第5章-正交試驗設計

本章主要授課內容概述

正交表正交試驗設計的優(yōu)點正交試驗設計的基本步驟

正交試驗設計結果的直觀分析法

單指標正交試驗設計及其結果的直觀分析多指標正交試驗設計及其結果的直觀分析有交互作用的正交試驗設計及其結果的直觀分析混合水平的正交試驗設計及其結果的直觀分析正交試驗設計結果的方差分析法方差分析的基本步驟與格式二水平正交試驗的方差分析三水平正交試驗的方差分析混合水平正交試驗的方差分析5.1概述對于多因素多水平試驗，若對每個因素的每個水平都相互搭配進行全面試驗，則試驗次數(shù)為：試驗次數(shù)≥水平數(shù)因素數(shù)(每個水平組合上只作1次試驗)

例：3因素4水平的全面試驗次數(shù)≥43=64次正交試驗設計(orthogonaldesign)：利用正交表科學地安排與分析多因素試驗的方法例：3因素4水平的正交試驗次數(shù)：165.1.1正交表(orthogonaltable)

正交表：根據正交原理設計的，已規(guī)范化的表格，是正交設計中安排試驗和分析試驗結果的基本工具。5.1.1.1等水平正交表等水平正交表：各因素的水平數(shù)是相等的。（1）等水平正交表符號：Ln(rm)L:正交表代號

n:正交表橫行數(shù)（試驗次數(shù)）

r:因素的水平數(shù)

m:正交表縱列數(shù)(最多能安排的因數(shù)個數(shù))（2）部分等水平正交表符號如下

2水平正交表：L4(23),L8(27),L12(211),L16(215),…3水平正交表：L9(34),L18(37),L27(313),…4水平正交表：L16(45),L32(49),L64(421),…5水平正交表：L25(56),L50(511),L125(531),…（3）等水平正交表的特點表中任一列，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同，即每個因素的每一個水平都重復相同的次數(shù)——均勻可比性

表中任意兩列，把同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)字對，所有可能的數(shù)字對（水平組合）出現(xiàn)的次數(shù)相同——均衡分散性。兩性質合稱為“正交性”：使試驗點在試驗范圍內排列整齊、規(guī)律，也使試驗點在試驗范圍內散布均勻。5.1.1.2混合水平正交表

混合水平正交表：各因素的水平數(shù)是不完全相同的?；旌纤秸槐硇再|：（1）表中任一列，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。（2）每兩列，同行兩個數(shù)字組成的各種不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的，但不同的兩列間所組成的水平搭配種類及出現(xiàn)次數(shù)是不完全相同的。（3）采用混合水平的正交表安排試驗時，每個因素的各水平之間的搭配是均衡的。5.1.2正交試驗設計的優(yōu)點在所有試驗方案中均勻地挑選出代表性強的少數(shù)試驗方案。通過對這些少數(shù)試驗方案的試驗結果進行統(tǒng)計分析，可以推出較優(yōu)的方案。對試驗結果作進一步的分析，可以得到試驗結果之外的更多信息。例5-1:某工廠想提高產品的質量和產量，考察了工藝中三個主要因素:溫度（A），時間（B），加堿量（C），每個因素各選三個水平進行試驗。試驗的目的是為了提高合格產品的產量，尋找最適宜的操作條件。（忽略因素間的交互作用）水平（A）溫度/℃（B）時間/min（C）加堿量/kg123(A1)85(A2)80(A3)90(B1)90(B2)150(B3)120(C1)7(C2)6(C3)5A2A3A1B1B2B3C1C2C3C1C2C3C1C2C3a.全面試驗:27種試驗方案全面試驗的試驗點分布（分布均勻）特點：數(shù)據點分布均勻性好，各因素和水平的搭配全面,但試驗次數(shù)較多。A1A2A3B3B2B1C1C2C3b.簡單比較法：

試驗次數(shù)比較少，常常被采用。第一步：B1C1A1，B1C1A2，B1C1A3→A3

第二步：A3C1B1，A3C1B2，A3C1B3→A3B2

第三步：A3B2C1，A3B2C2，A3B2C3→

A3B2C3A1A2A3B3B2B1C1C2C3特點：試驗次數(shù)少，但試驗結果不可靠，當因素的數(shù)目和水平數(shù)更多時，常常會得到錯誤的結論。簡單比較法的試驗點分布（不均勻）c.正交試驗設計：選用正交表L9(34)，只需要做9次試驗。如果將A,B,C三個因素分別安排在正交表的1，2，3列，則試驗方案為A1B1C1，A1B2C2，A1B3C3，A2B1C2，A2B2C3，A2B3C1，A3B1C3，A3B2C1，A3B3C2。正交試驗的試驗點分布特點：試驗點分布均勻，試驗次數(shù)較少，具有代表性。A1A2A3B3B2B1C1C2C35.1.3正交試驗設計的基本步驟

正交試驗設計總的來說包括兩個部分：一是試驗設計，二是數(shù)據處理?；静襟E可簡單歸納如下：

（1）明確試驗目的，確定評價指標

（2）挑選因素，確定水平（3）選正交表，進行表頭設計根據因素數(shù)和水平數(shù)選擇合適的正交表。按列選取因素數(shù)＋交互作用列數(shù)＋空列≤正交表列數(shù)因素水平數(shù)與正交表對應的水平數(shù)一致若考慮試驗因素間的交互作用，應根據交互作用因素的多少和交互作用安排原則選用正交表表頭設計就是將試驗因素安排到所選正交表相應的列中。不考慮交互作用，可將因素隨機安排在正交表各列需考察交互作用，按照正交表對應的交互作用列表統(tǒng)籌安排原則：一級交互作用不能與因素混雜；要考察的交互作用不能與因素混雜（4）明確試驗方案，進行試驗，得到結果

（5）對試驗結果進行統(tǒng)計分析

直觀分析方法（極差分析法）

分析因素主次順序，尋找最優(yōu)水平組合方差分析法分析因素或交互作用對試驗指標影響的顯著性（6）進行驗證試驗，作進一步分析最優(yōu)水平組合是通過統(tǒng)計分析得出的，還需要進行試驗驗證，以保證試驗結論的可靠性5.2.1單指標正交試驗設計及其結果的直觀分析5.2正交試驗設計結果的直觀分析法例5-2：檸檬酸硬脂酸單甘酯是一種新型的食品乳化劑，它是檸檬酸與硬脂酸單甘酯，在一定的真空度下，通過酯化反應制得，現(xiàn)對其合成工藝進行優(yōu)化，以提高乳化劑的乳化能力。乳化能力測定方法：將產物加入油水混合物中，經充分混合、靜置分層后，將乳狀液層所占的體積百分比作為乳化能力。根據探索性試驗，確定的因素和水平如下表所示，假定因素間無交互作用。解：本題中，試驗的目的是提高產品的乳化能力，試驗指標為乳化能力，因素水平為3因素3水平（假定因素間無交互作用），所以可以從正交表的選取開始進行試驗設計和直觀分析。（1）選正交表

選用正交表L9(34)來安排試驗。

（2）表頭設計

（3）明確試驗方案三個符號說明：

Ki：表示任一列上水平號為i時，所對應的試驗結果之和。ki

：ki=Ki/s，其中s為任一列上各水平出現(xiàn)的次數(shù)，ki

表示任一列上因素取水平i時所得試驗結果的算術平均值。R（極差）:在任一列上

R=max{K1,K2,K3}-min{K1,K2,K3}，或R=max{k1,k2,k3}-min{k1,k2,k3}（4）按規(guī)定的方案做試驗，得出試驗結果

（5）計算極差，確定因素的主次順序各列的極差是不相等的，說明各因素的水平改變對試驗結果的影響是不相同的，極差越大，表示該列因素的數(shù)值在試驗范圍內的變化，會導致試驗指標在數(shù)值上更大的變化，所以極差最大的那一列，就是因素的水平對試驗結果影響最大的因素，也即最主要的因素。

本例中，RA>RB>RC，各因素的主次順序為：A（溫度），B（酯化時間），C（催化劑種類）若空白列的極差R較大，說明：可能漏掉了對試驗結果有重要影響的其它因素因素之間可能存在不可忽略的交互作用（6）最優(yōu)水平組合的確定各因素優(yōu)水平的確定與試驗指標有關，若指標越大越好，則應選取使指標大的水平，即各列Ki（或ki）中最大的那個值對應的水平；反之，若指標越小越好，則應選取使指標小的水平。本例中，試驗指標是乳化能力，指標越大越好，所以應挑選每個因素的Ki（或ki）中最大的值對應那個水平。

A因素列：K2>K3>K1;B因素列：K2>K3>K1

C因素列：K2>K3>K1

所以，優(yōu)方案為A2B2C2此外，實際確定優(yōu)方案時，還應區(qū)分因素的主次，對于主要因素，一定要按照有利于指標的要求選取最好的水平，而對于不重要的因素，由于其水平的改變對試驗結果的影響較小，則可以根據有利于降低消耗，提高效率等目的來考慮別的水平。（7）進行驗證試驗，作進一步的分析優(yōu)方案往往不包含在正交實驗方案中，還需要進一步的試驗驗證。優(yōu)方案是在給定的因素和水平的條件下得到的，若不限定給定的水平，有可能得到更好的試驗方案。將因素水平作為橫坐標，試驗指標的平均值ki為縱坐標，繪制因素與指標的關系圖—趨勢圖，根據趨勢圖對所選的因素和水平進行適當?shù)恼{整，可以找到新的更優(yōu)方案。例6-2趨勢圖從圖中可以看出，當反應溫度A2=120℃,酯化時間B2=2h，選用乙種催化劑（C2）時產品乳化能力最好。從趨勢圖還可以看出，酯化時間不是越長越好，當酯化時間少于3h，產品的乳化能力有隨時間減少而提高的趨勢，所以適當減少乳化時間，也許會找到更優(yōu)的方案。總結，正交試驗設計的基本步驟：

(1)明確試驗目的，確定評價指標

(2)挑選因素(包括交互作用)，確定水平

(3)選正交表，進行表頭設計

(4)明確試驗方案，進行試驗，得到結果

(5)對試驗結果進行統(tǒng)計分析

(6)進行驗證試驗，作進一步分析5.2.2多指標正交試驗設計及其結果的直觀分析

多指標試驗中，不同指標的重要程度常常是不一致的，各因素對不同指標的影響程度也不完全相同。

多指標正交試驗的直觀分析方法一般有兩種：綜合平衡法和綜合評分法。

5.2.2.1綜合平衡法

綜合平衡法：先對每個指標分別進行單指標的直觀分析，得到每個指標的影響因素主次順序和最佳水平組合，然后根據理論知識和實際經驗，對各指標的分析結果進行綜合比較和分析，得出較優(yōu)方案。例5-3：在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的試驗中，為了提高葛根中有效成分的提取率，對提取工藝進行優(yōu)化試驗，需要考察3項指標：提取物得率（提取物質量與葛根質量之比）、提取物中葛根總黃酮含量、總黃酮中葛根素含量，三個指標都是越大越好，根據前期探索性試驗，決定選取3個相對重要的因素：乙醇濃度、液固比（乙醇溶液與葛根質量之比），以及提取劑回流次數(shù)進行正交試驗，它們各有3個水平，具體試驗數(shù)據如下表所示，不考慮因素間的交互作用，試進行分析，找出較好的提取工藝條件。水平(A)乙醇濃度/%(B)液固比(C)回流次數(shù)123806070768123因素水平表解：這是一個3指標、3因素、3水平的試驗，由于不考慮交互作用，可以選用正交表L9(34)來安排試驗。表頭設計、試驗方案及試驗結果如下表所示。與單指標試驗的分析方法相同，先對各指標分別進行直觀分析，得出因素的主次和優(yōu)方案，并且畫出各因素與各指標的趨勢圖。試驗號AB空列C提取物得率/%總黃酮含量/%葛根素含量/%1234567891112223331231231231232313121233122316.27.47.88.07.08.27.48.26.65.16.37.26.96.46.97.38.07.02.12.52.62.42.52.52.83.12.2（1）試驗方案及試驗結果指標ABC提取物得率/%K1K2K321.423.222.221.622.622.622.622.022.219.823.024.0k1k2k37.137.737.407.207.537.537.537.337.406.607.678.00極差R1.81.00.64.2因素主次CAB優(yōu)方案C3A2B2或C3A2B3葛根總黃酮含量/%K1K2K318.620.222.319.320.721.120.020.220.918.520.522.1k1k2k36.206.737.436.436.907.036.676.736.976.176.837.37極差R3.71.80.73.6因素主次ACB優(yōu)方案A3C3B3指標ABC葛根素含量/%K1K2K37.27.48.17.38.17.37.77.17.96.87.88.1k1k2k32.402.472.702.432.702.432.572.372.632.272.602.70極差R0.90.80.81.3因素主次CAB優(yōu)方案C3A3B2試驗結果分析（續(xù)）從上表可以看出，對于不同的指標，不同因素的影響程度是不一樣的，所以將3個因素對3個指標影響的重要性的主次順序統(tǒng)一起來是行不通的。不同指標所對應的優(yōu)方案也是不同的，但是通過綜合平衡法可以得到綜合的優(yōu)方案。（2）綜合平衡分析因素A:對于后兩個指標都是取A3好，而且對于葛根總黃酮含量，A因素是最主要的因素，在確定優(yōu)水平時應重點考慮；對于提取物得率則是取A2好，從趨勢圖或Ki（ki）可以看出A取A2，A3時，提取物得率相差不大，而且從極差可以看出，A為較次要的因素。所以根據多數(shù)傾向和A因素對不同指標的重要程度，選取A3。因素B:對于提取物得率，取B2或B3基本相同，對于葛根總黃酮含量取B3好，對于葛根素含量則是取B2;另外對于三個指標而言，B因素都處于末位的次要因素，所以B取哪個水平對三個指標的影響都比較小，可以本著降低消耗的原則，選取B2,以減少溶劑耗量。因素C:對于三個指標，都是以C3為最佳水平，所以取C3。綜合平衡法優(yōu)方案：A3B2C3（3）綜合平衡依據的原則

對于某個因素，可能對某個指標是主要因素，但對另外的指標則可能是次要因素，那么在確定該因素的水平時，應首先選取作為主要因素時的優(yōu)水平；若某因素對各指標的影響程度相差不大，可以按照“少數(shù)服從多數(shù)”的原則，選取出現(xiàn)次數(shù)較多的優(yōu)水平；當因素各水平相差不大時，可依據降低消耗，提高效率的原則選取合適的水平；若各試驗指標的重要程度不同，則在確定因素優(yōu)水平時，應首先滿足相對重要的指標。（4）綜合平衡法的特點計算工作量大可以從試驗結果中獲得較多的信息有時綜合平衡比較困難5.2.2.2綜合評分法

綜合評分法：根據各個指標的重要程度，對得出的試驗結果進行分析，給每一個試驗評出一個分數(shù)，作為這個試驗的總指標，然后根據這個總指標（分數(shù)），利用單指標試驗結果的直觀分析法作進一步的分析，確定較好的試驗方案。幾種常用的評分方法：

（1）對每號試驗結果的各個指標統(tǒng)一權衡，綜合評價，直接給出每一號試驗結果的綜合分數(shù)。

（2）先對每號試驗的每個指標按一定的評分標準評出分數(shù)，若各指標的重要性是一樣的，可以將同一號試驗中各指標的分數(shù)的總和作為該號試驗的總分數(shù)；若各指標的重要性不同，要先確定各指標相對重要性的權數(shù)，然后求加權和作為該號試驗的總分數(shù)。（3）如何對每個指標評出分數(shù)

非數(shù)量性指標：依靠經驗和專業(yè)知識給出分數(shù)有時指標值本身就可以作為分數(shù)，如回收率、純度等用“隸屬度”來表示分數(shù)：指標最大值的隸屬度為1，指標最小值的隸屬度為0，0≤隸屬度≤1如果各指標的重要性一樣，可以直接將各指標的隸屬度相加作為綜合分數(shù)，否則求出加權和作為綜合分數(shù)。例5-4：玉米淀粉改性制備高取代度的三乙酸淀粉酯的試驗中，需要考察兩個指標，即取代度和酯化率，這兩個指標都是越大越好，試驗的因素和水平如下表所示，不考慮因素之間的交互作用，試驗目的是為了找到使取代度和酯化率都高的試驗方案。

解:這是一個2指標，3因素3水平的試驗，由于不考慮交互作用，所以可選用正交表L9（34）來安排試驗。

表頭設計、試驗方案及試驗結果如下表所示。水平(A)反應時間/h(B)吡啶用量/g(C)乙酸酐用量/g1233451509012010070130試驗號AB空列C取代度酯化率/%取代度隸屬度酯化率隸屬度綜合分1234567891112223331231231231232313121233122312.962.182.452.702.492.412.712.422.8365.7040.3654.3141.0956.2943.2341.4356.2960.141.0000.350.670.400.290.680.310.83100.550.030.630.110.040.630.781.0000.470.290.540.180.300.500.80K1K2K31.471.011.601.591.041.451.681.091.312.340.481.26極差R0.590.550.591.86因素主次C、A、B優(yōu)方案C1A3B1說明：本例中的兩個指標的重要性不一樣，根據實際要求，取代度和酯化率的權重分別取0.4和0.6，每號試驗的綜合分數(shù)=取代度隸屬度×0.4+酯化率隸屬度×0.6，滿分為1.00。優(yōu)方案C1A3B1,不包括在已經做過的9個試驗中，所以應按照這個方案做一次驗證性試驗，看是否比正交表中1號試驗的結果更好，從而確定真正最好的試驗方案。綜合評分法特點：將多指標的問題，通過適當?shù)脑u分方法，轉換成了單指標的問題，分析計算簡單方便。確定合理的評分標準和各指標的權數(shù)，是綜合評分的關鍵。5.2.3有交互作用的正交試驗設計

5.2.3.1交互作用的判別設有兩個因素A和B，各取兩水平A1，A2和B1，B2，共有4種水平組合在每個組合水平上做試驗，根據試驗結果判斷有交互作用：A或B對試驗指標的影響，與另一個因素取哪一個水平有關。無交互作用：A或B對試驗指標的影響，與另一個因素取哪一個水平無關。A1A2B12535B23040A1A2B12535B23015有交互作用無交互作用△=5△=-205.2.3.2有交互作用的正交試驗設計及其結果的直觀分析例5-5：用石墨爐原子吸收分光光度計法測定食品中的鉛，為提高測定靈敏度，希望吸光度大。為提高吸光度，對A（灰化溫度/℃）、B（原子化溫度/℃

）和C（燈電流/mA）三個因素進行了考察，并考慮交互作用A×B,A×C,各因素及水平如下表所示。試進行正交試驗，找出最優(yōu)水平組合。水平ABC1230070018002400810解：（1）選表本例是一個3因素2水平試驗，但是還有2個交互作用，在選正交表時，應將交互作用看成因素，所以本例應按照5因素2水平的情況來選正交表，于是應選最小正交表L8(27)來安排試驗。（2）表頭設計參照交互作用列表統(tǒng)籌安排。列號（）列號1234567（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（1）3（2）21（3）567（4）4761（5）74523（6）654321（7）L8(27)交互作用列表列號1234567因素ABA×BCA×C空列空列（3）明確試驗方案，進行試驗，得到試驗結果

注意：交互作用雖然也占有相應的列，但它們與空白列一樣，對確定試驗方案不起任何作用。試驗號A1B2A×B3C4

A×C5空列6空列7吸光度yi12345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121120.4840.4480.5320.5160.4720.4800.5540.552K1K21.9802.0581.8842.1542.0382.0002.0421.9962.0481.9902.0242.0142.0342.004極差R0.0780.2700.0380.0460.0580.0100.030因素主次B、A、A×C、C、A×B（4）計算極差、確定因素主次（5）優(yōu)方案的確定考慮交互作用的最優(yōu)水平組合，需要采用交互作用表來確定。A1A2C1C20.484+0.532=1.0160.448+0.516=0.9640.472+0.554=1.0260.480+0.552=1.032比較表中的四個值，1.032最大，所以取A2C2好，從而優(yōu)方案為A2B2C25.2.4混合水平的正交試驗設計及其結果的直觀分析混合水平的正交試驗設計方法主要有兩種方法直接利用混合水平的正交表采用擬水平法，即將混合水平的問題轉化成等水平問題來處理5.2.4.1直接利用混合水平的正交表例5-6：某人造板廠進行膠壓板制造工藝的試驗，以提高膠壓板的性能，因素及水平如下所示，膠壓板的性能指標采用綜合評分的方法，分數(shù)越高越好，忽略因素間的交互作用。水平（A）壓力/atm（B）溫度/℃（C）時間/min123481011129590912解：本問題中有3個因素，一個因素4個水平，另外兩個因素都為2個水平，正好可以選用混合水平正交表L8(41×24)。因素A有4個水平，應安排在第1列，B和C都為2個水平，可以放在后4列中的任何兩列上，本例將B,C依次放在第2，3列上，第4，5列為空列。試驗方案及試驗結果如下表所示。試驗號ABC空列空列得分123456781122334412121212121221211221122112212112264568910K1K2K3K48914192129242623272426k1k2k3k44.04.57.09.55.27.26.06.55.86.86.06.5極差R5.52.00.510.5因素主次A、B、C優(yōu)方案A4B2C2或A4B2C1由于C因素是對試驗結果影響較小的次要因素，它取不同的水平對試驗結果的影響很小，如果從經濟的角度考慮，可取9min，所以優(yōu)方案也可以為A4B2C1。5.2.4.2擬水平法擬水平法是將混合水平的問題轉化成等水平問題來處理的一種方法。例5-7：某制藥廠為提高某種藥品的合成率，決定對縮合工序進行優(yōu)化，因素水平表如下所示，忽略因素間的交互作用。水平(A)溫度/℃(B)甲醇鈉量/ml(C)醛狀態(tài)(D)縮合劑含量/ml123352545354固液液0.91.21.5分析：這是一個4因素的試驗，其中3個因素是3水平，1個因素是2水平，可以套用混合水平正交表L18(21×37),需要做18次試驗。假如C因素也有3個水平，則本例就變成了4因素3水平的問題，如果忽略因素間的交互作用，就可以選用等水平正交表L9(34)，只需要做9次試驗。但是實際上因素C只能取2個水平，不能夠不切實際地安排出第3個水平。此時，可以根據實際經驗，將C因素較好的一個水平重復一次，使C因素變成3水平的因素。其中，第3水平是虛擬的，稱為擬水平。解：C因素擬出一個水平后，可以選用正交表L9（34）來安排試驗，試驗結果及分析如下表所示。試驗號ABCD合成率（合成率-70）/%1234567891112223331231231231(1)2(2)3(2)2(2)3(2)1(1)3(2)1(1)2(2)12331223169.271.878.074.177.666.569.269.778.8-0.81.88.04.17.6-3.5-0.8-0.38.8K1K2K3k1k2k39.08.27.73.02.72.62.59.113.30.83.04.4-4.629.5-1.54.915.6-2.511.85.2-0.83.9極差R0.43.66.46因素主次CDBA優(yōu)方案C2D1B3A1注1：因素C的第3水平實際上與第2水平是相等的，所以應重新安排正交表第3列中C因素的水平，將3水平改成2水平，于是C因素所在的第3列只有1，2兩個水平，其中第2水平出現(xiàn)6次，所以求和時只有K1，K2，求平均值時k1=K1/3，k2=K2/6。其它列的K1，K2，K3與k1，k2，k3的計算方法與例6-2一致。注2：計算極差時，應根據ki(i表示水平號)來計算，即R=max(ki)-min(ki)，不能根據Ki計算極差。注3：確定優(yōu)方案時，合成率是越高越好，因素A，B，D的優(yōu)水平可以根據K1，K2，K3或k1，k2，k3的大小順序取較大的Ki或ki所對應的水平，但是對于因素C，就不能根據K1，K2的大小來選擇優(yōu)水平，而是應根據k1，k2的大小來選擇優(yōu)水平。5.3正交試驗設計結果的方差分析法

能估計誤差的大小能精確地估計各因素對試驗結果影響的重要程度尤其適用于水平數(shù)大于等于3且要考慮交互作用的試驗5.3.1無重復等水平正交試驗方差分析

例5-8：某廠擬采用化學吸收法，用填料塔吸收廢氣中的SO2，為了使廢氣中SO2的深度達到排放標準，通過正交試驗對吸收工藝條件進行了模索，試驗的因素與水平如下表所示。需要考慮交互作用A×B，B×C。如果將A，B，C放在正交表L8（27）的1，2，4例，試驗結果（SO2摩爾分率，%）依次為0.15，0.25，0.03，0.02，0.09，0.16，0.19，0.08。試進行方差分析。(a=0.05）解：（1）列出正交表L8（27）和試驗結果。（2）計算離差平方和試驗號A1B2A×B3C4空列5

B×C6空列7摩爾分率*1001234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112152532916198K1K24552653267304651425534635245T=97SSj6.125136.125171.1253.12521.125105.1256.125（3）計算自由度（4）計算均方由于各因素和交互作用的的自由度為1，所以它們的均方應該等于它們各自的離差平方和，即MSA=SSA=6.125MSB=SSB=136.125MSA×B=SSA×B=171.125MSC=SSC=3.125MSB×C=SSB×C=105.125但誤差的均方為:比較發(fā)現(xiàn)MSA<

MSe

，MSC<MSe

，說明因素A，C對試驗結果的影響較小，為次要因素，所以可以將它們都歸入誤差，這樣誤差的離差平方和、自由度和均方都會隨之發(fā)生變化，即新誤差平方和:SSe△=SSe+SSA+SSC=27.250+6.125+3.125=36.500新誤差自由度：dfe△=dfe+dfA+dfC=2+1+1=4新誤差均方：（5）計算F值（6）F檢驗查得臨界值F0.05（1，4）=7.71，F(xiàn)0.01（1，4）=21.20所以對于給定顯著性水平a=0.05，因素B和交互作用A×B，B×C對試驗結果都有顯著影響（P<0.05）。（7）方差分析表差異源SSdfMSF顯著性

BA×BB×C136.125171.125105.125111136.125171.125105.12514.9218.7511.52***AC誤差e6.1253.12536.5027.25011429.125總和448.1257（8）優(yōu)方案的確定因素A，B優(yōu)水平搭配為A1B2，因素B，C優(yōu)水平搭配為B2C2。最后確定的優(yōu)方案為A1B2C2。A1A2B1B215+25=403+2=59+16=2519+8=27C1C2B1B215+9=243+19=2225+16=412+8=105.3.2設置重復的等水平正交試驗方差分析例5-9

下表是設置了r=3次重復的L16(45)正交試驗，請對結果作方差分析。試驗號列號試驗指標1(A)2(B)3(C)4(D)5123和1234567891011121314151611112222333344441234123412341234123421433412432112343412432121431234432121433412245.566.35.17878.46.57568.5724.566.56.54.87.48.57.18.56.37.34.56.58.56.52466.76.74.67.28.77.38.96.17.14.76.78.76.96.012.517.519.219.514.521.625.221.425.818.921.414.219.225.720.41(A)2(B)3(C)4(D)5K1K2K3K455.280.887.579.561.172.083.786.259.879.183.380.868.270.883.280.882.775.967.676.8T…=303SSj49.9933.4229.0113.549.65共48次試驗，每個因素的每個水平對應12個試驗結果

計算結果中，

為什么？

本例的正交試驗有重復，重復與重復之間的差異即重復誤差并沒有包括在各列平方和之內，因此，總平方和應等于各列平方和與重復誤差平方和的總和。設置重復的正交試驗在進行方差分析時，其誤差包括兩項：

1）空列平方和SSe1(包括被并入的因素列或交互列平方和)2）設置重復產生的誤差平方和SSe2結果表明，A、B、C、D對試驗指標影響均極顯著(P<0.01)。如果該試驗指標越大越好，則最優(yōu)因素水平組合為A3B4C3D3例5-9的方差分析表變異來源fSSMSF值臨界值ABCD誤差33333549.9933.4229.0113.5411.6616.6611.149.674.510.3350.48**33.76**29.30**13.67**F0.05(3,35)=2.88F0.01(3,35)=4.40總變異47137.625.3.3混合水平正交試驗的方差分析5.3.3.1混合水平正交試驗例5-10：需要做一個41×23試驗，其中A因素4水平，B、C、D因素2水平，并且需要考察A、B、C之間的交互作用A×B、A×C、B×C

這種正交試驗可以通過從標準正交表改造而來的混合正交表安排試驗。本例中A需要一個1個4水平列，B、C、D需要3個2水平列，A×B、A×C分別需要3個2水平列，B×C需要1個2水平列，共需要11列?？蛇x擇L16(41×212)

例5-10的的表頭設計因素ABA×BCA×CB×CD空列號1，2，345，6，789，10，11121314，15試驗號ABA×BCA×CB×CD試驗結果列號（1）4567891011121314151234567891011121314151611112222333344441122112211221122112211222211221111222211211222111122221122111122121212121212121212121212212121211212212112122121121221212121121212211221122112211221122121122112122121121221211212212112211212210.410.250.370.300.130.250.080.310.330.580.390.510.290.48