第06講 拋物線方程及其性質(zhì)（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第06講拋物線方程及其性質(zhì)（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第10題,6分根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線切線長直線與拋物線交點相關(guān)問題2023年新I卷，第22題,12分拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求直線與拋物線相交所得弦的弦長由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求平面軌跡方程2023年新Ⅱ卷，第10題,5分拋物線定義的理解根據(jù)焦點或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線與拋物線的交點坐標(biāo)與地物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)無2022年新I卷，第11題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線判斷直線與拋物線的位置關(guān)系求直線與拋物線相交所得弦的弦長2022年新Ⅱ卷，第10題,5分拋物線定義的理解求直線與拋物線的交點坐標(biāo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩點求斜率2021年新I卷，第14題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線根據(jù)拋物線上的點求標(biāo)準(zhǔn)方程無2021年新Ⅱ卷，第3題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線已知點到直線距離求參教2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點弦長無2020年新Ⅱ卷，第14題,5分求拋物線焦點弦長無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解2.熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算3.會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會拋物線方程簡單的實際應(yīng)用5.會求拋物線的相關(guān)最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常常考查標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及最值的求解，需重點強(qiáng)化訓(xùn)練知識講解拋物線的定義平面上一動點到定點的距離與到定直線：的點的軌跡叫做拋物線拋物線的圖形數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)設(shè)，由定義可知：，等式兩邊同時平方得：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)焦點位置軸正半軸軸負(fù)半軸軸正半軸軸負(fù)半軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程通徑通徑長：，半通徑長：焦半徑（拋物線上的點到焦點的距離）焦點弦的性質(zhì)考點一、拋物線的定義1．（2024·上海·高考真題）已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為．2．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．41．（2023高三·全國·專題練習(xí)）動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，則點P的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線2．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為.考點二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024高三下·江西新余·專題練習(xí)）請寫出一個以為焦點且以坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線方程：.2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知點在拋物線上，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點A、B，交其準(zhǔn)線于C，與準(zhǔn)線垂直且垂足為，若，則此拋物線的方程為（

）A． B．C． D．1．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點坐標(biāo)為．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，則的方程為（

）A． B． C． D．考點三、拋物線的幾何性質(zhì)1．（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知點在拋物線上，則到的準(zhǔn)線的距離為.2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點滿足，，則（

）A．3 B．4 C．6 D．83．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（

）A．4 B． C．2 D．4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知拋物線（）的焦點為F，P為拋物線上一點，且滿足，設(shè)直線PF的傾斜角為，若，則點P的坐標(biāo)為.1．（2024·江西·一模）已知點是拋物線上一點，且點P到C的焦點距離為2，則．2．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（23-24高三下·全國·開學(xué)考試）拋物線的焦點為上的點到的距離等于到直線的距離，則（

）A．2 B．1 C． D．4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知M是拋物線上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點．若，則線段MF的長為.考點四、拋物線中的最值問題1．（2024·陜西·二模）已知拋物線上的點到定點的最小距離為2，則.2．（2024·福建莆田·二模）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上．若點在圓上，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．23．（2024·江西鷹潭·一模）已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是拋物線上的點，是圓上的點，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．35．（2023·河南開封·模擬預(yù)測）已知拋物線，P為C上一點，，，當(dāng)最小時，點P到坐標(biāo)原點的距離為（

）A． B． C． D．81．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線方程為，點，點在拋物線上，則的最小值為.2．（2024·全國·二模）已知點P為拋物線上一點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．44．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．考點五、拋物線的簡單應(yīng)用1．（2024·全國·模擬預(yù)測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m2．（2023·河南·模擬預(yù)測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（

）

A． B． C． D．3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為，渠深為，水面距為，則截面圖中水面寬的長度約為（

）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運(yùn)動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達(dá)到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠(yuǎn)水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為米．2．（2023·河北張家口·二模）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·山西晉城·一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為（

）A．米 B．米C．米 D．米一、單選題1．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點，則的值為（

）A． B．4 C． D．82．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于，兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．23．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知拋物線上的點到原點的距離為，焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·四川南充·一模）已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知為拋物線上的一點，點到拋物線焦點的距離為2，則（

）A．2 B．1 C． D．46．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·重慶·模擬預(yù)測）是拋物線上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且的重心恰為F，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知點是拋物線上一點，若到拋物線焦點的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8二、填空題9．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為．10．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）動圓經(jīng)過原點，且與直線相切，記圓心的軌跡為，直線與交于兩點，則.一、單選題1．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線E的焦點為F，點P在E上，M為PF的中點，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)F為拋物線的焦點，點在C上，過點的直線交C于M，N兩點，則下列說法中正確的是（

）A．拋物線C的方程為 B．拋物線C的焦點為C．直線與C不相切 D．5．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，動點在上，若定點滿足，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為三、填空題6．（23-24高二下·四川德陽·期中）已知拋物線為上一點，，當(dāng)最小時，點到坐標(biāo)原點的距離為.7．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為線段的中點，為上一點，則的最小值為．8．（2024·湖北黃岡·三模）已知拋物線的焦點為,，是拋物線上關(guān)于其對稱軸對稱的兩點，若，為坐標(biāo)原點，則點的橫坐標(biāo)為.9．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為．10．（2024·河北·模擬預(yù)測）拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為.1．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．2．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形4．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．5．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．46．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．7．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．8．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，