2024年中考模擬試卷數(shù)學(xué)（湖南長沙卷）

2024年中考第三次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．年是龍年，本次春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”，請問的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2．把點(diǎn)向上平移3個單位后再關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．4．“致中和，天地位焉，萬物育焉．”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)志等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列大學(xué)的?；請D案是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．餐桌邊的一蔬一飯，舌尖上的一飲一酌，實(shí)屬來之不易，舌尖上的浪費(fèi)讓人觸目驚心．據(jù)統(tǒng)計，中國每年浪費(fèi)的食物總量折合糧食約萬噸．將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（

）A．調(diào)查“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)是4C．“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件D．甲、乙兩名射擊運(yùn)動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差分別為，則乙的成績比甲的穩(wěn)定7．如圖，直線，線段交，于D，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交直線于點(diǎn)C，若，則（

）A．70° B．100° C．110° D．160°8．如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，作直線分別交、于點(diǎn)P、Q，則的長是（）A．1 B． C． D．10．中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年．1至9這9個數(shù)字的縱式和橫式的表示數(shù)碼如下圖所示，算籌記數(shù)的方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式…，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了．根據(jù)上述材料，的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式有意義，則a的取值范圍為．12．方程的解是．13．一個不透明的盒子中有紅黃兩種顏色的小球個，它們除顏色外，其他都相同．小婷從中隨機(jī)抽取一個小球后又放回，經(jīng)過反復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)從中抽取的小球中紅色小球和黃色小球的次數(shù)的比穩(wěn)定在左右，那么估計紅色小球的個數(shù)為．14．如圖，的半徑為是的內(nèi)接三角形，半徑于點(diǎn)．當(dāng)時，的長是．15．關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是．16．如圖，已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點(diǎn)．若一次函數(shù)的值隨值的增大而增大，則的取值范圍是．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：．18．先化簡，再求值：，其中．19．為優(yōu)化社區(qū)風(fēng)貌，提升“夜長沙”氣質(zhì)，某小區(qū)購進(jìn)一款新型路燈，如圖是路燈架造型示意圖．已知支撐臂AB與支撐柱的夾角，支撐臂，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求B點(diǎn)與支撐柱的距離；(2)若cm，支撐臂，求路燈C離地面的距離．20．某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生，開展了“書面作業(yè)完成時間”問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：組別時間（分鐘）頻數(shù)A6B14CD8E4請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：(1)頻數(shù)分布統(tǒng)計表中的______；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)小明說：“我的書面作業(yè)完成時間是此次問卷調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”那么小明書面作業(yè)完成時間在哪個范圍內(nèi)？(4)若E組有兩名男生和兩名女生，從中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生了解情況，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.21．如圖，在中，，是的平分線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．22．為增加校園綠化面積，某校計劃在林蔭道邊栽種甲、乙兩種樹苗．已知購買棵甲種樹苗和棵乙種樹苗共花費(fèi)元，購買棵乙種樹苗比棵甲種樹苗多花費(fèi)元．(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元；(2)若購買甲、乙兩種樹苗共棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不少于甲種樹苗數(shù)量的倍，則購買甲、乙兩種樹苗至少要花費(fèi)多少線？請寫出購買方案．23．如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，延長交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)如圖，若點(diǎn)恰好落在對角線上，求的值；(3)若，求線段的長．24．定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若平行四邊形ABCD是圓的“奇妙四邊形”，則四邊形ABCD是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，，，，且．當(dāng)?shù)拈L度最小時，求的值．25．對某一個函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時，（為實(shí)數(shù)，且，我們稱這個函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函數(shù)”．(1)反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由：(2)若一次函數(shù)在上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含的代數(shù)式表示）；(3)若拋物線在上是“民主函數(shù)”，且在上的最小值為，設(shè)拋物線與直線交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若的內(nèi)心為，外心為，試求的長．

2024年中考第三次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．年是龍年，本次春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”，請問的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相反數(shù)的概念：絕對值相等，正負(fù)號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)，的相反數(shù)是．【詳解】且與符號相反是的相反數(shù)．故選：B．2．把點(diǎn)向上平移3個單位后再關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先按照平移規(guī)律得到，再按關(guān)于原點(diǎn)對稱得到即可．【詳解】解：把點(diǎn)向上平移3個單位后得到，再關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的平移和關(guān)于原點(diǎn)對稱，熟練掌握規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方、冪的乘等知識點(diǎn)，根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方、冪的乘方逐項判斷即可．【詳解】解：A.，故該選項錯誤，不符合題意；B.，故該選項錯誤，不符合題意；

C.，故該選項錯誤，不符合題意；

D.，故該選項正確，符合題意．故選D．4．“致中和，天地位焉，萬物育焉．”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)志等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列大學(xué)的?；請D案是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形是關(guān)于對稱軸兩邊的圖形折疊后重合．【詳解】解：A．該圖像使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故本選項符合題意；B.該圖像不能使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故本選項不符合題意；C.該圖像不能使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故本選項不符合題意；D.該圖像不能使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故本選項不符合題意．故選：A．5．餐桌邊的一蔬一飯，舌尖上的一飲一酌，實(shí)屬來之不易，舌尖上的浪費(fèi)讓人觸目驚心．據(jù)統(tǒng)計，中國每年浪費(fèi)的食物總量折合糧食約萬噸．將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義：將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于時，是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：A．6．下列說法正確的是（

）A．調(diào)查“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)是4C．“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件D．甲、乙兩名射擊運(yùn)動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差分別為，則乙的成績比甲的穩(wěn)定【答案】A【分析】本題考查了統(tǒng)計與概率的有關(guān)知識，難度不大．利用調(diào)查方式的選擇、中位數(shù)的定義、事件可能性大小判定及方差的意義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、調(diào)查“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式，故此選項符合題意；B、數(shù)據(jù)3，5，4，1，2的中位數(shù)是3，故此選項不符合題意；C、“清明時節(jié)雨紛紛”是隨機(jī)事件，故此選項不符合題意；D、甲、乙兩名射擊運(yùn)動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差，則甲的成績比乙的穩(wěn)定，故此選項不符合題意．故選：A．7．如圖，直線，線段交，于D，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交直線于點(diǎn)C，若，則（

）A．70° B．100° C．110° D．160°【答案】C【分析】利用垂直定義可得的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得，再利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)即可解答．【詳解】解：∵,∴,∵,∴,∵,∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直定義、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn),明確各角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，，∴，即，∵，∴，又∵在中，是圓心角且所對的弧是，是圓周角且所對的弧也是，∴，即的度數(shù)是．故選：A．9．如圖，在中，，，，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，作直線分別交、于點(diǎn)P、Q，則的長是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，根據(jù)勾股定理求得，推得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)正切的定義即可得到．【詳解】∵以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)D，∴，在中，，∴，∵分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，作直線分別交、于點(diǎn)P、Q，即垂直平分，∴，，在中，，在中，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理等，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年．1至9這9個數(shù)字的縱式和橫式的表示數(shù)碼如下圖所示，算籌記數(shù)的方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式…，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了．根據(jù)上述材料，的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算，然后結(jié)合題意，根據(jù)圖示表示出625即可求解．【詳解】解：，根據(jù)題意，6、2、5，表示如下：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式有意義，則a的取值范圍為．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式及分式有意義的條件列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式及分式有意義的條件，根據(jù)題意得出關(guān)于a的不等式是解題的關(guān)鍵．12．方程的解是．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，移項合并得：，檢驗：當(dāng)時，，∴分式方程的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．13．一個不透明的盒子中有紅黃兩種顏色的小球個，它們除顏色外，其他都相同．小婷從中隨機(jī)抽取一個小球后又放回，經(jīng)過反復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)從中抽取的小球中紅色小球和黃色小球的次數(shù)的比穩(wěn)定在左右，那么估計紅色小球的個數(shù)為．【答案】【分析】本題考查利用頻率估計概率，根據(jù)利用頻率估計紅色小球和黃色小球的次數(shù)的比穩(wěn)定在左右，列方程求解可得．解題的關(guān)鍵是理解：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當(dāng)試驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．也考查了分式方程的應(yīng)用．【詳解】解：設(shè)紅色小球的個數(shù)為，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴估計紅色小球的個數(shù)為．故答案為：．14．如圖，的半徑為是的內(nèi)接三角形，半徑于點(diǎn)．當(dāng)時，的長是．【答案】【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合，根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，半徑于，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵的半徑為，∴，∵是的內(nèi)接三角形，，∴，∴是等腰直角三角形，，，，∵半徑于，∴，故答案為：．15．關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是．【答案】【分析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式小于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．【詳解】解：∵一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的判別式．16．如圖，已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于點(diǎn)．若一次函數(shù)的值隨值的增大而增大，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．如圖，過點(diǎn)分別作軸與軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)和點(diǎn)，先確定點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)，由于一次函數(shù)的值隨值的增大而增大，則一次函數(shù)圖像必過第一、三象限，所以點(diǎn)只能在點(diǎn)與點(diǎn)之間，于是可確定的取值范圍．理解反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)的交點(diǎn)確定方法及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)分別作軸與軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)和點(diǎn)，把代入，得：；把代入，得，∴，，B，∵一次函數(shù)的值隨值的增大而增大，∴點(diǎn)只能在點(diǎn)與點(diǎn)之間，∴的取值范圍是．故答案為：．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值化簡，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪的運(yùn)算法則；根據(jù)絕對值化簡，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪的運(yùn)算法則解題即可．【詳解】解：．18．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】此題考查了分式的化簡求值，根據(jù)分式四則混合運(yùn)算法則化簡分式，再把字母的值代入計算即可．【詳解】當(dāng)時，原式．19．為優(yōu)化社區(qū)風(fēng)貌，提升“夜長沙”氣質(zhì)，某小區(qū)購進(jìn)一款新型路燈，如圖是路燈架造型示意圖．已知支撐臂AB與支撐柱的夾角，支撐臂，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求B點(diǎn)與支撐柱的距離；(2)若cm，支撐臂，求路燈C離地面的距離．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，，，∴，∴，∴B點(diǎn)與支撐柱的距離為；（2）如圖，過作交于，過作于，過作于，過作于，則，四邊形，四邊形為矩形，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．∴路燈C離地面的距離為．20．某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生，開展了“書面作業(yè)完成時間”問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表：組別時間（分鐘）頻數(shù)A6B14CD8E4請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：(1)頻數(shù)分布統(tǒng)計表中的______；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)小明說：“我的書面作業(yè)完成時間是此次問卷調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”那么小明書面作業(yè)完成時間在哪個范圍內(nèi)？(4)若E組有兩名男生和兩名女生，從中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生了解情況，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出抽取的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率.【詳解】（1）解：抽取的總?cè)藬?shù)（人），，故答案為：；（2）如圖；

（3）因為50個數(shù)的中位數(shù)是第25、26個數(shù)的平均數(shù)，第25、26個數(shù)在B組，所以小明書面作業(yè)完成時間在范圍內(nèi)；（4）所畫樹狀圖如圖所示，

總共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有8種，所以抽取的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率．21．如圖，在中，，是的平分線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵是的平分線，，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴的長為．22．為增加校園綠化面積，某校計劃在林蔭道邊栽種甲、乙兩種樹苗．已知購買棵甲種樹苗和棵乙種樹苗共花費(fèi)元，購買棵乙種樹苗比棵甲種樹苗多花費(fèi)元．(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元；(2)若購買甲、乙兩種樹苗共棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不少于甲種樹苗數(shù)量的倍，則購買甲、乙兩種樹苗至少要花費(fèi)多少線？請寫出購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)甲種樹苗每棵的價格為元，乙種樹苗每棵的價格為元，購買甲、乙兩種樹苗的費(fèi)用為元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：甲種樹苗每棵的價格為元，乙種樹苗每棵的價格為元．（2）設(shè)購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，購買甲、乙兩種樹苗的費(fèi)用為元，根據(jù)題意得：，解得：，購買甲、乙兩種樹苗需要花費(fèi)：，∵∴隨的增大而減小，當(dāng)時，取得最小值，此時（元），則（棵），答：購買甲、乙兩種樹苗至少要花費(fèi)元錢，此時購買甲種樹苗棵，乙種樹苗棵．23．如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，延長交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)如圖，若點(diǎn)恰好落在對角線上，求的值；(3)若，求線段的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，由折疊可知：，∴，∴；（2）解：∵四邊形為矩形，，，∴，，，由（1）知：，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴；（3）∵點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，由（2）知：當(dāng)點(diǎn)恰好落在對角線上時，，∵四邊形為矩形，，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，設(shè)的延長線交于點(diǎn)，如圖3，∵由，∴，∴，即，∴，由（1）可知：，設(shè)，則，∴，在中，，∴，解得：，∴．24．定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若平行四邊形ABCD是圓的“奇妙四邊形”，則四邊形ABCD是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3