高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定

(1)(2)函數(shù)單調(diào)性的判定

函數(shù)單調(diào)性的判定哪些點可能是單調(diào)性的分界點？函數(shù)單調(diào)性的判定

列表例1判斷函數(shù)

的單調(diào).解：的定義域為

，則，

在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.

令

，得駐點

，00習題講解

令

，得駐點

，當

時，

不存在，例2確定函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.則，

在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.0列表不存在習題講解

解：的定義域為

，當

時，

，

在區(qū)間

上單調(diào)增加，故當

時

所以，當

時，例3證明：當

時，不等式

恒成立.證明：令習題講解

THANKS！函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。設(shè)函數(shù)

在

的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若當

在

的領(lǐng)域內(nèi)但不等于

時，恒有（1）

則稱

是函數(shù)

的一個極大值；（2）

則稱

是函數(shù)

的一個極小值；

定義：注意

1.函數(shù)在一個區(qū)間上可能有幾個極大值和幾個極小值，其中有的極大值可能比極小值還小！

2.函數(shù)極值的概念是局部性的，它們與函數(shù)的最大值、最小值（以后函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值）不同。極值是相對于一個局部而言的，而最大值與最小值是就函數(shù)的定義域而言的。函數(shù)的極值的定義極值的必要條件y=x3但由右圖可知，

不是它的極值點。定理（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)

在點

處可導(dǎo)，且在點

處有極值，則必有

。

思考：極值點與駐點的關(guān)系?例如：求導(dǎo)得：當

時，不存在。極值的必要條件但是，由

的圖像可以看出，是該函數(shù)的極大值，

是極大值點。極值的充分條件

定理

（極值的第一充分條件

）設(shè)函數(shù)

在點

的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，在點

處，有

或

不存在。則：

(1)如果當

時，

，當

時，

，則

是

的極大值點，

是

的極大值；

(2)如果當

時，

，當

時，

，則

是

的極小值點，

是

的極小值；極值的充分條件求極值的步驟求連續(xù)函數(shù)

極值的步驟：1.確定函數(shù)

的定義域；4.用駐點和不可導(dǎo)點把

的定義域劃分成若干個區(qū)間，考察每個區(qū)間內(nèi)

的符號，按照定理判斷各駐點及不可導(dǎo)點是否為極大值點、極小值點，并由極值點求出函數(shù)的極值。（最好通過列表判斷）2.求導(dǎo)數(shù)

；3.求出函數(shù)的駐點及不可導(dǎo)點；習題講解列表判斷令

，解得駐點為

無導(dǎo)數(shù)不存在點。例1求函數(shù)

的極值。

的定義域為

，解：則，

時，

取得極大值10，

時，

取得極小值-22。00極大值10極小值-22列表判斷

令

，得駐點

，

當

時，

不存在，習題講解例2求函數(shù)

的極值。則，

時，

取得極大值0，

時，

取得極小值.0不存在極大值0極小值-1/2解：的定義域為

，定理

（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)

在點

處二階可導(dǎo)，且

，

極值的充分條件注意

若

，則用此定理無法判定

是否為函數(shù)的極值點，這時需用第一充分條件定理判定。（1）若

，那么

是極大值點；（2）若

，那么

是極小值點。函數(shù)的定義域為

，解：習題講解求函數(shù)

的極值。例3令

，得駐點

函數(shù)無不可導(dǎo)點，而

，

由定理知，是函數(shù)的極小值點，且極小值，但當和時，由于

,此時不能用第二判定定理這兩點是否能取得極值，要由第一判定定理來判定。

THANKS！函數(shù)在閉區(qū)間上的最值函數(shù)的最值

函數(shù)的最值

函數(shù)的最值

例1求函數(shù)

在

上的最大值和最小值。解：令

，解得駐點計算得比較各值，可得函數(shù)

在

上最大值是

最小值是習題講解

例2求

在閉區(qū)間

上的最大值和最小值。解：令

，

得駐點因為

，比較這些值的大小，則函數(shù)的最大值為

，最小值為

。習題講解

例3求

在閉區(qū)間

上的最大值和最小值。解：令

，得

的駐點為

，因為

，

比較這些值的大小，知函數(shù)的最大值為

，最小值為

。

習題講解

求函數(shù)

在

上的最大值與最小值。例4解：令

，得駐點

，點

是不可導(dǎo)點，故

在

的最大值為

，

最小值為習題講解

x0yxOy=f(x)x0yxOy=f(x)對于開區(qū)間上函數(shù)的最值，僅給出一種特殊情形：

設(shè)函數(shù)

在開區(qū)間

（可以是無限區(qū)間）內(nèi)連續(xù)，并且有唯一的臨界點

，如果

是極大值點，那么

就是

在

上的最大值；如果

是極小值點，那么

就是

在

上的最小值。函數(shù)的最值

THANKS！函數(shù)最值的應(yīng)用

科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實踐中也常常會碰到最大、最小值問題，例如，在一定條件下，如何使“產(chǎn)量最高”、“成本最低”、“油耗最小”等等。函數(shù)的最值

例

1

某同學(xué)在上網(wǎng)時，通過下載一個文件對自家的網(wǎng)速進行簡單的測量，假設(shè)下載量

與時間的函數(shù)關(guān)系為：

(KB)。試求

為何值，下載速度

最小。解：由題意得：則：令

，得

，它是唯一臨界點，因此，

時，下載速度

最小。習題講解

設(shè)在電路中，電源電動勢為

（常數(shù)），內(nèi)電阻為（常量）,問負債電阻多大時，輸出功率

最大？例2由歐姆定律知，

，所以

，

要求輸出的最大功率

，則只需求上述函數(shù)的最大值，所以令

，得

，依題意，在

內(nèi)，功率

的最大值存在且唯一，因此，當

時

，功率最大。

由電學(xué)知，消耗在負載電阻R上的功率(為回路中的電流）解：習題講解

例3問題歸結(jié)為：求

為何值時，函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)取得最大值。設(shè)截去的小正文形的邊長為

，鐵盒的容積為

，據(jù)題意有：解：習題講解

解：令

，求得在

內(nèi)函數(shù)的駐點為

，

習題講解

例3

設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20千米，垂足為B，鐵路線上距離B為100千米處有一原料供應(yīng)站C，如圖所示?，F(xiàn)在要從鐵路BC中間某處D修建一個車站，再由車站D向工廠修一條公路，問D應(yīng)選在何處才能使得從原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省？已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3：5。例4由于鐵路每千米貨物運費與公路每千米貨運費之比為3:5。因此，不妨設(shè)鐵路上3，則公路上為5

，并設(shè)從C到A點，需要的總運費為

，

設(shè)

，則

，解：習題講解

令

，則

為函數(shù)

在其定義域內(nèi)的唯一駐點，故知

在

處取得最小值，即D應(yīng)選在距B為

處，運費最省。解：由題意得：則：

設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20千米，垂足為B，鐵路線上距離B為100千米處有一原料供應(yīng)站C，如圖所示?，F(xiàn)在要從鐵路BC中間某處D修建一個車站，再由車站D向工廠修一條公路，問D應(yīng)選在何處才能使得從原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省？已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3：5。例4習題講解

函數(shù)的最值

在求函數(shù)的最大（?。┲禃r，若在一個區(qū)間（有限或無限）內(nèi)連續(xù)函數(shù)

只有唯一的一個駐點或不可導(dǎo)的點,那么，當

是

的極大（?。┲禃r，

必定也是

在該區(qū)間的最大（?。┲怠Ｔ趯嶋H問題中若能根據(jù)問題的實際意義，斷定所討論的函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)必存在最大（小）值，并且此時函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)僅有一個駐點或不可導(dǎo)點，則可以斷言在該點處函數(shù)必取得最大（小）值。THANKS！曲線的凹凸性

前面我們討論了函數(shù)的的單調(diào)性和極值，這對研究函數(shù)的上升與下降規(guī)律和函數(shù)的其它特性很有好處，但這對研究函數(shù)變化規(guī)律還不夠，為了準確描繪函數(shù)的圖形，我們還應(yīng)知道它的彎曲方向及不同彎曲方向的分界點。這一節(jié)我們將利用導(dǎo)數(shù)來專門研究曲線的彎曲方向（即凹向）與彎曲方向的分界點（即拐點）。曲線的凹凸性

對勾函數(shù)

對勾函數(shù)：是一種類似于反比例函數(shù)的一種雙曲函數(shù)，是形如

的函數(shù)。由圖像得名，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”等。常見的是特殊形式，即

的形式。由中學(xué)所學(xué)可知

該函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)遞減，但是單調(diào)遞減的方式有很多，該函數(shù)在

上是以哪一種方式遞減的？數(shù)學(xué)上怎么樣來限定該種形式呢？引例研究函數(shù)

和函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)的彎曲方向。

它們在區(qū)間

內(nèi)都是單調(diào)增加的，但是它們的彎曲方向是不一樣的，如圖所示。而且如果作出這兩條曲線的切線，還可以發(fā)現(xiàn)

上任何一點的切線總在曲線下方，而

上任何一點的切線總在曲線上方。因此我們引入新的定義來描述這些圖像及該種特性的異同。曲線的凹凸性

圖一圖二

定義

若曲線弧位于其上每一點處切線的上方，則稱此曲線弧是上凹的或凹的，如右圖一就是上凹的，若曲線弧位于其上每一點處切線的下方，則稱此曲線弧是下凹的或凸的，如右圖當中的圖二。一、曲線凹凸性的定義曲線的凹凸性

二、曲線凹凸的判定定理曲線的凹凸性

定理

設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)二階可導(dǎo)。（1）若在

內(nèi)，

，則曲線弧

在

上為凹的（上凹）的。(2)若在

內(nèi)，，則曲線弧

在

上為凸（下凹）的。

（1）求函數(shù)的定義域和二階導(dǎo)數(shù)；曲線的凹凸性

解：

求函數(shù)

的凹向區(qū)間。例1習題講解

解：

例1

習題講解

解：

解：

例2

例

3習題講解

THANKS！曲線的拐點

拐點的定義曲線的拐點

定義

連續(xù)函數(shù)的上凹和下凹區(qū)間的分界點稱為函數(shù)

的拐點.拐點處的切線必在拐點處穿過曲線，拐點不是拐彎兒的點.拐點的求法曲線的拐點

在拐點兩側(cè)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一定異號，而且分界點處，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)只能為零或不存在.

若

在點

連續(xù)，

或

不存在，又當

經(jīng)過

時，

變號，則點

為曲線的一個拐點.求曲線的拐點的一般步驟：（1）求函數(shù)的定義域和二階導(dǎo)數(shù)；曲線的拐點

（2）求出

的點和

不存在的點；（3）用這些點將

的定義域分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上判斷函數(shù)

的符號；（4）若

在函數(shù)某點兩側(cè)異號則該點為函數(shù)的拐點，否則不是.例1求曲線

的凹凸區(qū)間及拐點.解：函數(shù)的定義域為

，令

，得凹區(qū)間為

，

，凸區(qū)間為

，拐點為

和凹的凸的凹的拐點拐點習題講解

例2求曲線

的拐點.解：函