第05講 空間向量的概念及其運算、空間向量法求空間角與空間距離（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第05講空間向量的概念及其運算、空間向量法求空間角與空間距離（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第17題,15分面面角的向量求法及應用由二面角大小求線段長度證明線面平行證明面面垂直2024年新Ⅱ卷，第7題,15分求線面角錐體體積的有關計算臺體體積的有關計算2024年新Ⅱ卷，第17題,15分求平面的法向量面面角的向量求法證明線面垂直線面垂直證明線線垂直2023年新I卷，第18題,12分空間位置關系的向量證明面面角的向量求法已知面面角求其他量無2023年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直面面角的向量求法2022年新I卷，第9題,5分求異面直線所成的角求線面角無2022年新I卷，第19題,5分求點面距離面面角的向量求法無2022年新Ⅱ卷，第20題,12分面面角的向量求法證明線面平行2021年新I卷，第12題,5分求空間向量的數(shù)量積空間向量的坐標表示垂直關系2021年新I卷，第20題,12分由二面角大小求線段長度或距離錐體體積的有關計算線面垂直證明線線垂直面面垂直證線面垂直2021年新Ⅱ卷，第19題,12分面面角的向量求法證明面面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分【備考策略】1.掌握空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，會運用空間兩點間的距離公式2.理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，會求平面法向量4.熟練掌握空間中點線面的位置關系，會運用空間向量證明平行、垂直關系5.會運用空間向量求空間距離及空間角【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性質，考查空間距離和空間角的求解，需強化鞏固復習.知識講解1．空間向量及其有關概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．數(shù)量積及坐標運算(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．空間兩點間的距離公式若，，則=.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.考點一、空間向量的基本概念及其運算1．（廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝．2．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．3．（上?！じ呖颊骖}）在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．1．（廣東·高考真題）已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．2．（寧夏·高考真題）已知向量，且，則．3．（23-24高二下·湖北·開學考試）如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設，，，則（

）A． B．C． D．考點二、空間向量求異面直線所成角1．（全國·高考真題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．（浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是．1．3．（2024·安徽·模擬預測）設與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則sinθ的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預測）直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側棱長為，為上的點，若直線與直線所成角的余弦值為，則長為（

）A．1 B． C． D．1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，，是棱的中點，是棱上靠近點的四等分點，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．考點三、空間向量求線面角1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，AB//DC，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．（2024·河南濮陽·模擬預測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將沿AE折起，使點D到達點P的位置（平面）．(1)求證：平面平面PBC；(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．4．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線FQ與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.1．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.(1)求證：為的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值.2．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.3．（2024·山東濟南·三模）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺的高；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．4．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.考點四、空間向量求二面角1．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．4．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；(2)若，，，點到平面的距離為，求二面角的余弦值.5．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．1．1．1．1．1．（2024·江蘇·模擬預測）如圖，在四棱臺中，，，．(1)記平面與平面的交線為，證明：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，平面與PB，PC分別交于M，N兩點.(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.3．（2024·遼寧錦州·模擬預測）如圖，在四棱錐中，為的中點，平面．(1)求證：；(2)若，．（i）求證：平面；（ii）設平面平面，求二面角的正弦值．4．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，為線段上異于端點的一點.(1)求點到平面的距離；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．5．（2024·山西·二模）如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.考點五、空間向量求空間距離1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在棱長為的正方體中，點在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點在棱上，且到平面的距離為，求點到直線的距離．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.2．（2024·天津·二模）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段上一點，，四邊形為矩形.

(1)若是的中點，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值：(3)若點到平面的距離為，求的長.3．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點G是線段BF的中點．(1)證明：平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點G到平面DEF的距離．考點六、立體幾何小題綜合1．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面選項BCD解法二：2．（2024·福建福州·模擬預測）四棱錐的頂點均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南信陽·模擬預測）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣西貴港·模擬預測）（多選）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為5．（2024·福建泉州·模擬預測）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，點是棱的中點，則下列結論中正確的是（

）

A．點到平面距離相等B．若平面，且與所成角是，則點的軌跡是橢圓C．三棱錐的外接球的表面積為11πD．若線段，則的最小值是1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結論中正確的是（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線3．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點Q，使得 D．在上存在點P，使得平面4．（2024·湖北襄陽·模擬預測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為 B．平面C．平面 D．二面角的余弦值為5．（2024·重慶九龍坡·三模）（多選）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點，為側面正方形的中心，則下列結論正確的是（

）A．直線平面B．直線與平面所成角的正切值為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積為9π考點七、范圍與最值問題1．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點M，N分別在線段，上運動.若二面角的大小為，則的最小值為.2．（2024·河南信陽·模擬預測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點，與平面交于點，點分別在線段上運動，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·全國·階段練習）如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為．5．（2024·山東棗莊·模擬預測）（多選）已知正方體的棱長為2，點M，N分別為棱的中點，點P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點，且，則（

）A．平面 B．點P的軌跡長度為C．存在點P，使得平面 D．點P到平面距離的最大值為6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.1．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為．2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）棱長為2的正方體中，設點為底面內(nèi)（含邊界）的動點，則點到平面距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·廣東深圳·期中）在長方體中，，點為側面內(nèi)一動點，且滿足//平面，則的最小值為，此時點到直線的距離為.4．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）正方體的棱長為為該正方體側面內(nèi)的動點（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為.5．（2024·山東·二模）（多選）如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則（

）A．存在使得B．存在使得平面C．若長度為定值，則時三棱錐體積最大D．當時，直線與所成角的余弦值的最小值為6．（23-24高三下·河北滄州·階段練習）如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當時，求證平面；(2)設為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.一、單選題1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點，則點到直線的距離（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東梅州·模擬預測）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2024·河南開封·三模）在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當點B與點D之間的距離為3時．5．（2024·廣東茂名·模擬預測）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為．三、解答題6．（2024·廣西·模擬預測）在正四棱柱中，，，E為中點，直線與平面交于點F．(1)證明：F為的中點；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

7．（2024·四川成都·模擬預測）在平行六面體中，，．(1)若空間有一點滿足：，求；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．8．（2024·福建泉州·模擬預測）在四棱錐中，．

(1)求證：(2)當點到平面的距離為時，求直線與平面所成的角的正弦值．9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，平行六面體的體積為，，，，．(1)求點A到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．10．（22-23高二上·海南省直轄縣級單位·期末）四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，，平面平面ABCD．

(1)證明：；(2)若PB=PD，且PA與平面ABCD成角為，點E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．一、單選題1．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FBA．3355 C．375 2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且分別為的中點，是內(nèi)的動點（含邊界），且平面，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的外接球的體積為B．的取值范圍為C．直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為D．當點到平面的距離與點到平面的距離之比為時，4．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如圖，正四棱錐每一個側面都是邊長為4的正三角形，若點M在四邊形ABCD內(nèi)（包含邊界）運動，N為PD的中點，則（

）A．當M為AD的中點時，異面直線MN與PC所成角為B．當平面PBC時，點M的軌跡長度為C．當時，點M到AB的距離可能為D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入正四棱錐內(nèi)三、填空題5．（2024·全國·模擬預測）在棱長為2的正方體中，動點，分別在棱，上，且滿足，當?shù)捏w積最小時，與平面所成角的正弦值是．四、解答題6．（2024·湖南衡陽·模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)證明：平面ABC．(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．7．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在四棱錐中，.(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.8．（2024·山東·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，，，.(1)當時，求證：平面；(2)設二面角的大小為，求的取值范圍.9．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點是的中點，．(1)求證：為三棱錐外接球的球心；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大