《綜合法與分析法》參考教案

綜合法與分析法教學(xué)目的：1掌握綜合法、分析法證明不等式；2熟練掌握已學(xué)的重要不等式；3增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力教學(xué)重點(diǎn)：綜合法、分析法教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用一、復(fù)習(xí)引入：1．重要不等式：如果2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么3公式的等價(jià)變形：ab≤，ab≤（）24．≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論二、講解新課：（一）1．綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法2．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：3．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法（二）1分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：3．分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因4．分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有……這只需要證明命題為真，從而又有…………這只需要證明命題A為真而已知A為真，故命題B必為真例1：已知是正數(shù)，且，求證：轉(zhuǎn)化嘗試，就是不斷尋找并簡(jiǎn)化欲證不等式成立的充分條件，到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止.其邏輯關(guān)系是：證明：∵∴要證,只要證,只要證,只要證.∵,∴即得證.注：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.對(duì)于思路不明顯,感到無(wú)從下手的問(wèn)題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對(duì)不等式做這樣或那樣的變形,分析時(shí)貴在變形,不通思變,變則通聯(lián)想嘗試，就是由已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質(zhì)做適當(dāng)變形，推導(dǎo)出要求證明的不等式.其邏輯關(guān)系是：法二：證明：∵∴,,∴,∴法三注：綜合法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)因索果.基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時(shí)貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。例2.（P23例1）已知是不全相等的正數(shù),求證證明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因?yàn)閍，b，c不全相等，所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=”號(hào)∴法二：法三：法四：法五：例3（P23例2）.已知，且，求證改變:同樣的條件,怎樣證明:證明：即，同理……因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)，得因?yàn)闀r(shí)，取等號(hào)，所以原式在時(shí)取等號(hào)變式：已知，且，求證例4、（P24例3）求證證（略）四、課堂練習(xí)：1．設(shè)a,b,cR，1求證：2求證：3若a+b=1,求證：證：1∵∴∴2同理：，三式相加：3由冪平均不等式：∴2．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),顯然成立(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bc-ad)2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abc