（講評(píng)用卷）2023年河南南陽二模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2023年河南南陽二?！?shù)學(xué)全卷總分:120分考試時(shí)間:100分鐘一、選擇題：（每小題3分，共30分．）（下列各小題只有一個(gè)答案是正確的．）1.計(jì)算：12×(﹣A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣41.B2.剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，距今已經(jīng)有三千多年的歷史，剪紙文化起源于人民的社會(huì)生活，蘊(yùn)含了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)識(shí)，生活理想和審美情趣.下列剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）2.D【解析】A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C．既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D．原圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，符合題意.3.下列值最小的是（）A．(?2)2

B．C．（﹣2）0 D．(3.B【解析】由題意可得，(?2)2=2，2?1=12，（﹣2）4.下列選項(xiàng)的括號(hào)內(nèi)填入a2，等式成立的是（）A．a(chǎn)2+（）＝a5 B．a(chǎn)8÷（）＝a4C．（）3＝a8 D．a(chǎn)3?（）＝a54.D【解析】A.a2+a2＝2a2，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.a8÷a2＝a6，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.（a2）3＝a6，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D.a3?a2＝a5，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意．5.如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上.已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，則∠GFH的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．45° D．25°5.D【解析】∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．6.2022年11月，中國礦業(yè)大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)外徑約55納米的天然洋蔥狀富勒烯，即“碳洋蔥”.這是目前地球上發(fā)現(xiàn)的最大的天然“碳洋蔥”，已知1納米＝10﹣9米，那么55納米用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.5×10﹣10米 B．5.5×10﹣8米C．10×5.5﹣8米 D．10×5.5﹣10米6.B【解析】∵1納米＝10﹣9米，∴55納米＝55×0.000000001米＝5.5×10﹣8米．7.勞動(dòng)教育是學(xué)校貫徹“五育并舉”的重要舉措，某校倡議學(xué)生在家做一些力所能及的家務(wù)勞動(dòng)，李老師為了解學(xué)生每周參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了本班20名學(xué)生，收集到如下數(shù)據(jù)：時(shí)間/h65432人數(shù)/名26462關(guān)于家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間的描述正確的是（）A．眾數(shù)是6 B．平均數(shù)是4 C．中位數(shù)是3 D．方差是17.B【解析】A．每周參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間為5h和3h出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是5和3，故本選項(xiàng)不符合題意；B．平均數(shù)是

6×2+5×6+4×4+3×6+2×220=4，故本選項(xiàng)符合題意；C．中位數(shù)是

4+42=4，故本選項(xiàng)不符合題意；D．方差為

120×[2×（6﹣4）2+6×（5﹣4）2+4×（48.一次實(shí)踐探究課上，老師讓同學(xué)們用四張全等的含30°角的直角三角形紙片拼成一個(gè)四邊形，下列拼成的四邊形中，不是菱形的是（）8.D【解析】∵用四張全等的含30°角的直角三角形紙片拼成一個(gè)四邊形，∴可設(shè)直角三角形的三邊為a，3a，2a.A．四邊形的四條邊長都為2a，故四邊形為菱形，不符合題意；B．四邊形的四條邊為2a，故四邊形為菱形，不符合題意；C．四邊形的四邊長為2a，故四邊形是菱形，不符合題意；D．四邊形的四條邊長為3a，2a，3a，2a，故四邊形不是菱形，符合題意．9.南陽，古稱“宛”，是楚漢文化的重要發(fā)祥地，三顧茅廬、召父杜母、羊續(xù)懸魚、牛郎織女等典故或傳說皆發(fā)源于此．現(xiàn)將分別印有“三顧茅廬”“召父杜母”“羊續(xù)懸魚”“牛郎織女”圖案的卡片（卡片形狀、大小、質(zhì)地均相同）各1張放入不透明的甲盒中，再將與甲盒中完全一樣的4張卡片放入不透明的乙盒中．小明從甲、乙兩個(gè)盒中各隨機(jī)抽取1張卡片，則抽到的卡片恰好是1張“三顧茅廬”和1張“羊續(xù)懸魚”的概率是（）A．18

B．1C．13

D．9.A【解析】將三顧茅廬、召父杜母、羊續(xù)懸魚、牛郎織女四個(gè)典故分別記作1，2，3，4，列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中抽到的卡片恰好是1張“三顧茅廬”和1張“羊續(xù)懸魚”的結(jié)果有2種，∴抽到的卡片恰好是1張“三顧茅廬”和1張“羊續(xù)懸魚”的概率為

21610.如圖①，已知扇形AOB，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿O﹣A﹣B﹣O以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，OP＝y(tǒng)cm，y隨x變化的圖象如圖②所示，則扇形AOB的面積為（）A．3πcm2 B．πcm2C．2πcm2 D．1.5πcm210.D【解析】由圖象可知，點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O的時(shí)間為π+6﹣(π+3)＝3s，∴OB＝3cm，即扇形的半徑為3cm，由圖象可知，點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間為π+3，∴弧長為πcm，設(shè)扇形的圓心角為n，根據(jù)弧長公式可得，n×3π180=π，解得n＝60°，∴由扇形的面積公式可得，S扇形AOB二、填空題11.一個(gè)二次二項(xiàng)式分解后其中的一個(gè)因式為x﹣3，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的二次二項(xiàng)式

．11.x2﹣9（答案不唯一）【解析】∵（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9，∵x2﹣9是二次二項(xiàng)式，∴x2﹣9符合題意．12.小穎將幾盒粉筆整齊地摞在講桌上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)從正面、左面、上面三個(gè)方向看到的粉筆形狀相同（如圖所示），那么這摞粉筆一共有

盒．12.4【解析】由俯視圖可得最底層有3盒，由正視圖和左視圖可得第二層有1盒，共有4盒．13.某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考查，利用鋪墊木板的方式通過了一片爛泥濕地，這是因?yàn)槿撕湍景鍖?duì)濕地的壓力F一定時(shí)，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)

P（Pa）與木板面積S（m2）存在函數(shù)關(guān)系P=FS（如圖所示）若木板面積為0.2m2，則壓強(qiáng)為13.3000【解析】由已知反比例函數(shù)解析式為

P=FS，將（0.5，1200）代入，得1200=F0.5，解得F＝600，∴

P=600S，當(dāng)S＝0.2m2時(shí)，

P=6000.2，解得

P＝14.如圖，正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，將頂點(diǎn)D（1，0）繞點(diǎn)A（0，1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D1，再將D1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D2，再將D2繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D3，再將D3繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D4，再將D4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D5…以此類推，則點(diǎn)D2023的坐標(biāo)是

．14.（﹣2023，﹣2024）【解析】如圖，過點(diǎn)D1作D1E⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D2作D2F⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D3作D3G⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)D4作D4H⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)D5作D5K⊥y軸于點(diǎn)K，∵正方形ABCD的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，D（1，0），∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD

=2，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1）.∵將頂點(diǎn)D（1，0）繞點(diǎn)A（0，1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D1，∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD

=2，∴AE＝AD1?cos∠D1AE

=2cos45°＝1，D1E＝AD1?sin∠D1AE

=2sin45°＝1，∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD1＝AB+AD1

=2+2=2

2，∴D1（1，2），∵再將D1繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D2，∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝2

2，∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝2

2sin45°＝2，BF＝BD2cos∠D2BF＝2

2cos45°＝2，∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，∴D2（﹣3，2），再將D2繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D3，再將D3繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D4，再將D4繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D5……同理可得D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），…，觀察發(fā)現(xiàn)，每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），∵2023＝4×505+3，∴D202315.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將邊AC沿直線AD翻折得到線段AE，連接ME，則EM長度的取值范圍為

．15.5?2≤EM【解析】如圖，連接AM．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝2，∵M(jìn)為邊BC的中點(diǎn)，∴BM＝MC＝12BC=1，∴AM=AC2+CM2=22+12=5，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，AE＝AC＝2.∵EM≥AM﹣AE=5?2，∴EM的最小值為5?2，當(dāng)點(diǎn)D與B三、解答題16.解方程和不等式組：（1）2x（2）3+16.解：（1）去分母得，2﹣x+3＝﹣1，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解；（2）由①得，x＞﹣2，由②得，x≤5，∴原不等式組的解集為﹣2＜x≤5．17.某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力、態(tài)度四個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了測(cè)試，滿分均為10分，綜合各項(xiàng)指標(biāo)成績高者將被錄用．測(cè)試成績?nèi)缦旅鏃l形統(tǒng)計(jì)圖所示：（1）若按四項(xiàng)成績平均分最高者被錄用，則甲、乙、丙三人中

將被錄用；（2）若這家公司比較看重員工的學(xué)歷和態(tài)度，并且把學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力、態(tài)度四個(gè)方面按2∶1∶1∶2的比例計(jì)算三人的綜合得分，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰將被錄用？（3）如果你是這家公司的招聘領(lǐng)導(dǎo)，你將按什么比例計(jì)算三人的綜合得分？說明理由．（要求：你的方案不能和前兩問相同）17.解：（1）丙；【解法提示】甲四項(xiàng)成績的平均分為

9+8+7+54=7.25（分），乙四項(xiàng)成績的平均分為

8+6+8+74=7.25（分），丙四項(xiàng)成績（2）甲的綜合得分為：9×2乙的綜合得分為：8×2丙的綜合得分為：8×2∵7.33＞7.17，∴乙將被錄用；（3）把學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力、態(tài)度四個(gè)方面按2∶2∶3∶3的比例計(jì)算三人的綜合得分，∵工作能力和工作態(tài)度更重要（答案不唯一，合理即可）．18.“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．隨著春季的來臨，放風(fēng)箏已成為孩子們的最愛．周末小冬和爸爸一起去公園放風(fēng)箏，如圖，當(dāng)小冬站在G處時(shí)，風(fēng)箏在空中的位置為點(diǎn)B，仰角為53°，小冬站在G處繼續(xù)放線，當(dāng)再放2m長的線時(shí)，風(fēng)箏飛到點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)B、C離地面MN的高度恰好相等，C點(diǎn)的仰角為44°.若小冬的眼睛與地面MN的距離AG為1.6m，請(qǐng)計(jì)算風(fēng)箏離地面MN的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）18.解：如圖，過點(diǎn)A作AD∥MN，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．由題意得∠BAE＝53°，∠CAF＝44°，BE＝CF，AC＝(AB+2)m，設(shè)AB＝xm，則AC＝(x+2)m，在Rt△ABE中，sin∠∴BE≈0.8x

m；在Rt△ACF中，

sin∠∴CF≈0.7(x+2)m，∴0.8x=0.7(x+2)，解得x=14，∴BE≈0.8x=11.2（m），∴MN=11.2+1.6≈13（m）．答：風(fēng)箏離地面MN的高度約為13m．19.【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個(gè)問題，若把一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為x1，x2，則有恒等式ax2+bx+c＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，即ax2+bx+c＝ax2﹣a(x1+x2)x+ax1x2．比較兩邊系數(shù)可得：x1+x2＝

，x1x2＝

．任務(wù)：（1）填空：x1+x2＝

，x1x2＝

；（2）小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過程補(bǔ)充完整．解：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1＝

，x2＝

；…（3）已知關(guān)于x的方程2x2+3mx+m2＝0的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫出m的值．19.解：（1）?ba，【解法提示】根據(jù)題意得，b

=-a（

x1+x2），c

=a

x1x2，∴x1+x2=?（2）

?b?b2【解法提示】對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1

=?b?b2?4ac2a，x2

=?b+b2?4ac（3）﹣1或4.【解法提示】∵a＝2，b＝3m，c＝m2，∴方程2x2+3mx+m2＝0的兩根之和為?ba=?3∵兩根之和與兩根之積的和等于2，∴?3m2+m22=2，解得m＝20.如圖①，中國古代的馬車已經(jīng)涉及很復(fù)雜的機(jī)械設(shè)計(jì)（相對(duì)當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)力），包含大量零部件和工藝，所彰顯的智慧讓人拜服．如圖②是馬車的側(cè)面示意圖，AB為車輪⊙O的直徑，過圓心O的車架AC一端點(diǎn)C著地時(shí)，地面CD與車輪⊙O相切于點(diǎn)D，連接AD，BD．（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC＝90°，徽徽的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由；（2）若BDAD=63，BC＝2米，求車輪20.解：（1）徽徽的猜想正確，理由如下：如圖，連接OD，∵CD與⊙O相切，∴OD⊥CD，∴∠C+∠DOC＝90°，∠ODB+∠BDC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠OBD＝90°∴∠A＝∠BDC，由圓周角定理得，∠DOC＝2∠A，∴∠DOC＝2∠BDC，∴∠C+2∠BDC＝90°；（2）∵∠BDC＝∠A，∠C＝∠C，BC=2，∴△CBD∽△CDA，∴

BCDC=解得DC

=6，AB＝1答：車輪的直徑AB的長為1米．21.為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個(gè)體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個(gè)商店的優(yōu)惠活動(dòng)如下：甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過300元的部分打7折．設(shè)需要購買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購買實(shí)付y甲元，去乙商店購買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如（1）分別求y甲，y乙關(guān)于（2）兩圖象交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A坐標(biāo)；（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個(gè)體育專賣店購買體育用品更合算．21.解：（1）由題意可得，y甲＝0.85x當(dāng)0≤x≤300時(shí)，y乙＝x當(dāng)x＞300時(shí)，y乙＝300+（x?300）×0.7＝0.7x+90則y乙

=（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（600，510）；（3）由圖象可得，當(dāng)x＜600時(shí)，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當(dāng)x＝600時(shí)，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合算；當(dāng)x＞600時(shí)，去乙體育專賣店購買體育用品更合算．22.綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動(dòng)：操作探究（1）如圖①，△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，連接BE，則∠EBC＝

°．若F是BE的中點(diǎn)，連接AF，則AF與DE的數(shù)量關(guān)系是

；遷移探究（2）如圖②，將（1）中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，其他條件不變，求出此時(shí)∠EBC的度數(shù)及AF與DE的數(shù)量關(guān)系；拓展應(yīng)用（3）如圖③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接AF．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠EBC＝15°時(shí)，直接寫出線段AF的長．22.解：（1）90，AF=12【解法提示】∵將等邊△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，∴B，A，D共線，E，A，C共線，∠EAD＝∠BAC＝60°＝∠ABC，AE＝AD＝AB，∴∠EAD＝∠AEB+∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，∵AB＝AD，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，∴AF是△BDE的中位線，∴AF

=1（2）∵等邊三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，∴AB＝AD＝AE，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠EBC＝∠ABC

?∠ABE＝60°

?45°＝15°；∵F是BE的中點(diǎn)，∴∠AFB＝90°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴AF

=22∵AB＝BC＝DE，∴AF

=22（3）1或3．【解法提示】當(dāng)E在B