2024-2025學(xué)年福建省泉州市晉江一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省泉州市晉江一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.點(diǎn)P(?3,8,?5)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(3,?8,?5) B.(?3,8,5) C.(3,8,5) D.(?3,?8,5)2.已知直線l過(guò)點(diǎn)(4,5)，且一個(gè)方向向量為(?1,2)，則直線l的方程為(

)A.x+2y?14=0 B.x?2y+6=0 C.2x+y?13=0 D.2x?y?3=03.已知雙曲線C1過(guò)點(diǎn)A(?15,1)，且與雙曲線C2：A.x212?y24=1 B.4.已知直線l1：3x?4y+7=0與直線l2：6x?(m+1)y+1?m=0平行，則l1與l2A.1 B.2 C.3 D.45.已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠A1AB=∠A1A.3 B.2 C.5 6.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(4,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若A.x248+y216=1 B.7.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)AA.13 B.12 C.238.已知圓C：x2+y2+6x?4y+9=0關(guān)于直線ax+by+3=0對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)P(a,b)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則A.2764 B.2964 C.1932二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),cA.向量a與向量b的夾角為π6

B.c⊥(a?b)

C.向量a在向量b上的投影向量為(12,0,10.已知直線l：kx?y+(1?k)=0，圓C：(x+1)2+(y?2)A.l與圓C不一定存在公共點(diǎn)

B.圓心C到l的最大距離為5

C.當(dāng)l與圓C相交時(shí)，?34<k<0

D.當(dāng)k=?1時(shí)，圓C11.已知雙曲線C：y2a2?x2=1(a>0)的一條漸近線的方程為y=A.C的方程為3y2?x2=1

B.C的離心率為233

C.若點(diǎn)A為C的上支上的任意一點(diǎn)，P(2,0)，則|PA|+|AF2|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A(?2,?5)，B(0,1)兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．13.過(guò)雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交E于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則E的離心率為_(kāi)_____．14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，且該圓的圓心在這兩定點(diǎn)所在直線上.長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，點(diǎn)E在棱AB上，BF=2AE，F(xiàn)為C1D1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓M的圓心在直線y=?2x上，且圓M與直線x?y?5=0相切于點(diǎn)P(2,?3)．

(1)求圓M的方程；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程．16.(本小題15分)

如圖，已知在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD⊥CD，AB/?/CD，AB=AD=PD=2，CD=4，點(diǎn)E是棱PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PA上一點(diǎn)．

(1)證明：PA//平面BDE；

(2)求點(diǎn)F到平面BDE的距離；

(3)求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值．17.(本小題15分)

已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x?1)2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l18.(本小題17分)

離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,?,k,k≥3))為多面體M的所有與P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，Q2PQ3，…平面Qk?1PQk和平面QkPQ1為多面體M的所有以P為頂點(diǎn)的面.現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐19.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為23，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,53)．

(1)求E的方程；

(2)過(guò)F1且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)參考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.(x+1)13.514.12π

27215.解：(1)已知圓M的圓心在直線y=?2x上，且圓M與直線x?y?5=0相切于點(diǎn)P(2,?3)，

易知過(guò)點(diǎn)P(2,?3)且與直線x?y?5=0垂直的直線斜率為1，

故圓心M與切點(diǎn)連線方程為x+y+1=0，

聯(lián)立x+y+1=0y=?2x解得x=1y=?2，

所以圓M的圓心坐標(biāo)為(1,?2)，

所以圓M的半徑為|MP|=(2?1)2+(?3+2)2=2，

則圓M的方程為(x?1)2+(y+2)2=2；

(2)如圖，由(1)可知圓M的方程為(x?1)2+(y+2)2=2，

因?yàn)檫^(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為6，

所以圓心M到直線l的距離為d=2?(62)2=216.解：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(0,43,43)．

DB=(2,2,0),DE=(0,43,43)，

設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

則m⊥DBm⊥DE，則m?DB=0m?DE=0，

即2x+2y=043y+43z=0，

令x=1，得y=?1，z=1，

則m=(1,?1,1)．

又PA=(2,0,?2)，可得PA?m=0，

因?yàn)镻A?平面BDE，所以PA//平面BDE．

(2)因?yàn)镻A//平面BDE，

所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離，

易知AB=(0,2,0)，

則點(diǎn)A到平面BDE的距離為|m?AB||m|=23=217.解：(1)由圓M：(x+1)2+y2=1，可知圓心M(?1,0)；圓N：(x?1)2+y2=9，圓心N(1,0)，半徑3．

設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，

∵動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+(3?R)=4，

而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

∴a=2，c=1，b2=a2?c2=3．

∴曲線C的方程為x24+y23=1(去掉點(diǎn)(?2,0))

(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)，

由于|PM|?|PN|=2R?2≤3?1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為(2,0)，R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為(x?2)2+y2=4．

①l的傾斜角為90°，直線l的方程為x=0，|AB|=23．

②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，

設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q18.解：(1)根據(jù)離散曲率的定義得：ΦP=1?12π(∠APB+∠BPC+∠APC)，

ΦA(chǔ)=1?12π(∠PAB+∠BAC+∠PAC)，ΦB=1?12π(∠PBA+∠ABC+∠PBC)，

ΦC=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)，

所以ΦP+ΦA(chǔ)+ΦB+ΦC=4?12π×4π=2；

(2)①因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC，且AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，

所以BC⊥PC，

所以ΦC=1?12π(∠PCA+∠BCA+∠PCB)=1?12π(∠PCA+π2+π2)=38，

所以∠PCA=π4，所以PA=AC=BC=2，

如圖，將三棱錐P?ABC補(bǔ)成正方體ADBC?PEFM，

因?yàn)锳B//PF，連結(jié)FC，所以異面直線PC與AB所成的角為∠FPC或其補(bǔ)角，

而△PFC是等邊三角形，所以∠FPC=60°，cos∠FPC=cos60°=12，

所以直線PC與直線AB所成角的余弦值為12；

過(guò)點(diǎn)Q作QG//AB于點(diǎn)G，連結(jié)CG，

因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，

所以∠GCQ為直線CQ與平面