湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題14思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題14思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】 1【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】 4【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】 8【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】 12【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有、兩根木條，長(zhǎng)度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)、兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm2．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根長(zhǎng)為，另一根長(zhǎng)為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔（圓孔直徑忽略不計(jì)，抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是．3．（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有不重合的四個(gè)點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，，平分，則等于．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則的度數(shù)是．2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎渚€是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】例題：（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長(zhǎng)度是_________；②若，，求線段的長(zhǎng)度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長(zhǎng)度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)若線段，，則線段的長(zhǎng)為(2)若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，求的長(zhǎng)；(3)若原題中改為點(diǎn)在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長(zhǎng)．2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校?）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn),若，，求的長(zhǎng)．（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．2．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．或 D．以上都不對(duì)2．（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）已知，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B．C．或 D．或3．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或二、填空題4．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知線段，在直線上作線段，使得，若D是線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．5．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的三等分點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．6．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，的值為．三、解答題7．（2023春·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段上的兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，若．

(1)求線段的長(zhǎng)度．(2)若是線段上一點(diǎn)，滿足，求線段的長(zhǎng)度．8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，，是的平分線．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數(shù)．9．（2022秋·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即，，求MN的長(zhǎng)；③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即，，則MN＝___________；10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）操作與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師將一副三角板按圖1所示的位置擺放，分別在∠AOC，∠BOD的內(nèi)部作射線OM，ON，然后提出如下問(wèn)題：先添加一個(gè)適當(dāng)條件，再求∠MON的度數(shù)．(1)特例探究：“興趣小組”的同學(xué)添加了：“若OM，ON分別平分∠AOC，∠BOD”，畫出如圖2所示圖形．小組3號(hào)同學(xué)佳佳的做法：由于圖中∠AOC與∠BOD的和為90°，所以我們?nèi)菀椎玫健螹OC與∠NOD的和，這樣就能求出∠MON的度數(shù)．請(qǐng)你根據(jù)佳佳的做法，寫出解答過(guò)程．(2)特例探究：“發(fā)現(xiàn)小組”的同學(xué)添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”，畫出如圖3所示圖形．小組2號(hào)同學(xué)樂(lè)樂(lè)的做法：設(shè)∠AOC的度數(shù)為x°，我們就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度數(shù)，這樣就能求出∠MON的度數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)樂(lè)樂(lè)的做法，寫出解答過(guò)程．(3)類比拓展：受“興趣小組”和“發(fā)現(xiàn)小組”的啟發(fā)，“創(chuàng)新小組”的同學(xué)添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”．請(qǐng)你直接寫出∠MON的度數(shù)．

專題14思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】 1【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】 4【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】 8【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】 12【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【考點(diǎn)一分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有、兩根木條，長(zhǎng)度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)、兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．【答案】3或21【分析】假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合，分兩種情況如圖：①不在上時(shí)，，②在上時(shí)，，分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合如圖，設(shè)較長(zhǎng)的木條為，較短的木條為，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，，①如圖1，不在上時(shí)，（cm），②如圖2，在上時(shí)，（cm），綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)間的距離是21cm或3cm，故答案為：3或21．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段的中點(diǎn)定義，解題的關(guān)鍵是在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)是（

）A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于點(diǎn)的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：∵線段，為的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)如圖1所示時(shí)，，；當(dāng)點(diǎn)如圖2所示時(shí)，∴線段的長(zhǎng)為1cm或5cm.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．2．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，有兩根木條，一根長(zhǎng)為，另一根長(zhǎng)為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔（圓孔直徑忽略不計(jì)，抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是．【答案】或【分析】分兩種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)同側(cè)時(shí)，

（厘米）；（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，

（厘米）．所以兩根木條的小圓孔之間的距離是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，正確畫圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．3．（2023秋·江西吉安·七年級(jí)?？计谀┰谕恢本€上有不重合的四個(gè)點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【答案】6或10或16【分析】由于沒(méi)有圖形，故四點(diǎn)相對(duì)位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫圖分別求解即可．【詳解】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

，，，，II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

，III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

，點(diǎn)A、D重合，不合題意，IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

，點(diǎn)A、D重合，不合題意，綜上所述：的長(zhǎng)為6或10或16故答案為：6或10或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論、利用線段之間的和差關(guān)系得到的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)二分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，，平分，則等于．【答案】或【分析】分兩種情況：利用角平分線的定義即可求解．【詳解】解：當(dāng)如圖所示時(shí)：

平分，，，，當(dāng)如圖所示時(shí)：

平分，，，．故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義，利用分類討論解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)在的外部時(shí)，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，

，，，；②如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，

，，，；綜上可知，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差計(jì)算，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是【答案】或/50或30【分析】分兩種情況：射線在的上方和射線在的下方，根據(jù)角平分線的定義和角的和差分別計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；如圖2，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義和角的和差計(jì)算，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮阎渚€是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【答案】或【分析】根據(jù)三等分線的定義可得或，畫出圖形，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵射線是的三等分線，∴或，當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線有兩條．【考點(diǎn)三整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】例題：（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長(zhǎng)度是_________；②若，，求線段的長(zhǎng)度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長(zhǎng)度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求解；②，即可求解；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：4；②∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，由（1）可得：；當(dāng)點(diǎn)C在A左邊時(shí)，，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義，具有分類討論的思想．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)若線段，，則線段的長(zhǎng)為(2)若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，求的長(zhǎng)；(3)若原題中改為點(diǎn)在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，可得，，再由，即可求解；（2）由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，可得，，再由，即可求解；（3）分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：，，，又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；故答案為：；（2）解：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校?）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn),若，，求的長(zhǎng)．（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根據(jù)M，N分別是，的中點(diǎn)，即得，故；（2）①由M，N分別是，的中點(diǎn)，知，即得，故；②由，知，即得,故；【詳解】解：（1）M，N分別是，的中點(diǎn)故答案為：6（2）①M(fèi)，N分別是，的中點(diǎn)故答案為：②故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【考點(diǎn)四整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分線的定義求得和的度數(shù)，再求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論，即不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于的度數(shù)的一半．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，依次表示出，，，，最后根據(jù)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)樯渚€平分所以因?yàn)樗?/p>

（2）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)樯渚€平分所以因?yàn)樗裕?）設(shè)，則，，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗越獾靡驗(yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，余角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個(gè)角的平分線將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,∴根據(jù)巧分線定義可得是這個(gè)角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．（3）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．或 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】分點(diǎn)在點(diǎn)的左邊和點(diǎn)的右邊兩種情況，分別畫出圖形，結(jié)合線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖所示，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，如圖所示，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差關(guān)系，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）已知，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】分兩種情況畫出圖形，根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形求出的度數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)在的外部時(shí)，如圖所示：∵，平分，∴，∵，∴；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖所示：∵，平分，∴，∵，∴；綜上分析可知，的度數(shù)為或，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考出了角平分線的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論．3．（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知線段，在直線上作線段，使得，若D是線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】1或3【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點(diǎn)C在線段上，可計(jì)算出的長(zhǎng)，再由D是線段的中點(diǎn)，即可得出答案；②在線段的延長(zhǎng)線上，可計(jì)算出的長(zhǎng)，再由D是線段的中點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵，，∴，∵D是線段的中點(diǎn)，∴；②如圖2，∵，，∴，∵D是線段的中點(diǎn)，∴．∴線段的長(zhǎng)為1或3．故答案為：1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，正確理解題目并進(jìn)行分情況進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若線段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的三等分點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段三等分點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：是線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，如圖，；②當(dāng)時(shí)，如圖，．所以線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，的值為．【答案】/度/度或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義計(jì)算即可；（2）①根據(jù)三分線的定義計(jì)算即可；②根據(jù)三分線的定義可得，由旋轉(zhuǎn)得，然后分兩種情況：當(dāng)是的三分線，且時(shí)；當(dāng)是的三分線，且時(shí)，分別求出和的值即可．【詳解】（1）解：∵，則是的一條三分線．∵∴,故答案為：（2）①∵，是的兩條三分線，，∴，故答案為：；②∵，，是的兩條三分線，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，分兩種情況：當(dāng)是的三分線，且時(shí)，可得，∴，∴，即；當(dāng)是的三分線，且時(shí)，可得，∴，即；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類型的問(wèn)題，主要考查了角的計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握角的三分線的定義，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用，分類時(shí)不能重復(fù)，也不能遺漏．三、解答題7．（2023春·云南楚雄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段上的兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，若．

(1)求線段的長(zhǎng)度．(2)若是線段上一點(diǎn)，滿足，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)18(2)6或10【分析】（1）設(shè)，則，則，根據(jù)中點(diǎn)可得，根據(jù)，列出方程求解即可；（2）先求出，．再分以下種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．【詳解】（1）解：設(shè)，則．是的中點(diǎn)，．，由題意得，解得，．（2）解：由（1）可知，．分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，．綜上所述，線段的長(zhǎng)度為6或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段之間的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和題目所給數(shù)量關(guān)系，得出．8．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，，是的平分線．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度數(shù)，進(jìn)而由角平分線得到度數(shù)，根據(jù)可得度數(shù)；（2）由角平分線得出，，繼而由得出結(jié)論．（3），結(jié)合已知和可求，再由，再根據(jù)是的一條三等分線，分兩種情況來(lái)討論，即可解答．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，；答：的度數(shù)為．（2）解：是的平分線．，是的平分線，，，，答：的度數(shù)為．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，當(dāng)，，；當(dāng)，，【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和與差，能根據(jù)圖形確定所求角和已知各角的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即，，求MN的長(zhǎng)；③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即，，則MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得CM=A