（講評(píng)用卷）2024年河南洛陽(yáng)二模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁(yè)（共頁(yè)）2024年河南洛陽(yáng)二?！?shù)學(xué)全卷總分:120分考試時(shí)間:100分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。1.下列各數(shù)中最大的是（）A．﹣5 B．0C．﹣1 D．

51.D【解析】∵﹣5＜﹣1＜0

＜5，∴最大的數(shù)是

52.榫卯是古代中國(guó)建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國(guó)工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，如圖是某個(gè)部件“卯”的示意圖，它的俯視圖是（）2.B3.2024年清明節(jié)假期，洛陽(yáng)地鐵客流刷新歷史最高紀(jì)錄，4月5日地鐵日客運(yùn)量54.32萬(wàn)人次，創(chuàng)歷史新高．?dāng)?shù)據(jù)“54.32萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．54.32×104 B．5.432×104C．5.432×105 D．5.432×1063.C【解析】54.32萬(wàn)＝543200＝5.432×105.4.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若∠1＝155°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°4.D【解析】如圖，∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝35°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝35°+25°＝60°．5.下列計(jì)算，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3﹣a2＝a B．(3a)2＝9a2C．(a+b)2＝a2+b2 D．a(chǎn)6÷a2＝a35.B【解析】A.不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故錯(cuò)誤，不符合題意；B.(3a)2＝9a2，正確，符合題意；C.(a+b)2＝a2+2ab+b2，故錯(cuò)誤，不符合題意；D.a6÷a2＝a4，故錯(cuò)誤，不符合題意．6.不等式組

x?A．x＜5 B．1≤x＜5C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣16.C【解析】x?2＜3①3x+1≥2x②，解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥7.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥3 B．m＞3C．m≤3 D．m＜37.C【解析】根據(jù)題意，得b2-4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，解得m≤3.8.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC，BD，則

ACBDA．

12

B．

2C．

32

D．

8.D【解析】如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD

=12∠ABC＝30°，∴BO

=3AO，∵

AOB9.元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）A．x240B．x240C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）9.D【解析】∵慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，∴快馬追上慢馬時(shí)，慢馬行了（x+12）天．根據(jù)題意得，240x＝150（x+12）．10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點(diǎn)，

CD=2，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），正方形DPEF的面積為S，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，圖象如圖②所示，則線段ABA．6 B．8C．32

D．10.A【解析】如圖所示，當(dāng)S＝6時(shí)，DP

=6，∵∠C＝90°，CD

=2，∴CP＝2，即BC＝2，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，6)，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)，∴設(shè)拋物線的解析式為S＝a(t﹣4)2+2（a≠0），∴6＝4a+2，解得，a＝1，∴s＝(t﹣4)2+2．當(dāng)s＝18時(shí)，18＝(t﹣4)2+2，解得t1＝0（不合題意，舍去），t2＝8，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為8，∴AB＝8﹣2＝二、填空題（每小題3分，共15分）11.若式子

x?5x有意義，則x的取值范圍11.x≥5【解析】由題意得x﹣5≥0且x≠0，解得x≥5.12.計(jì)算

a2a+1?12.1【解析】a2a+13.某班準(zhǔn)備從《歌唱祖國(guó)》、《我的祖國(guó)》、《走進(jìn)新時(shí)代》、《十送紅軍》四首歌曲中選擇兩首進(jìn)行排練，參加即將舉辦的“建國(guó)七十五周年”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是

．13.1【解析】設(shè)《歌唱祖國(guó)》、《我的祖國(guó)》、《走進(jìn)新時(shí)代》、《十送紅軍》分別對(duì)應(yīng)A、B、C、D，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示，可得一共有12種等可能的結(jié)果，其中該班恰好選中前面兩首歌曲的可能有2種，∴該班恰好選中前面兩首歌曲的概率為

21214.如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠ACD＝120°，CD＝23，則圖中陰影部分的面積為

.（結(jié)果用含π的式子表示）．14.2【解析】如圖，連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴∠DCO＝90°，∵∠ACD＝120°，AO=CO，∴∠A＝∠OCA＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC=CDOC=tan60°，CD＝23，∴

23OC=3，解得OC＝2，∴陰影部分的面積＝S△OCD15.矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交直線BC于點(diǎn)F（旋轉(zhuǎn)角為α，0°＜α＜180°），當(dāng)點(diǎn)F、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，線段BF的長(zhǎng)為

．15.1或9【解析】如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在DF上時(shí)，連接AF，∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），∴BF＝EF，設(shè)BF＝EF＝x，則CF＝5﹣x，由旋轉(zhuǎn)得，AE＝AB＝3，∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AD＝5，∴DE=AD2?AE2=4，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，∴(5﹣x)2+32＝(x+4)2，解得x＝1，∴BF＝1；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在FD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，EF＝BF，DE＝4，設(shè)EF＝BF＝a，則DF＝a﹣4，CF＝a﹣5，∴（a﹣5）2+32＝（a﹣4）2，解得a＝9，∴BF＝9，綜上所述，

答案圖①

答案圖②三、解答題（本大題共8小題，共75分）16.（1）計(jì)算：

|?（2）化簡(jiǎn)：（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）．16.解：（1）

|

=3

=3（2）（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）

＝4a2﹣b2﹣a2+3ab

＝3a2﹣b2+3ab．17.我市某校為了解九年級(jí)學(xué)生體育備考情況，對(duì)全校九年級(jí)240名男生進(jìn)行了體育測(cè)試，并隨機(jī)抽取甲、乙兩個(gè)班（兩班男生人數(shù)相同）各10名男生的跳繩測(cè)試成績(jī)進(jìn)行整理、描述、分析．【收集數(shù)據(jù)】甲、乙兩班10名男生的跳繩成績(jī)（單位：次）如下：甲：135

149

198

150

160

123

155

160

137

186乙：100

132

133

146

146

152

164

173

197

210【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計(jì)量．統(tǒng)計(jì)量班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲155.3152.5b乙155.3a146根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）表格中的a＝

，b＝

；（2）綜合上表中的統(tǒng)計(jì)量，你認(rèn)為哪一個(gè)班的男生成績(jī)較好，并說(shuō)明理由；（3）洛陽(yáng)市2024年中招體育考試九年級(jí)終結(jié)性評(píng)價(jià)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：跳繩男子滿(mǎn)分標(biāo)準(zhǔn)為150次，估計(jì)該校本次測(cè)試成績(jī)滿(mǎn)分的男生人數(shù)．17.解：（1）149，160；【解法提示】（1）乙班10名男生的跳繩成績(jī)按從小到大排序?yàn)?00

132

133

146

146

152

164

173

197

210，∵中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為146和152，∴中位數(shù)a

=146+1522=149，∵甲班10名男生的跳繩成績(jī)中，160出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴（2）甲班成績(jī)較好，∵甲、乙兩班樣本的平均數(shù)相同，但甲班的中位數(shù)均高于乙班，∴甲班成績(jī)較好．（3）

240×答：該校滿(mǎn)分人數(shù)約為132人．18.已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：如圖，以點(diǎn)O′為圓心，OP為直徑作⊙O′交⊙O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接OP，PE，PF；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，求證：PE，PF是⊙O的切線；（3）在（1）（2）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上（點(diǎn)D不與E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合），且∠EPF＝50°，則∠EDF的度數(shù)為

．18.解：（1）如圖①即為所作；答案圖①（2）證明：如圖②，連接OE，OF，∵OP是⊙O′的直徑，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∵OE、OF為⊙O的半徑，∴PE，PF是⊙O的切線；答案圖②（3）65°或115°；【解法提示】如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧EF上時(shí)，連接DE、DF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF+∠EPF＝180°，∵∠EPF＝50°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF

=12∠EOF＝65°；如圖④，當(dāng)D′在劣弧EF上時(shí)，連接D'E、D'F，∵∠ED′F+∠EDF＝180°，∴∠ED′F＝180°﹣65°＝115°，綜上，∠EDF的度數(shù)為65°或

答案圖③

答案圖④19.如圖，菱形OABC的邊OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，4），反比例函數(shù)

y=kx(x＞0)（1）求k的值；（2）AB的垂直平分線交反比例函數(shù)

y=kx(x＞0)的圖象于點(diǎn)E，連接AE19.解：（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)(3，4)，四邊形OABC是菱形，∴C（5，0），B（8，4），∴

D(∴k＝13．（2）如圖，∵E在AB的垂直平分線上，∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為112將x=112

代入y

=13∴

E(過(guò)A作AH⊥x軸于H，AB的垂直平分線交x軸于F，則S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE

=120.近年來(lái)我市大力實(shí)施河渠綜合治理，水域治理效果顯著，不僅有效改善了環(huán)境，提升城市的防洪能力，同時(shí)也提升了群眾生活的幸福指數(shù)和城市美麗指數(shù)．為了滿(mǎn)足市民健康和休閑的需要，我市某區(qū)在一條東西走向的小河AB的兩側(cè)開(kāi)辟了兩條健康步道，如圖所示，小河北岸的步道由三個(gè)半圓形組成．經(jīng)數(shù)學(xué)興趣小組勘測(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏東53°方向5km處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的南偏西45°方向．該小組成員小聰認(rèn)為小河北岸健康步道的長(zhǎng)度不超過(guò)10km．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷小聰?shù)恼f(shuō)法是否正確．（結(jié)果精確到1km．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，π取3.14）20.解：小聰說(shuō)法不正確，理由如下，如圖，過(guò)C作CD⊥AB

于D，垂足為D，由題意得，∠CAD＝90°﹣53°＝37°，∠CBD＝45°，AC＝5km，在Rt△ACD中，CD＝AC?sin37°≈5×0.6＝3（km），AD＝AC?cos37°≈5×0.8＝4（km），在Rt△BCD中，BD＝CD＝3km，AB＝AD+BD＝7km，∴北岸健康步道的長(zhǎng)度為

12×73π×3

=72π

≈7∵11＞10，∴小聰?shù)恼f(shuō)法不正確．21.洛邑古城，被譽(yù)為“中原渡口”，截至目前景區(qū)總接待游客量突破2600萬(wàn)人次，日接待游客量最高突破10萬(wàn)人次．是集游、玩、吃、住、購(gòu)于一體的綜合性人文旅游觀光區(qū)，近期被大數(shù)據(jù)評(píng)為“第一熱門(mén)漢服打卡地”．洛邑古城內(nèi)某商鋪打算購(gòu)進(jìn)A，B兩種文創(chuàng)飾品對(duì)游客銷(xiāo)售．若該商鋪采購(gòu)9件A種和6件B種共需330元；采購(gòu)5件A種和3件B種共需175元．兩種飾品的售價(jià)均為每件30元；（1）求A，B飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）該商鋪計(jì)劃采購(gòu)這兩種飾品共400件進(jìn)行銷(xiāo)售，其中A種飾品的數(shù)量不少于150件，且不大于300件．實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，若A種飾品的數(shù)量超過(guò)250件時(shí)，則超出部分每件降價(jià)3元銷(xiāo)售．①求該商鋪售完這兩種飾品獲得的利潤(rùn)y（元）與購(gòu)進(jìn)A種飾品的數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；②設(shè)計(jì)能讓這次采購(gòu)的飾品獲利最大的出售方案，并求出最大利潤(rùn)．21.解：（1）設(shè)A飾品每件的進(jìn)價(jià)是a元，B飾品每件的進(jìn)價(jià)是b元．根據(jù)題意，得

9a解得

a∴A飾品每件的進(jìn)價(jià)是20元，B飾品每件的進(jìn)價(jià)是25元．（2）①購(gòu)進(jìn)B種飾品的數(shù)量是（400﹣x）件．根據(jù)題意，得150≤x≤300．當(dāng)150≤x≤250時(shí)，y＝（30﹣20）x+（30﹣25）（400﹣x）＝5x+2000；當(dāng)250＜x≤300時(shí)，y＝（30﹣20）×250+（30﹣20﹣3）（x﹣250）+（30﹣25）（400﹣x）＝2x+2750；∴y

=5②當(dāng)150≤x≤250時(shí)，y＝5x+2000，∵5＞0，∴y隨x的增大而增大，∵150≤x≤250，∴當(dāng)x＝250時(shí)，y值最大，y最大＝5×250+2000＝3250；當(dāng)250＜x≤300時(shí)，y＝2x+2750，∵2＞0，∴y隨x的增大而增大，∵250＜x≤300，∴當(dāng)x＝300時(shí)，y值最大，y最大＝2×300+2750＝3350；∵3350＞3250，∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種飾品300件、B種飾品100件時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)是3350元．22.定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M上，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)相等時(shí)，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．（1）點(diǎn)G（-3，-3）是反比例函數(shù)

y1=kx圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐（2）如圖，已知點(diǎn)A，B是拋物線

y=?12x2+x+92上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接（3）在0＜x＜2的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則m的取值范圍是

．22.解：（1）（3，3）；【解法提示】（1）∵點(diǎn)G（﹣3，﹣3）是反比例函數(shù)

y1=kx圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴﹣3

=k?3，解得k＝9，∴反比例函數(shù)為y1

=9x，令y1＝x，則x

=9x，解得x＝3或x＝﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，∴該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y

=?12x2+x

+92=?1∴拋物線的頂點(diǎn)C（1，5），在y

=?12x2+x

+92中，令y＝x得x

=?1解得x＝3或x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）﹣1＜m＜2；【解法提示】在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，解得x＝m或x＝m+1，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象的“夢(mèng)之點(diǎn)”為（m，m）或（m+1，m+1），∵0＜x＜2，∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，∴當(dāng)﹣1＜m＜2時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”.23.【綜合與實(shí)踐】在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，張老師組織學(xué)生開(kāi)展“如何僅通過(guò)折紙的方法來(lái)確定特殊平行四邊形紙片一邊上的三等分點(diǎn)”的探究活動(dòng)．【操作探究】“求知”小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)一番思考和討論交流后，對(duì)正方形ABCD進(jìn)行了如下操作：第1步：如圖①所示，先將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為EF；第2步：將BC邊沿CE翻折到GC的位置；第3步：延長(zhǎng)EG交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H為AD邊的三等分點(diǎn)．證明過(guò)程如下：連接CH，∵正方形ABCD沿CE折疊，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①

，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由題意可知E是AB的中點(diǎn)，設(shè)AB＝2a，DH＝x，則AE＝BE＝EG＝a，在Rt△AEH中，可列方程：②

，（方程不要求化簡(jiǎn)）解得，DH＝③

，即H是AD邊的三等分點(diǎn)．“勵(lì)志”小組對(duì)矩形紙片ABCD進(jìn)行了如下操作：第1步：如圖②所示，先將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為EF；第2步：再將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD翻折，再展開(kāi)鋪平，折痕為BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于點(diǎn)G；第3步：過(guò)點(diǎn)G折疊矩形紙片ABCD，使折痕MN∥AD．【過(guò)程思考】（1）“求知”小組的證明過(guò)程中，三個(gè)空所填的內(nèi)容分別是①：

，②：

，③：

；（2）“勵(lì)志”小組經(jīng)過(guò)上述操作，認(rèn)為點(diǎn)M為AB邊的三等分點(diǎn)，請(qǐng)你判斷“勵(lì)志”小組的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖③，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是BD上的一個(gè)三等分點(diǎn)，記點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D'，射線ED'與菱形ABCD的邊交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出D′F的長(zhǎng)．23.解：（1）①CG＝CB＝CD，②（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③

23a【解法提示】（1）根據(jù)證明過(guò)程得：①CG＝CB＝CD，②在Rt△AEH中，由勾股定理得AH2+AE2＝EH2，即（2a﹣x）2+a2＝（x+a）2，③解方程得x

=23a，即DH

=（2）結(jié)論正確；理由：∵先將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕為EF，∴E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴BE

=12∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BEG∽△DCG，