2024-2025學年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本大題有10小題，每小題4分，共40分。1．（4分）在0，，﹣2，這四個數(shù)中（）A．0 B． C．﹣2 D．2．（4分）有同學預(yù)測“小明在校初一乒乓球賽的決賽奪冠的可能性是80%”．則下列理解最合理的是（）A．小明奪冠的可能性較大 B．小明奪冠的可能性較小 C．小明肯定會贏 D．若決賽賽10局，他一定會贏8局3．（4分）關(guān)于y＝2（x﹣1）2﹣3（x為任意數(shù)）的函數(shù)值，下列說法正確的是（）A．最大值是1 B．最小值是1 C．最大值是﹣3 D．最小值是﹣34．（4分）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的點，則下列四個角中一定等于α的角是（）A．∠C B．∠BAC C．∠BDC D．∠AOD5．（4分）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝2426．（4分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，軸心O到水面AB的距離為（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米7．（4分）關(guān)于y的方程y（y﹣2）＝4（y﹣2），下面解法完全正確的是（）甲乙丙丁整理得：y2﹣6y﹣8＝0a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8Δ＝b2﹣4ac＝68x＝＝3±x1＝3+兩邊同時除以（y﹣2）得到y(tǒng)＝4移項得：y（y﹣2）+4（y﹣2）＝0∴（y﹣2）（y+4）＝0∴y﹣2＝0或y+4＝0∴y1＝2或y2＝﹣4整理得：y2﹣6y+8＝0配方得：∴（y﹣3）2＝1∴y﹣3＝±1∴y1'＝4，y2＝2A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（4分）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規(guī)作圖（）A． B． C． D．9．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x……﹣10123……y……105212……則當y＞5時，x的取值范圍是（）A．0＜x＜4 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞510．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，點D在邊BC上，CD＝1（其中0＜α≤360）到CE，連接AE，AE為邊作?ABFE，連接DF（）A．5 B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）一輛汽車經(jīng)過某十字路口，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，則直行經(jīng)過這個十字路口的概率為．12．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一個根，則c的值為．13．（4分）如圖，在△OAB中，A（﹣1，1），B（﹣2，1），若△ABO與△A1B1O1關(guān)于某點成中心對稱，且A的對應(yīng)點A1的坐標為（1，﹣1），則B的對應(yīng)點B1的坐標為．14．（4分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2．15．（4分）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，所在圓的圓心C恰好是△ABO的內(nèi)心，若AB＝2（圖中實線部分的長度）＝．（結(jié)果保留π）三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0；（2）解不等式組．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，求證：BE＝DF．19．（8分）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“我”、“愛”、“中”、“國”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“愛”的概率是多少？（2）從中任取一球，不放回，再從中任取一球，求取出的兩個球上的漢字能組成“中國”的概率．20．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點D（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．21．（8分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（﹣3，0），P為第二象限內(nèi)拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接PA，PB，當S△PAB＝6時，求出點P的坐標．22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°（1）在CD右側(cè)找點E，使得∠DCE＝∠BCA，CE＝CA；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB＝4，求AE的長．23．（10分）已知：，．（1）求證：（b+c）2≥12ac；（2）若m，n為整數(shù)，且，ac＜0，求24．（12分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計滑雪愛好者滑雪軌跡問題？素材1圖1是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺AB長為1米，平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，建立如圖2的平面直角坐標系．已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為．素材2運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道（忽略空氣阻力）．設(shè)運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米素材3實驗表明：h＝6t2，l＝vt．素材4滑雪場規(guī)定：滑雪愛好者在飛行的過程中，若5≤x≤7時，飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵．問題解決任務(wù)1確定滑道形狀根據(jù)圖2，求滑道拋物線的解析式；任務(wù)2確定滑雪愛好者與滑道位置關(guān)系根據(jù)圖3，當v＝5，t＝1時任務(wù)3確定滑雪愛好者的滑雪方案滑雪愛好者從A處飛出，飛出的路徑近似看成函數(shù)，若該滑雪愛好者能夠獲得獎勵25．（14分）已知A，B，C，D為⊙O上的四個點，連接AB，AD，BC，CD，＝，∠ADC＝45°．（1）如圖1，求證：BC為⊙O的直徑；（2）如圖2，在直線BD上取點E使得點E在AD的垂直平分線上，連接AE并延長交⊙O于點F．①求證：AF＝BD；②過點O作OM⊥AF于點M，連接BM并延長交直線AD于點N，連接CN．在點D運動的過程中，當A，O，D不在同一條直線上時，若發(fā)生變化，請說明理由，請求出∠ANC的度數(shù)．

2024-2025學年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題有10小題，每小題4分，共40分。1．（4分）在0，，﹣2，這四個數(shù)中（）A．0 B． C．﹣2 D．【解答】解：∵﹣2＜0＜＜，∴最小的數(shù)是：﹣6．故選：C．2．（4分）有同學預(yù)測“小明在校初一乒乓球賽的決賽奪冠的可能性是80%”．則下列理解最合理的是（）A．小明奪冠的可能性較大 B．小明奪冠的可能性較小 C．小明肯定會贏 D．若決賽賽10局，他一定會贏8局【解答】解：根據(jù)題意，有人預(yù)測小明奪冠的可能性是80%，A、小明奪冠的可能性較大，符合題意；B、小明奪冠的可能性較小，不符合題意；C、小明不一定會贏，不符合題意；D、若決賽賽10局，說法錯誤；故選：A．3．（4分）關(guān)于y＝2（x﹣1）2﹣3（x為任意數(shù)）的函數(shù)值，下列說法正確的是（）A．最大值是1 B．最小值是1 C．最大值是﹣3 D．最小值是﹣3【解答】解：∵y＝2（x﹣1）8﹣3，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，﹣7），∴函數(shù)有最小值﹣3；故選：D．4．（4分）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的點，則下列四個角中一定等于α的角是（）A．∠C B．∠BAC C．∠BDC D．∠AOD【解答】解：A、由圓周角定理得：∠C＝∠B＝α；B、∠BAC與∠B的關(guān)系不確定；C、∠BDC與∠B的關(guān)系不確定；D、由圓周角定理得：∠AOD＝2∠B＝2α；故選：A．5．（4分）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242【解答】解：根據(jù)題意，可列方程：200（1+x）2＝242，故選：A．6．（4分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，軸心O到水面AB的距離為（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB交AB于點C．∵OC⊥AB，AB＝8米，∴AC＝AB＝，在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC＝＝．故選：C．7．（4分）關(guān)于y的方程y（y﹣2）＝4（y﹣2），下面解法完全正確的是（）甲乙丙丁整理得：y2﹣6y﹣8＝0a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8Δ＝b2﹣4ac＝68x＝＝3±x1＝3+兩邊同時除以（y﹣2）得到y(tǒng)＝4移項得：y（y﹣2）+4（y﹣2）＝0∴（y﹣2）（y+4）＝0∴y﹣2＝0或y+4＝0∴y1＝2或y2＝﹣4整理得：y2﹣6y+8＝0配方得：∴（y﹣3）2＝1∴y﹣3＝±1∴y1'＝4，y2＝2A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：甲：原方程整理得：y2﹣6y+8＝0，甲的解法不正確；乙：∵無法確定y﹣2≠8，∴無法在方程的兩邊同時除以（y﹣2），乙的解法不正確；丙：移項得：y（y﹣2）﹣5（y﹣2）＝0，丙的解法不正確；?。涸匠陶淼茫簓3﹣6y+8＝5，配方得：（y﹣3）2＝3，∴y﹣3＝±1，∴y5＝4，y2＝3，丁的解法完全正確．故選：D．8．（4分）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規(guī)作圖（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM，又∵PO＝PM，∴∠AOM＝∠PMO，∴∠PMO＝∠BOM，∴PM∥OB．故A選項不符合題意．如圖所示，∵OP＝OM，∴∠OPM＝∠OMP．又∵PN平分∠APM，∴∠APN＝∠MPN．據(jù)此無法得到判定PN∥OB的條件．故B選項符合題意．如圖所示，∵OP＝ON＝PM＝MN，∴四邊形OPMN是菱形，∴PM∥OB．故C選項不符合題意．如圖所示，根據(jù)作圖步驟可知，這里作了一個角（∠APM）等于已知角（∠O），∵∠APM＝∠O，∴PM∥OB．故D選項不符合題意．故選：B．9．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x……﹣10123……y……105212……則當y＞5時，x的取值范圍是（）A．0＜x＜4 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5【解答】解：∵根據(jù)表格可知拋物線經(jīng)過點（1，2），3），∴對稱軸為x＝＝2，設(shè)拋物線經(jīng)過點（a，5），則：＝2，觀察表格發(fā)現(xiàn)：當x＜6時，y隨著x的增大而減小，y隨著x的增大而增大，∴當y＞5時，x的取值范圍是x＜0或x＞5，故選：C．10．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，點D在邊BC上，CD＝1（其中0＜α≤360）到CE，連接AE，AE為邊作?ABFE，連接DF（）A．5 B． C． D．【解答】解：作平行四邊形ABPC，連接PA交BC于點O．∵四邊形ABPC是平行四邊形，AB＝AC，∴四邊形ABPC是菱形，∴PA⊥BC，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴OA＝OP＝，OB＝OC＝2，∵CD＝1，∴OD＝5，∴PD＝＝，∵AB∥PC∥FE，AB＝PC＝FE，∴四邊形PCEF是平行四邊形，∴PF＝CE＝CD＝1，∴點F的運動軌跡是以P為圓心為半徑的圓，∴DF的最大值＝+1，故選：D．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）一輛汽車經(jīng)過某十字路口，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，則直行經(jīng)過這個十字路口的概率為．【解答】解：∵一輛汽車經(jīng)過某十字路口，可能直行，共三種情況，∴直行經(jīng)過這個十字路口的概率為．故答案為：．12．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一個根，則c的值為2．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣5x+c＝0，得24﹣3×2+c＝7，解得：c＝2．故答案為：2．13．（4分）如圖，在△OAB中，A（﹣1，1），B（﹣2，1），若△ABO與△A1B1O1關(guān)于某點成中心對稱，且A的對應(yīng)點A1的坐標為（1，﹣1），則B的對應(yīng)點B1的坐標為（2，﹣1）．【解答】解：∵A（﹣1，1）的對應(yīng)點A2的坐標為（1，﹣1），∴△ABO與△A4B1O1關(guān)于原點O成中心對稱，∴B（﹣3，1）的對應(yīng)點B1的坐標為（3，﹣1）．故答案為：（2，﹣8）．14．（4分）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝24．【解答】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，∴BC＝2DE＝2×8＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝4，故答案為：7．15．（4分）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，所在圓的圓心C恰好是△ABO的內(nèi)心，若AB＝2（圖中實線部分的長度）＝8π．（結(jié)果保留π）【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB于點MAB＝，∵六條等弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵點O是△AOB的內(nèi)心，∴∠CAB＝∠CBA＝×60°＝30°，在Rt△ACM中，AM＝，∴AC＝＝2，∴的長為＝π，∴花窗的周長為π×6＝2π．故答案為：8π．三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0；（2）解不等式組．【解答】解：（1）x2+2x﹣5＝0，x2+3x＝1，x2+4x+1＝1+5，（x+1）2＝5，x+1＝，∴，；（2），解不等式①，得x＜7，解不等式②，得x＞2，所以不等式組的解集是2＜x＜3．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，求證：BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE與△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF．19．（8分）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“我”、“愛”、“中”、“國”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“愛”的概率是多少？（2）從中任取一球，不放回，再從中任取一球，求取出的兩個球上的漢字能組成“中國”的概率．【解答】解：（1）從中任取一個球，球上的漢字剛好是“愛”的概率＝；（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個球上的漢字能組成“中國”的結(jié)果數(shù)為7，所以取出的兩個球上的漢字能組成“中國”的概率＝＝．20．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點D（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝2，BD＝4，求AB長．【解答】（1）證明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝∠OAD，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，∵OD是半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝OA＝r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB7﹣OD2＝BD2，即（4+r）2﹣r2＝62，解得，r＝3，∴AB＝6+2×3＝8，∴AB的長為8．21．（8分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（﹣3，0），P為第二象限內(nèi)拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接PA，PB，當S△PAB＝6時，求出點P的坐標．【解答】解：（1）將點A（1，0）和點B（﹣8，可得，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x5﹣2x+3；（2）設(shè)點P坐標為（m，﹣m7﹣2m+3），∵P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，∴m＜8，﹣m2﹣2m+2＞0，∵A（1，5），0），∴AB＝4，∴S△PAB＝AB?yP＝×4×（﹣m2﹣5m+3）＝6，整理得：m6+2m＝0，解得m2＝﹣2，m2＝5（舍去），∴點P坐標為（﹣2，3）．22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°（1）在CD右側(cè)找點E，使得∠DCE＝∠BCA，CE＝CA；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB＝4，求AE的長．【解答】解：（1）如圖，先作∠DCM＝BCA，CA的長為半徑畫弧，則點E即為所求．（2）連接DE，∵△BCD為等邊三角形，∴∠BCD＝60°，BC＝DC，∵∠DCE＝∠BCA，CE＝CA，∴△DCE≌△BCA（SAS），∴DE＝AB＝4，∠CDE＝∠CBA．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD＝360°，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠CDA＝180°，∴∠CDE+∠CDA＝180°，∴點A，D，E三點在同一條直線上．∴AE＝AD+DE＝2+5＝6．23．（10分）已知：，．（1）求證：（b+c）2≥12ac；（2）若m，n為整數(shù)，且，ac＜0，求【解答】（1）證明：∵，，∴b+c＝a（3m+n），c＝amn，∴（b+c）7﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a×amn＝a7（9m2+2mn+n2﹣12mn）＝a2（4m2﹣6mn+n3）＝a2（3m﹣n）7，∵a2≥0，（2m﹣n）2≥0，∴a3（3m﹣n）2≥8，∴（b+c）2﹣12ac≥0，即（b+c）7≥12ac；（2）解：∵，，∴b+c＝a（3m+n），c＝amn，∴b＝a（3m+n）﹣c＝a（3m+n）﹣amn＝a（3m+n﹣mn），∵ac＜2，∴a≠0，b≠0，∴a×amn＜8，∴a2×mn＜0，∴mn＜5，∴m，n異號，∵，∴2（a﹣c）＝b，∴4（a﹣amn）＝a（3m+n﹣mn），即2a（6﹣mn）＝a（3m+n﹣mn），∵a≠0，∴7（1﹣mn）＝（3m+n﹣mn），整理得：mn+5m+n﹣2＝0，∴（m+7）（n+3）＝5，∵m，n為整數(shù)，∴或或或，由，解得：，n異號，舍去；由，解得：，n異號，舍去；由，解得：，n異號；由，解得：，n異號，舍去；∴，∴b＝a（8m+n﹣mn）＝a×（12﹣2+8）＝18a，c＝amn＝﹣6a，∴＝＝．24．（12分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計滑雪愛好者滑雪軌跡問題？素材1圖1是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺AB長為1米，平臺AB距地面18米．以地面所在直線為x軸，過點B垂直于地面的直線為y軸，建立如圖2的平面直角坐標系．已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為．素材2運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道（忽略空氣阻力）．設(shè)運動員飛出時間為t秒，運動員與點A的豎直距離為h米素材3實驗表明：h＝6t2，l＝vt．素材4滑雪場規(guī)定：滑雪愛好者在飛行的過程中，若5≤x≤7時，飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵．問題解決任務(wù)1確定滑道形狀根據(jù)圖2，求滑道拋物線的解析式；任務(wù)2確定滑雪愛好者與滑道位置關(guān)系根據(jù)圖3，當v＝5，t＝1時任務(wù)3確定滑雪愛好者的滑雪方案滑雪愛好者從A處飛出，飛出的路徑近似看成函數(shù)，若該滑雪愛好者能夠獲得獎勵【解答】解：（1）由題意，點A的坐標為（1，且點A在滑道所在的拋物線上，將x＝1，y＝18代入﹣7+c，解得：c＝，因此滑道對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝x2﹣4x+；（2）當v＝5，t＝1時7＝6，l＝vt＝5×6＝5，當x＝5+3＝6時，y＝2﹣4×6+＝5，因此運動員此時沒有落在滑道上；（3）設(shè)飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離為：y′，則y′＝（﹣x2+x+t）﹣（x2﹣4x+）＝﹣）2+t﹣，∵飛行的高度與跳臺滑道的垂直距離在8～10米的范圍內(nèi)即可獲得獎勵，∴2＜t﹣＜10，∴17.7＜t＜19.7，當t＝18或19時，該滑雪愛好者能夠獲得獎勵．25．（14分）已知A，B，