第02講 數列中的新定義綜合（學生版）-2025版高中數學一輪復習考點幫

Page第02講數列中的新定義綜合（8類核心考點精講精練）新高考改革后，數列作為高中數學的重要組成部分，在考試中占據了重要的地位。數列的考查不僅限于傳統(tǒng)的等差數列、等比數列等基礎知識，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具備較強的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。在新定義數列的考題中，有以下幾種情況：新定義的數列類型：例如，斐波那契數列的變種、遞推數列、分段定義的數列等。這些數列的定義和性質可能與傳統(tǒng)數列有所不同，需要考生仔細閱讀題目，準確理解新定義。數列性質的探究：考生可能需要探究新定義數列的通項公式、遞推關系、特殊項的性質等。這要求考生能夠靈活運用數學歸納法、數列極限等數學工具。數列與函數、不等式等其他數學知識的綜合應用：新定義數列的題目往往與其他數學知識相結合，考查考生的綜合運用能力。例如，數列與函數的圖像、數列與不等式的解法等。實際問題的數學建模：新高考數學注重考查學生的實際應用能力，因此，數列問題可能會與實際問題相結合，要求考生建立數學模型來解決實際問題。為了應對新定義數列的考題，考生需要：熟悉并掌握高中數學數列的基本概念和性質。增強閱讀理解能力，準確把握新定義數列的特點。培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨立探究數列的性質。加強與其他數學知識的聯(lián)系，提高綜合運用數學知識解決問題的能力。注重實際問題的數學建模訓練，提升解決實際問題的能力?？傊?，新高考數學數列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時的學習中注重基礎知識的積累，同時加強思維訓練和實際應用能力的培養(yǎng)。考點一、斐波那契數列1．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數：，該數列的特點是：從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，則是斐波那契數列中的第項．2．（2024·貴州遵義·模擬預測）（多選）數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數列，又稱黃金分割該數列，從第三項開始，各項等于其前相鄰兩項之和，即（），則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利數學家斐波那契以兔子繁殖數量為例，引入數列：1，1，2，3，5，8，該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數列稱為斐波那契數列，又稱為“兔子數列”，其通項公式為，設是不等式的正整數解，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．91．（2024·河南·模擬預測）我們把由0和1組成的數列稱為數列，數列在計算機科學和信息技術領域有著廣泛應用，把斐波那契數列（，）中的奇數換成0，偶數換成1可得到數列an，若數列an的前項和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．3992．（24-25高二上·山東青島·階段練習）在數學上，斐波納契數列定義為：，，，斐波納契數列有種看起來很神奇的巧合，如根據可得，所以，類比這一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．48963．（2024·山東·模擬預測）（多選）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．考點二、差數列及階差數列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）數學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數列．其中二階等差數列是一個常見的高階等差數列，如數列2，4，7，11，16從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數列2，3，4，5是等差數列，則稱數列2，4，7，11，16為二階等差數列．現(xiàn)有二階等差數列，其前六項分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．2．（23-24高三下·重慶·階段練習）定義：滿足為常數，）的數列稱為二階等比數列，為二階公比.已知二階等比數列的二階公比為，則使得成立的最小正整數為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·全國·模擬預測）給定數列，稱為的差數列（或一階差數列），稱數列的差數列為的二階差數列……(1)求的二階差數列；(2)用含的式子表示的階差數列，并求其前項和．1．（2024·四川自貢·一模）南末數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有高階等差數列，其前項分別為，則該數列的第項（

）A． B． C． D．2．（2024·四川南充·三模）對于數列，規(guī)定為數列的一階差分，其中，規(guī)定為數列的k階差分，其中．若，則（

）A．7 B．9 C．11 D．133．（2024·吉林長春·模擬預測）對于數列，稱為數列的一階差分數列，其中.對正整數，稱為數列的階差分數列，其中已知數列的首項，且為的二階差分數列.(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的一階差分數列，對，是否都有成立？并說明理由；（其中為組合數）(3)對于（2）中的數列，令，其中.證明：.考點三、平方數列與類平方數列1．（23-24高三上·四川綿陽·階段練習）若數列滿足則稱為“平方遞推數列”.已知數列是“平方遞推數列”，且則（

）A．是等差數列 B．是等差數列C．是“平方遞推數列” D．是“平方遞推數列”1．（2024·海南·模擬預測）（多選）已知數列an滿足：①；②，，，，則稱數列an為“類平方數列”，若數列bn滿足：①數列bn不是“類平方數列”；②將數列bn中的項調整一定的順序后可使得新數列成為“類平方數列”，則稱數列bn為“變換類平方數列”，則（

A．已知數列，則數列an為“類平方數列”B．已知數列an為：3，5，6，11，則數列aC．已知數列an的前頂和為，則數列an為“類平方數列”D．已知，.則數列an為“變換類平方數列”考點四、數列的單調性1．（2024·江西新余·模擬預測）我們規(guī)定：若數列為遞增數列且也為遞增數列，則為“數列”.(1)已知：，，，數列中其中只有一個數列，它是：；請從另外兩個數列中任選一個證明其不是數列.(2)已知數列an滿足：，為an的前項和，試求an的通項并判斷數列是否為數列并證之.(3)已知數列an、bn均為數列，且，，求證：數列也為數列.1．（24-25高三上·河南·開學考試）若數列的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數確定，則稱為的遞歸函數．設的遞歸函數為．(1)若，（），證明：為遞減數列；(2)若，且，的前項和記為．①求；②我們稱為取整函數，亦稱高斯函數，它表示不超過的最大整數，例如，．若，求．2．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知是各項均為正整數的無窮遞增數列，對于，定義集合，設為集合中的元素個數，特別規(guī)定：若時，．(1)若，寫出，及的值；(2)若數列是等差數列，求數列的通項公式；(3)設集合，，求證：且．考點五、數列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模擬預測）定義：若對恒成立，則稱數列為“上凸數列”．(1)若，判斷是否為“上凸數列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．(2)若為“上凸數列”，則當時，．（?。┤魯盗袨榈那绊椇?，證明：；（ⅱ）對于任意正整數序列（為常數且），若恒成立，求的最小值．1．（24-25高三上·安徽亳州·開學考試）已知數列，對于任意的，都有，則稱數列為“凹數列”．(1)判斷數列是否為“凹數列”，請說明理由；(2)已知等差數列，首項為4，公差為，且為“凹數列”，求的取值范圍；(3)證明：數列為“凹數列”的充要條件是“對于任意的，當時，有”．2．（24-25高二上·上?！るA段練習）已知數列，對于任意的正整數，都有則稱數列是嚴格凹數列．(1)若數列，的通項公式分別為，判斷數列，是否為嚴格凹數列，無需說明理由；(2)證明：“對于任意正整數的，當時，有”是“數列為嚴格凹數列”的充要條件；(3)函數是定義在正實數集上的嚴格增函數，且數列是嚴格凹數列，嚴格增數列（正整數為常數且）各項均為互不相等的正整數，若恒成立，求實數λ的取值范圍．考點六、數列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若無窮數列滿足：存在正整數，使得對一切正整數成立，則稱是周期為的周期數列．(1)若（其中正整數m為常數，），判斷數列是否為周期數列，并說明理由；(2)若，判斷數列是否為周期數列，并說明理由；(3)設是無窮數列，已知．求證：“存在，使得是周期數列”的充要條件是“是周期數列”．2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃τ跀盗衋n，若存在常數，，使得對任意的正整數，恒有成立，則稱數列an是從第項起的周期為的周期數列．當時，稱數列an為純周期數列；當時，稱數列an為混周期數列．記x為不超過的最大整數，設各項均為正整數的數列an滿足：.(1)若對任意正整數都有，請寫出三個滿足條件的的值；(2)若數列an是純周期數列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．3．（2024·湖南長沙·一模）對于數列，如果存在正整數，使得對任意，都有，那么數列就叫做周期數列，叫做這個數列的周期.若周期數列滿足：存在正整數，對每一個，都有，我們稱數列和為“同根數列”.(1)判斷數列是否為周期數列.如果是，寫出該數列的周期，如果不是，說明理由；(2)若和是“同根數列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.1．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習）對于數列，若存在常數，，使得對任意的正整數，恒有成立，則稱數列是從第項起的周期為的周期數列．當時，稱數列為純周期數列；當時，稱數列為混周期數列．記為不超過的最大整數，設各項均為正整數的數列滿足：.(1)若對任意正整數都有，請寫出三個滿足條件的的值；(2)若數列是常數列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；(3)證明：不論為何值，總存在使得．2．（23-24高三上·北京豐臺·期末）對于數列，如果存在正整數，使得對任意，都有，那么數列就叫做周期數列，叫做這個數列的周期．若周期數列，滿足：存在正整數，對每一個，都有，我們稱數列和為“同根數列”．(1)判斷下列數列是否為周期數列．如果是，寫出該數列的周期，如果不是，說明理由；①；②(2)若和是“同根數列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；(3)若和是“同根數列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．考點七、數列的新概念1．（2024·江蘇南通·模擬預測）定義：已知數列的首項，前項和為.設與是常數，若對一切正整數，均有成立，則稱此數列為“”數列.若數列是“”數列，則數列的通項公式（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）對于無窮數列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數列”.(1)若數列bn的通項公式為，試判斷數列bn是否為“數列”，并說明理由；(2)已知數列an①若an是“數列”，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數列an為“數列”.3．（2024·遼寧·三模）若實數列滿足，有，稱數列為“數列”.(1)判斷是否為“數列”，并說明理由；(2)若數列為“數列”，證明：對于任意正整數，且，都有(3)已知數列為“數列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.4．（2024·福建泉州·模擬預測）若無窮數列滿足：對于，其中為常數，則稱數列為數列．(1)若一個公比為的等比數列為“數列”，求的值；(2)若是首項為1，公比為3的等比數列，在與之間依次插入數列中的項構成新數列，求數列中前30項的和．(3)若一個“數列"滿足，設數列的前項和為．是否存在正整數，使不等式對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．1．（2024·北京東城·二模）設無窮正數數列，如果對任意的正整數，都存在唯一的正整數，使得，那么稱為內和數列，并令，稱為的伴隨數列，則（

）A．若為等差數列，則為內和數列B．若為等比數列，則為內和數列C．若內和數列為遞增數列，則其伴隨數列為遞增數列D．若內和數列的伴隨數列為遞增數列，則為遞增數列2．（2024·湖北荊州·三模）“數列”定義：數列的前項和為，如果對于任意的正整數，總存在正整數使則稱數列是“數列”.(1)若數列的前項和為求證：數列是“數列”；(2)已知數列是“數列”，且數列是首項為，公差小于的等差數列，求數列的通項公式；(3)若數列滿足：求數列的前項和.3．（2024·黑龍江·二模）如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數列為“型數列”．(1)若數列滿足，判斷是否為“型數列”，并說明理由；(2)已知正項數列為“型數列”，，數列滿足，，是等比數列，公比為正整數，且不是“型數列”，求數列的通項公式．4．（2024·全國·模擬預測）定義：若對于任意的，數列滿足，則稱這個數列是“數列”．(1)已知首項為1的等差數列是“數列”，且恒成立，求的取值范圍．(2)已知各項均為正整數的等比數列是“數列”，數列不是“數列”．記，若數列是“數列”．①求數列的通項公式．②是否存在正整數，使成等差數列？若存在，求出的所有值；若不存在，請說明理由．考點八、數列的新性質1．（2024·山東青島·三模）（多選）若有窮整數數列滿足：，且，則稱具有性質.則（

）A．存在具有性質的B．存在具有性質的C．若具有性質，則中至少有兩項相同D．存在正整數，使得對任意具有性質的，有中任意兩項均不相同2．（2024·河南·三模）已知數列的前項和為，若存在常數，使得對任意都成立，則稱數列具有性質．(1)若數列為等差數列，且，求證：數列具有性質；(2)設數列的各項均為正數，且具有性質．①若數列是公比為的等比數列，且，求的值；②求的最小值．1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果無窮數列滿足“對任意正整數，都存在正整數，使得”，則稱數列具有“性質”.(1)若等比數列的前項和為，且公比，求證：數列具有“性質”；(2)若等差數列的首項，公差，求證：數列具有“性質”，當且僅當；(3)如果各項均為正整數的無窮等比數列具有“性質”，且四個數中恰有兩個出現(xiàn)在數列中，求的所有可能取值之和.2．（2024·湖北·模擬預測）若項數為的數列滿足兩個性質：①；②存在，使得，并記是數列的最大項，．則稱數列具有性質．(1)若，寫出所有具有性質的數列；(2)數列具有性質,若，求的最大項的最大值；(3)數列具有性質,若，且還滿足以下兩條性質：（?。τ跐M足的項和，在的余下的項中，總存在滿足的項和，使得；（ⅱ）對于滿足的項和，在的余下的項中，總存在滿足的項和，使得．求滿足上述性質的的最小值．一、填空題1．（2023·陜西銅川·一模）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.已知數列是等和數列，且，公和為1，那么這個數列的前2024項和.2．（2024·北京通州·三模）若數列、均為嚴格增數列，且對任意正整數n，都存在正整數m，使得，則稱數列為數列的“M數列”．已知數列的前n項和為，則下列結論中正確的是．①存在等差數列，使得是的“M數列”②存在等比數列，使得是的“M數列”③存在等差數列，使得是的“M數列”④存在等比數列，使得是的“M數列”3．（2024·全國·模擬預測）將正整數n分解為兩個正整數，的積，即，當，兩數差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為12的最優(yōu)分解，當，是n的最優(yōu)分解時，定義，則數列的前2024項的和為（

）A． B． C． D．4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）若對項數為的數列中的任意一項，也是該數列中的一項，則稱這樣的數列為“可倒數數列”.已知正項等比數列是“可倒數數列”，其公比為，所有項和為，寫出一個符合題意的的值.5．（2024·江蘇南通·模擬預測）定義首項為1且公比為正數的等比數列為“數列”.已知數列（）的前項和為，且滿足，.設為正整數.若存在“數列”（），對任意正整數，當時，都有成立，則的最大值為.二、多選題6．（2024·江蘇南通·模擬預測）在數列中，若對，都有（為常數），則稱數列為“等差比數列”，為公差比，設數列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數列是等差比數列B．若等比數列是等差比數列，則該數列的公比與公差比相同C．若數列是等差比數列，則數列是等比數列D．若數列是等比數列，則數列等差比數列7．（23-24高三上·上海普陀·期末）對于無窮數列，給出如下三個性質：①；②對于任意正整數，都有；③對于任意正整數，存在正整數，使得定義：同時滿足性質①和②的數列為“s數列”，同時滿足性質①和③的數列為“t數列”，則下列說法正確的是（

）A．若為“s數列”，則為“t數列”B．若，則為“t數列”C．若，則為“s數列”D．若等比數列為“t數列”則為“s數列”8．（2024·河北承德·二模）對于給定的數列，如果存在實數，使得對任意成立，我們稱數列是“線性數列”，則下列說法正確的是（

）A．等差數列是“線性數列”B．等比數列是“線性數列”C．若且，則D．若且，則是等比數列的前項和9．（2024·湖南衡陽·模擬預測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保自己的風險，這種變化的價格類似于我們數學中的數列，定義如果存在正數，使得對一切正整數，都有，則稱為有界數列，數列收斂指數列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數列稱為收斂數列，如數列，顯然對一切正整數都有，而的極限為，即數列既有界也收斂.如數列，顯然對一切正整數都有，但不存在極限，即數列有界但不收斂.下列數列是有界數列但不收斂的數列有（

）A． B．C． D．10．（2024·河南·一模）對于數列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數列稱為數列的“M值數列”.如數列2，2，3，7，6的“M值數列”為2，2，3，7，7，則（

）A．若數列是遞減數列，則為常數列B．若數列是遞增數列，則有C．滿足為2，3，3，5，5的所有數列的個數為8D．若，記為的前n項和，則三、解答題11．（2024·內蒙古包頭·二模）已知數列為有窮數列，且，若數列滿足如下兩個性質，則稱數列為的增數列：①；②對于，使得的正整數對有個.(1)寫出所有4的1增數列；(2)當時，若存在的6增數列，求的最小值.12．（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列．現(xiàn)對數列1，2進行構造，第一次得到數列1，3，2；第二次得到數列1，4，3，5，2；依次構造，第次得到的數列的所有項之和記為.(1)設第次構造后得的數列為，則，請用含的代數式表達出，并推導出與滿足的關系式；(2)求數列的通項公式；(3)證明：13．（2024·貴州貴陽·二模）給定數列，若滿足且，對于任意的，都有，則稱數列an為“指數型數列".(1)已知數列an滿足，判斷數列是不是“指數型數列"？若是，請給出證明，若不是，請說明理由;(2)若數列an是“指數型數列”，且，證明:數列an14．（2024·湖北·模擬預測）若正整數m，n只有1為公約數，則稱m，n互質，歐拉函數是指，對于一個正整數n，小于或等于n的正整數中與n互質的正整數（包括1）的個數，記作，例如，．(1)求，，；(2)設，，求數列an的前項和；(3)設，，數列bn的前項和為，證明：，15．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）表示正整數a，b的最大公約數，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，．(1)求，，；(2)設．（i）求數列的通項公式，（ii）設，求數列的前n項和．16．（2024·全國·模擬預測）設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“曼德拉數列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數列”是等比數列，求該數列的通項（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數列”是等差數列，求該數列的通項（，用表示）；(3)記階“曼德拉數列”的前項和為，若存在，使，試問：數列能否為階“曼德拉數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.17．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數列稱為an的“生成數列”．(1)若，求其生成數列的前項和；(2)設數列的“生成數列”為，求證：；(3)若是等差數列，證明：存在正整數，當時，，，，是等差數列．18．（2024·山東濰坊·二模）數列中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數列稱為的一階差數列，記為，依此類推，的一階差數列稱為的二階差數列，記為，…．如果一個數列的p階差數列是等比數列，則稱數列為p階等比數列．(1)已知數列滿足，．（?。┣?，，；（ⅱ）證明：是一階等比數列；(2)已知數列為二階等比數列，其前5項分別為，求及滿足為整數的所有n值．19．（2024·貴州·模擬預測）若給定一個數列，其連續(xù)兩項之差構成一個新數列：，，，…，，…，這個數列稱為原數列的“一階差數列”，記為，其中.再由的連續(xù)兩項的差得到新數列，，，…，，…，此數列稱為原數列的“二階差數列”，記為，其中.以此類推，可得到的“p階差數列”.如果數列的“p階差數列”是非零常數數列，則稱為“p階等差數列”.(1)證明由完全立方數組成的數列是“3階等差數列”；(2)若（且，），證明數列是“k階等差數列”，并且若將的“k階差數列”記作，則.20．（2024·河南鄭州·模擬預測）設任意一個無窮數列的前項之積為，若，，則稱是數列．(1)若是首項為，公差為的等差數列，請判斷是否為數列？并說明理由；(2)證明：若的通項公式為，則不是數列；(3)設是無窮等比數列，其首項，公比為，若是數列，求的值．21．（2024·廣東佛山·模擬預測）定義：一個正整數稱為“漂亮數”，當且僅當存在一個正整數數列，滿足①②：①；②．(1)寫出最小的“漂亮數”；(2)若是“漂亮數”，證明：是“漂亮數”；(3)在全體滿足的“漂亮數”中，任取一個“漂亮數”，求是質數的概率．22．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）對于一個正項數列，若存在一正實數，使得且，有，我們就稱是-有限數列.(1)若數列滿足，，，證明：數列為1-有限數列；(2)若數列是-有限數列，，使得且，，證明：.23．（2024·北京門頭溝·一模）已知數列，數列，其中，且，．記的前項和分別為，規(guī)定．記，且，，且(1)若，，寫出；(2)若，寫出所有滿足條件的數列an，并說明理由；(3)若，且．證明：，使得．24．（2024·湖北荊州·三模）對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，簡稱周期.(1)判斷數列和是否為周期數列，如果是，寫出該數列的周期，如果不是，說明理由.(2)設（1）中數列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.(3)若數列和滿足，且，是否存在非零常數，使得是周期數列？若存在，請求出所有滿足條件的常數；若不存在，請說明理由.25．（2024·安徽蕪湖·三模）若數列的各項均為正數，且對任意的相鄰三項，都滿足，則稱該數列為“對數性凸數列”，若對任意的相鄰三項，都滿足則稱該數列為“凸數列”．(1)已知正項數列是一個“凸數列”，且，（其中為自然常數，），證明：數列是一個“對數性凸數列”，且有；(2)若關于的函數有三個零點，其中．證明：數列是一個“對數性凸數列”：(3)設正項數列是一個“對數性凸數列”，求證：26．（2024·新疆·二模）我們把滿足下列條件的數列an稱為數列：①數列an②存在正奇數m，使得數列an的每一項除以m(1)若a，b，c是公差為2的等差數列，求證：a，b，c不是數列；(2)若數列bn滿足對任意正整數p，q，恒有，且，判斷數列是否是數列，并證明你的結論；(3)已知各項均為正數的數列共有100項，且對任意，恒有，若數列為數列，求滿足條件的所有兩位數k值的和．27．（2024·浙江·模擬預測）已知正整數，設，，…，，，，…，是個非負實數，.若對于任意，取，，，都有，則稱這個數構成—孿生數組.(1)寫出8個不全相等的數，使得這8個數構成—孿生數組；(2)求最小的，使得，，…，，，，…，構成—孿生數組；(3)若，且，，…，，，，…，構成—孿生數組，求的最大值.參考公式：（i），當且僅當時取等；（ii）當正偶數時，設，有；當正奇數時，設，有.28．（2024·吉林·模擬預測）對于數列，若，對任意的，有，則稱數列是有界的.當正整數n無限大時，若無限接近于常數a，則稱常數a是數列的極限，或稱數列收斂于a，記為.單調收斂原理：“單調有界數列一定收斂”可以幫助我們解決數列的收斂性問題.(1)證明：對任意的，，恒成