專(zhuān)項(xiàng)16-以二次根式為載體的材料閱讀題-專(zhuān)題培優(yōu)

以二次根式為載體的材料閱讀題-專(zhuān)題培優(yōu)1．（郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+b2的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b6=（m+n6）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝（2）若a+43=（m+n3）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a（3）化簡(jiǎn)：7?21+2．（渝中區(qū)校級(jí)月考）先閱讀，再解答問(wèn)題：恒等變形，是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．例如：當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x3﹣x2為解答這道題，若直接把x=3方法：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：（1）若x=2?1，求2x3+4x2﹣3（2）已知x＝2+3，求x3．（碑林區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12?1，求3a2∵a=1∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：23?（2）若a=13+22，求2a24．（錦江區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=34x+11y=5解：將第二個(gè)方程，變形為4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一個(gè)方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一個(gè)方程，得x＝4．∴方程組的解為x=4y=?1請(qǐng)你解決下列兩個(gè)問(wèn)題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組3x?2y=59x?4y=19（2）已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足3x2?2xy+125．（興慶區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的材料，解答后面給出的問(wèn)題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如a與a，2+1與2有理化因式的方法就可以了，例如23=2（1）請(qǐng)你寫(xiě)出3+11的有理化因式：（2）請(qǐng)仿照上面給出的方法化簡(jiǎn)下列各式：①3?22②1?b1?b（b＞0，（3）已知a=15?2，b=6．（達(dá)川區(qū)校級(jí)月考）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)遇到一道題：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3∴a﹣2=?3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）13+（2）化簡(jiǎn)12（3）若a=15?2，求a4﹣4a37．（曲阜市期末）“雙劍合璧，天下無(wú)敵”，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也常有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：（2+3）（2?3）＝1，(5+2)(5像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化．解決下列問(wèn)題：（1）將12分母有理化得；2+1的有理化因式是（2）化簡(jiǎn)：25+（3）化簡(jiǎn)：128．（包河區(qū)校級(jí)期中）觀察、發(fā)現(xiàn)：12（1）試化簡(jiǎn)：13（2）直接寫(xiě)出：1n+1+（3）求值：129．（渝中區(qū)校級(jí)月考）材料一：《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高惟，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．材料二：恒等變形是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．例如當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x方法一：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代數(shù)式變形為關(guān)于（x﹣1）的表達(dá)式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2方法二：先將條件化成整式，再把等式兩邊同時(shí)平方，把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x10．（西湖區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a?2=?3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：2（2）若a=12?1，求代數(shù)式a11．（淮陽(yáng)縣校級(jí)月考）閱讀下面的文字再回答問(wèn)題甲、乙兩人對(duì)題目：“化簡(jiǎn)并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：的解答是錯(cuò)誤的；（2）解答錯(cuò)誤的原因是未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)？請(qǐng)用含字母a的式子表示這個(gè)性質(zhì)（3）請(qǐng)你正確運(yùn)用上述性質(zhì)解決問(wèn)題：當(dāng)3＜x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)x12．（灤南縣一模）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2∵a=12+∴a﹣2=?3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：2（2）若a=12?1，求3a213．（建平縣期末）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：例1：12例2：13+2=（1）16+5=（2）請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．1214．（淮安區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面計(jì)算過(guò)程：121315求：（1）17（2）1n+1+n（3）1215．（右玉縣期末）在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如53，23，22323以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．23+1（1）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)25（2）化簡(jiǎn)：13

以二次根式為載體的材料閱讀題-專(zhuān)題培優(yōu)（解析版）1．（郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+b2的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b6=（m+n6）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+n3）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a（3）化簡(jiǎn)：7?21+【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到（m+n6）2＝m2+6n2+26mn，從而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）∵（m+n6）2＝m2+6n2+26mn，a+b6=（m+n6）2∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為m2+6n2，2mn；（2）∵（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+n3）2∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+4則7?=7?2=6?2=(=52．（渝中區(qū)校級(jí)月考）先閱讀，再解答問(wèn)題：恒等變形，是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．例如：當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x3﹣x2為解答這道題，若直接把x=3方法：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：（1）若x=2?1，求2x3+4x2﹣3（2）已知x＝2+3，求x【分析】（1）變形已知條件得到x+1=2，兩邊平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整體代入的方法表示原式化為﹣x+1，然后把x（2）變形已知條件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整體代入的方法化簡(jiǎn)原式，從而得到原式的值．【解析】（1）∵x=2∴x+1=2∴（x+1）2＝2，即x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1，∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1＝2x﹣3x+1＝﹣x+1＝﹣（2?＝2?2（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴（x﹣2）2＝3，即x2﹣4x+4＝3，∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，∴原式==12（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5=12[12（4x﹣1）﹣48=12（48x﹣12﹣48=1=33．（碑林區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12?1，求3a2∵a=1∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：23?（2）若a=13+22，求2a2【分析】（1）分子、分母都乘以3+7（2）將a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，據(jù)此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入計(jì)算可得答案．【解析】（1）23?7=（2）∵a=13+22∴a﹣3＝﹣22，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，則2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．4．（錦江區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=34x+11y=5解：將第二個(gè)方程，變形為4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．然后把第一個(gè)方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入第一個(gè)方程，得x＝4．∴方程組的解為x=4y=?1請(qǐng)你解決下列兩個(gè)問(wèn)題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組3x?2y=59x?4y=19（2）已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足3x2?2xy+12【分析】（1）把第2個(gè)方程變形為3（3x﹣2y）+2y＝19，則利用整體代換消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程組的解；（2）利用整體代換的方法把原方程組轉(zhuǎn)化為方程組x+2y=5xy=2，再利用完全平方公式得到（1x?1【解析】（1）3x?2y=5①9x?4y=19②把②變形為9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．把①代入③，得3×5+2y＝19，∴y＝2．把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，∴x＝3．∴方程組的解為x=3y=2（2）3x把①變形為3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，∴xy＝2．把xy＝2代入②，得2x2+2+8y2＝36，∴x2+4y2＝17，∴x2+4xy+4y2＝17+8，即（x+2y）2＝25，∵x＞0，y＞0，∴x+2y＝5，∵（1x?12y∴1x?15．（興慶區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的材料，解答后面給出的問(wèn)題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如a與a，2+1與2有理化因式的方法就可以了，例如23=2（1）請(qǐng)你寫(xiě)出3+11的有理化因式：3?11（2）請(qǐng)仿照上面給出的方法化簡(jiǎn)下列各式：①3?22②1?b1?b（b＞0，（3）已知a=15?2，b=【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫(xiě)出3+11（2）①根據(jù)題目中的例子，可以將所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)；②根據(jù)題目中分母有理化的方法，可以將所求式子化簡(jiǎn)；（3）根據(jù)a=15?2，b=15+2，可以求得【解析】（1）由題意可得，3+11的有理化因式是3?故答案為：3?11（2）①3?223+22②∵1?b1?b（b＞0，∴1?b1?b=（3）∵a=15?2∴a+b＝25，ab＝1，∴a=(a+b=(2=20?2+7=25＝5．6．（達(dá)川區(qū)校級(jí)月考）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)遇到一道題：已知a=12+3，求2a2∵a=12+3∴a﹣2=?3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）13+2=（2）化簡(jiǎn)12（3）若a=15?2，求a4﹣4a3【分析】（1）利用分母有理化計(jì)算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先利用a=5+2得到a﹣2=5，兩邊平方得到a2【解析】（1）13故答案為3?（2）原式=2?=169＝13﹣1＝12；（3）∵a=1∴a﹣2=5∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3＝a2×1﹣4a+3＝a2﹣4a+3＝1+3＝4．7．（曲阜市期末）“雙劍合璧，天下無(wú)敵”，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也常有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：（2+3）（2?3）＝1，(5+2)(5像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化．解決下列問(wèn)題：（1）將12分母有理化得22；2+1的有理化因式是（2）化簡(jiǎn)：25+3=（3）化簡(jiǎn)：12【分析】（1）分子、分母都乘以2即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；（2）分子、分母都乘以5?（3）原式變形為2?1+【解析】（1）12（2+1）（2?1）＝（2）2﹣12＝2﹣1＝1，即2+故答案為：22，2（2）25故答案為：5?（3）原式=2?=100＝10﹣1＝9．8．（包河區(qū)校級(jí)期中）觀察、發(fā)現(xiàn)：12（1）試化簡(jiǎn)：13（2）直接寫(xiě)出：1n+1+n=（3）求值：12【分析】根據(jù)題目給出的過(guò)程即可求出答案．【解析】（1）原式=3（2）原式=(故答案為：n+1（3）由（2）可知：原式=2?＝﹣1+＝99．（渝中區(qū)校級(jí)月考）材料一：《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高惟，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．材料二：恒等變形是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．例如當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x方法一：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代數(shù)式變形為關(guān)于（x﹣1）的表達(dá)式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2方法二：先將條件化成整式，再把等式兩邊同時(shí)平方，把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，對(duì)所求式子變形即可解答本題；（2）根據(jù)題目中的例子，對(duì)所求式子變形即可解答本題．【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+1∴2a3﹣5a2﹣3+＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+＝﹣2a﹣1+3a﹣3+＝a﹣4+＝3﹣4＝﹣1；（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴x=x=3=3=3=3x(x?2)+15(x?2)?6?21=3=3=9?6=310．（西湖區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2∵a=∴a?2=?3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：2（2）若a=12?1，求代數(shù)式a【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（2）先化簡(jiǎn)a，即可得到a﹣1的值，從而可以求得所求式子的值．【解析】（1）25（2）∵a=1∴a﹣1=2∴a（a﹣1）＝（2+1）＝2+211．（淮陽(yáng)縣校級(jí)月考）閱讀下面的文字再回答問(wèn)題甲、乙兩人對(duì)題目：“化簡(jiǎn)并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：乙的解答是錯(cuò)誤的；（2）解答錯(cuò)誤的原因是未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)？請(qǐng)用含字母a的式子表示這個(gè)性質(zhì)（3）請(qǐng)你正確運(yùn)用上述性質(zhì)解決問(wèn)題：當(dāng)3＜x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)x【分析】根據(jù)已知材料，讀懂材料，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【解析】（1）乙的做法錯(cuò)誤．當(dāng)a=14時(shí)，1a故答案為：乙（2）當(dāng)a＜0時(shí)，a2（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．x2?14