)轉(zhuǎn)向制造業(yè)強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略的行動(dòng)綱領(lǐng).經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，我國(guó)制造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國(guó)際上有影響的制造企業(yè).我國(guó)的造船業(yè)?光伏產(chǎn)業(yè)?5G等已經(jīng)在國(guó)際上處于領(lǐng)先地位，我國(guó)的精密制造也有了長(zhǎng)足發(fā)展.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得知生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率（結(jié)果精確到0.01）；(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取5件，隨機(jī)變量表示抽取的5件中優(yōu)等品的個(gè)數(shù)，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.附：0.9973.【詳解】（1）因?yàn)楫a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值，則，所以優(yōu)等品的概率，所以該企業(yè)生產(chǎn)零件為優(yōu)等品的概率約為0.82.（2）由（1）知產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.82，由題意知，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，3，4，5；故的分布列為，即012345所以.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，競(jìng)賽結(jié)束后，為了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．成績(jī)區(qū)間頻數(shù)假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對(duì)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)該市決定從全市成績(jī)不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加省級(jí)黨史知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線為，分析可知，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）分析可知，，利用二項(xiàng)分布可得出的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【詳解】（1）解：由表格知，成績(jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，設(shè)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線為，則，所以，，解得．（2）解：從全市成績(jī)不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人參加省級(jí)黨史知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)?cè)诘母怕蕿?，由題意知，，則的可能取值有、、、、，則，，，，，所以的分布列為故．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）自1996年起，我國(guó)確定每年3月份最后一周的星期一為全國(guó)中小學(xué)生“安全教育日”.我國(guó)設(shè)立這一制度是為全面深入地推動(dòng)中小學(xué)生安全教育工作，大力降低各類傷亡事故的發(fā)生率，切實(shí)做好中小學(xué)生的安全保護(hù)工作，促進(jìn)他們健康成長(zhǎng).為了迎接“安全教育日”，某市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次安全知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不獲獎(jiǎng).為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)（分）.頻數(shù)6121824181210(1)若現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：（i）若該市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過(guò)85分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ii）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于100000）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可；（2）（?。└鶕?jù)題中所給的公式，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（ⅱ）運(yùn)用二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，基本事件總數(shù)為，設(shè)抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)為事件，則事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，故抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為.（2）（ⅰ）因?yàn)?，所以：，所以參賽學(xué)生中成績(jī)超過(guò)分的學(xué)生數(shù)約為人（ⅱ）由，得，即從所有參賽學(xué)生中墮機(jī)抽取名學(xué)生，該生競(jìng)賽成績(jī)?cè)诜忠陨系母怕蕿椋噪S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以期望為.3．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）樹人中學(xué)某班同學(xué)看到有關(guān)產(chǎn)品抽檢的資料后，自己設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬抽檢方案的摸球?qū)嶒?yàn)．在一個(gè)不透明的箱子中放入10個(gè)小球代表從一批產(chǎn)品中抽取出的樣本（小球除顏色外均相同），其中有個(gè)紅球（，），代表合格品，其余為黑球，代表不合格品，從箱中逐一摸出個(gè)小球，方案一為不放回摸取，方案二為放回后再摸下一個(gè)，規(guī)定：若摸出的個(gè)小球中有黑色球，則該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢．(1)若采用方案一，，，求該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢的概率；(2)（?。┤?，試比較方案一和方案二，哪個(gè)方案使得該批產(chǎn)品通過(guò)抽檢的概率大？并判斷通過(guò)抽檢的概率能否大于？并說(shuō)明理由．（ⅱ）若，，現(xiàn)采用（ⅰ）中概率最大的方案，設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中抽得的紅球?yàn)閭€(gè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)（?。┓桨付沟迷撆a(chǎn)品通過(guò)抽檢的概率大，抽檢的概率不能大于．理由見(jiàn)解析，（ⅱ）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意可知小球?yàn)椴环呕?，從而利用古典概型求?（2）根據(jù)題意對(duì)（?。﹩?wèn)中分別求出兩種方案的概率，作差比較后，從而求解；對(duì)（ⅱ）中根據(jù)題意可知對(duì)于方案二為有放回抽取，利用二項(xiàng)分布求出每次抽到的概率,求出分布列與期望值.【詳解】（1）設(shè)事件為“該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢”，則.所以該批產(chǎn)品未通過(guò)抽檢的概率為.（2）（?。┰O(shè)事件為“方案一使得該批產(chǎn)品通過(guò)抽檢”，事件為“方案二使得該批產(chǎn)品通過(guò)抽檢”，則：，，所以：，因?yàn)椋?，所以上式小于，故方案二使得該批產(chǎn)品通過(guò)抽檢的概率大，又因?yàn)椋?，所以通過(guò)抽檢的概率不能大于.（ⅱ）由題可得，所以的可能取值為，，，，所以：，，，，則的分布列為：所以的期望.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達(dá)到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對(duì)人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護(hù)社團(tuán)組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對(duì)參會(huì)人員就講座內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績(jī)的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為此次測(cè)試的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，約為6.75．用樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的參會(huì)人員的測(cè)試成績(jī)不低于測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)，求測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為多少分（精確到0.1）?參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)0.048；眾數(shù)是，分位數(shù)是(2)分【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得，再結(jié)合眾數(shù)和百分位數(shù)的求解方法，即可求解；（2）求得，得到，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：，解得，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，由，則這100份樣本試卷成績(jī)的75%分位數(shù)是.（2）由，所以，因?yàn)?，所以，所以測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為分．5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.技法03統(tǒng)計(jì)案例綜合的應(yīng)用及解題技巧統(tǒng)計(jì)案例綜合統(tǒng)計(jì)案例綜合是新高考卷的?？純?nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例3-1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

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43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

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19.219.8

20.2

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28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.例3-2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：x12345y1.523.5815(1)求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱．）(2)求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸方程．并預(yù)測(cè)投資額為700萬(wàn)元時(shí)的銷售量．（參考：）參考：【答案】(1)，變量x和y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；(2),千件．【分析】（1）計(jì)算出相關(guān)系數(shù)所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式即可求出；（2）根據(jù)公式即可求出與的值，即可得出回歸方程，令代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，，，，，，變量x和y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；（2），年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，，所以研發(fā)的年投資額為萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量約為千件．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了落實(shí)發(fā)展新能源汽車的國(guó)家戰(zhàn)略，規(guī)范新能源汽車生產(chǎn)活動(dòng)，某新能源汽車品牌2019年到2023年年銷量（萬(wàn)）如下表：其中2019~2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼為1~5．年份代碼12345銷量（萬(wàn)）49141825(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，并用樣本相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（精確到0.01）；(2)（ⅰ）假設(shè)變量與變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，，…，，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型（隨機(jī)誤差），請(qǐng)寫出參數(shù)的最小二乘估計(jì)；（ⅱ）令變量，，則變量與變量滿足一元線性回歸模型，利用（?。┲薪Y(jié)論求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年該品牌新能源汽車的銷售量．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（?。?；（ⅱ），32.8萬(wàn)輛【分析】（1）作出散點(diǎn)圖，得出線性相關(guān)，計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明相關(guān)程度．（2）（?。┝畹媒猓áⅲ┯桑á。┑玫媒猓驹斀狻浚?）作出散點(diǎn)圖如圖所示，可知樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)．

，兩個(gè)變量有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系．（2）（?。┝睿?dāng)且僅當(dāng)時(shí)殘差平方和最小，即的最小二乘估計(jì)為．（ⅱ），，由（ⅰ）知，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，．，，，當(dāng)時(shí)，，因此預(yù)測(cè)2025年該品牌新能源汽車的銷售量將達(dá)到32.8萬(wàn)輛．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生女生合計(jì)(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析；沒(méi)有(2)①；②，.【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)條件概率值求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計(jì)算的值，再與對(duì)應(yīng)的小概率值比較即得結(jié)論；（2）①先利用分層抽樣確定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人數(shù)，再利用古典概率模型概率公式計(jì)算即得；②根據(jù)列聯(lián)表推理得到從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，每次抽的結(jié)果僅有“了解”與“不了解”兩種，隨機(jī)抽取20人，相當(dāng)于完成20次伯努利試驗(yàn)，故利用二項(xiàng)分布期望與方差公式即可求得.【詳解】（1）因?yàn)椋粤私馊斯ぶ悄艿呐鸀?，了解人工智能的總?cè)藬?shù)為，則了解人工智能的男生有人，結(jié)合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100因，故沒(méi)有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān).（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，由題意可知，，所以，，.4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)職業(yè)籃球聯(lián)賽（CBA聯(lián)賽）分為常規(guī)賽和季后賽.由于新冠疫情關(guān)系，今年聯(lián)賽采用賽會(huì)制：所有球隊(duì)集中在同一個(gè)地方比賽，分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場(chǎng)比賽和客場(chǎng)比賽，積分排名前8的球隊(duì)進(jìn)入季后賽.季后賽的總決賽采用五場(chǎng)三勝制（“五場(chǎng)三勝制”是指在五場(chǎng)比賽中先勝三場(chǎng)者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是隊(duì)在常規(guī)賽60場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表.階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)第一階段30152010第二階段30152515(1)根據(jù)表中信息，填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間有關(guān)？隊(duì)勝隊(duì)負(fù)合計(jì)主場(chǎng)客場(chǎng)合計(jì)60(2)已知隊(duì)與B隊(duì)在季后賽的總決賽中相遇，假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，隊(duì)除第五場(chǎng)比賽獲勝的概率為外，其他場(chǎng)次比賽獲勝的概率為.記為隊(duì)在總決賽中獲勝的場(chǎng)數(shù).求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.1000.0500.0252.7063.8415.024【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由比賽結(jié)果記錄表數(shù)據(jù)易填列聯(lián)表，利用卡方計(jì)算公式算的結(jié)果與小概率0.1對(duì)應(yīng)的比較即得；（2）根據(jù)題意得到隨機(jī)變量所有可能的值，并分別求得對(duì)應(yīng)的概率值，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表：隊(duì)勝隊(duì)負(fù)合計(jì)主場(chǎng)25530客場(chǎng)201030合計(jì)451560，沒(méi)有的把握認(rèn)為比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間有關(guān).（2）由題意得，的所有可能取值為，的分布列為0123.技法04概率與數(shù)列的應(yīng)用及解題技巧概率與數(shù)列的綜合概率與數(shù)列的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例4．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮恢籐ED燈能閃爍紅、黃、藍(lán)三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍(lán)光；若某次閃藍(lán)光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.(1)求第4次閃光為紅光的概率；(2)求第次閃光為紅光的概率.【詳解】（1）由題意，前4次閃光的順序?yàn)椤凹t黃藍(lán)紅”或“紅藍(lán)黃紅”，所以.（2）設(shè)事件表示“第n次閃光為紅光”，事件表示“第n次閃光為黃光”，事件表示“第n次閃光為藍(lán)光”，且，，則，由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，即第次閃紅光的概率為.1．（2024·廣東中山·中山一中?？家荒＃┚W(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無(wú)氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無(wú)氧訓(xùn)練的概率相等．(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，2(2)【分析】（1）分別求出運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無(wú)氧訓(xùn)練的概率，判斷服從二項(xiàng)分布并求概率，列分布列，求數(shù)學(xué)期望；（2）求，的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列并證其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練為事件M，第2天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練為事件N，則，，所以3名運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)，可知，則，，，，所以的分布列為0123所以．（2）依題意可得，即（，且）．則（，且），且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以．2．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國(guó)人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營(yíng)為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來(lái)到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失??；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第步臺(tái)階的概率為（），記．(1)投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第階，求的分布列；(2)①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；②求隊(duì)員贏得吉祥物的概率．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）由題意可得爬一步臺(tái)階的概率為，爬兩步臺(tái)階的概率為，列出隨機(jī)變量可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列即可；（2）（i）由題意可得，分類討論到達(dá)第步臺(tái)階的情況，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而（），結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（ii）由（i），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累加法求得（），令計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意得每輪游戲爬一步臺(tái)階的概率為，爬兩步臺(tái)階的概率為，所以隨機(jī)變量可能取值為4，5，6，7，8，可得，，，，，所以的分布列：45678（2）（?。┳C明：，即爬一步臺(tái)階，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)概率，則到達(dá)第步臺(tái)階有兩種情況：①前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺(tái)階，其概率為，②前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺(tái)階，其概率為，所以（），則（），所以數(shù)列（）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以（），所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用．已知某種農(nóng)作物植株有，，三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為個(gè)體，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為個(gè)體，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代中，，，，個(gè)體均有，且其數(shù)量比為．假設(shè)每個(gè)植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個(gè)體均能正常存活．(1)現(xiàn)取個(gè)數(shù)比為的，，植株個(gè)體進(jìn)行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個(gè)體自交得到的概率；(2)已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農(nóng)科院研究人員為了獲得更多的植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過(guò)誘變育種獲得的Aa植株進(jìn)行第一次自交，根據(jù)植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第二次自交，再將第二次自交后代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操作，從第次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋該育種方案的可行性．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）分析遺傳特性，求概率即可.（2）①找到易求的，再利用遞推關(guān)系求解即可.②發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)夠多時(shí)，概率趨近于1即可.【詳解】（1）由題意得若對(duì)植株進(jìn)行自交，產(chǎn)生，，的概率比為，故在個(gè)數(shù)比為的，，植株個(gè)體進(jìn)行自交時(shí)，其親代，，的概率比為，而親代進(jìn)行自交，產(chǎn)生，，的概率比為，故概率為，（2）①記第代的概率為，子一代進(jìn)行自交時(shí)，子二代進(jìn)行自交時(shí)，故可遞推出，易得，而令，而，則有，故數(shù)列為等比數(shù)列得證.②由上問(wèn)知，且當(dāng)時(shí)，，故該方案可行.4．（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在游戲中，玩家可通過(guò)祈愿池獲取新角色和新武器．某游戲的角色活動(dòng)祈愿池的祈愿規(guī)則為：①每次祈愿獲取五星角色的概率；②若連續(xù)次祈愿都沒(méi)有獲取五星角色，那么第次祈愿必定通過(guò)“保底機(jī)制”獲取五星角色；③除觸發(fā)“保底機(jī)制”外，每次祈愿相互獨(dú)立．設(shè)表示在該祈愿池中連續(xù)祈愿直至獲取五星角色為止的祈愿次數(shù)．(1)求的概率分布；(2)求的數(shù)學(xué)期望（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，的所有可能取值為、、、、，計(jì)算出在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的概率分布列；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得的值.【詳解】（1）解：將每次祈愿獲取五星角色的概率記為，的所有可能取值為、、、、．則，，，，，，所以的概率分布為.（2）解：的數(shù)學(xué)期望，①，②①②得，，，因?yàn)?，所以?．（2024·河北石家莊·石家莊二中校考一模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過(guò)從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過(guò)程．該過(guò)程要求具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無(wú)關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為．(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意根據(jù)組合數(shù)公式、古典概型概率計(jì)算公式先求得，再結(jié)合全概率公式可得.（2）由全概率公式得遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解.（3）由題意得，結(jié)合，由此可得、分布列以及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)恰有2個(gè)黑球的概率為，則恰有0個(gè)黑球的概率為．由題意知，，所以．（2）因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，．（3）因?yàn)棰?，②．所以①②，得．又因?yàn)椋裕裕缘母怕史植剂袨椋?12p所以．所以的數(shù)學(xué)期望為定值1．6．（2024·浙江嘉興·嘉興一中?？家荒＃榱吮苊饩筒途奂蜏p少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式首先得遞推公式，（i）由等比數(shù)列定義證明即可；（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性分奇偶討論即可證明.【詳解】（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”，根據(jù)題意，，，，由全概率公式，得；（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，，由全概率公式，得，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，.技法05概率與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及解題技巧概率與導(dǎo)數(shù)的綜合概率與導(dǎo)數(shù)的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．(1)當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則要得到正確信號(hào)，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大?。?2)若采用三次傳輸方案發(fā)送1，記收到的信號(hào)中出現(xiàn)2次信號(hào)1的概率為，出現(xiàn)3次信號(hào)1的概率為，求的最大值．【詳解】（1）單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．三次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．因?yàn)?，所以要得到正確信號(hào)，三次傳輸方案的概率大．（2）由題意得，．記函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是．1．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，一個(gè)問(wèn)題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯等人的討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．(1)甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；(2)記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率；當(dāng)時(shí)，求事件發(fā)生的概率的最大值．【答案】(1)元；(2)0.0272．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出甲贏得全部賭注概率.（2）求出乙贏得全部賭注的概率，進(jìn)而求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.【詳解】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部賭注，則最后一局必