2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量的減法課時分層作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE1-課時分層作業(yè)(十五)向量的減法(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))等于()A．eq\o(AB,\s\up8(→)) B．eq\o(BA,\s\up8(→))C．eq\o(CD,\s\up8(→)) D．eq\o(DB,\s\up8(→))A[eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→)).]2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→)) D．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0C[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，A正確；∵eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，B正確；∵eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(DB,\s\up8(→))，C錯誤；∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\o(CB,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0，D正確．]3.如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，AC，AB的中點，則()A．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝0B．eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝0C．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＝0D．eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\o(FC,\s\up8(→))＝0A[eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))＝0.]4．在邊長為1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))|的值為()A．1 B．2C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)D[如圖，作菱形ABCD，則|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(DB,\s\up8(→))|＝eq\r(3).]5．若O，E，F(xiàn)是不共線的隨意三點，則以下各式中成立的是()A．eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) B．eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))C．eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))＋eq\o(OE,\s\up8(→)) D．eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OE,\s\up8(→))[答案]B二、填空題6．已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，若|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝5，且∠AOB＝90°，則|a－b|＝________．13[∵|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝5，∠AOB＝90°，∴|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝13.∵eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，∴a－b＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝13.]7.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O點，則eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝________．[答案]eq\o(CA,\s\up8(→))8．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b所在直線的夾角是______．30°[設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則a－b＝eq\o(BA,\s\up8(→))，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|，∴△OAB是等邊三角形，∴∠BOA＝60°.∵eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b，且在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA.∴a與a＋b所在直線的夾角為30°.]三、解答題9.如圖所示，在正五邊形ABCDE中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝c，eq\o(DE,\s\up8(→))＝d，eq\o(EA,\s\up8(→))＝e，求作向量a－c＋b－d－e.[解]a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))－(eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EA,\s\up8(→)))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)).如圖，連接AC，并延長至點F，使CF＝AC，則eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→)).所以eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，即為所求的向量a－c＋b－d－e.10.如圖所示，已知在矩形ABCD中，AD＝4eq\r(3)，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BD,\s\up8(→))＝c.試求|a＋b＋c|.[解]a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)).延長BC至E，使CE＝BC，連接DE.由于eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BE,\s\up8(→))，∴|a＋b＋c|＝|eq\o(BE,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝8eq\r(3).1．平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O，若eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，則四邊形ABCD的形態(tài)是()A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．菱形B[因為eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)).即eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，又A，B，C，D四點不共線，所以|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|，且BA∥CD，故四邊形ABCD為平行四邊形．]2．若|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝8，則|eq\o(BC,\s\up8(→))|的取值范圍是()A．[3，8]B．(3，8)C．[3，13]D．(3，13)C[∵|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))|，且||eq\o(AC,\s\up8(→))|－|eq\o(AB,\s\up8(→))||≤|eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))|≤|eq\o(AC,\s\up8(→))|＋|eq\o(AB,\s\up8(→))|.∴3≤|eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))|≤13.∴3≤|eq\o(BC,\s\up8(→))|≤13.]3．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，且|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|，則|eq\o(AM,\s\up8(→))|＝________．2[以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，由向量加減法幾何意義可知，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∵|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|，又|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，M是線段BC的中點，∴|eq\o(AM,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝2.]4．如圖，在正六邊形ABCDEF中，與eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))相等的向量有________．①eq\o(CF,\s\up8(→))；②eq\o(AD,\s\up8(→))；③eq\o(BE,\s\up8(→))；④eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))；⑤eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))；⑥eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))；⑦eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→)).①④[因為四邊形ACDF是平行四邊形，所以eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))，因為四邊形ABDE是平行四邊形