專項(xiàng)18-菱形的性質(zhì)與判定-大題專練-專題培優(yōu)

菱形的性質(zhì)與判定-大題專練-專題培優(yōu)一．解答題（共27小題）1．（海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是AD上一點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．2．（南寧一模）如圖，AM∥BN，C是BN上一點(diǎn)，BD平分∠ABN且過(guò)AC的中點(diǎn)O，交AM于點(diǎn)D，DE⊥BD，交BN于點(diǎn)E．（1）求證：△ADO≌△CBO．（2）求證：四邊形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面積．3．（龍泉驛區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上任意一點(diǎn)，E是BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，CD．（1）求證：四邊形CDBF是平行四邊形；（2）如圖2，若D為AB中點(diǎn)，求證：四邊形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面積．4．（許昌期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC，連接BE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）填空：①當(dāng)∠ADC＝°時(shí)，四邊形ACEB為菱形；②當(dāng)∠ADC＝90°，BE＝4時(shí)，則DE＝．5．（門頭溝區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD至F，使DF＝AE，連接CF．（1）判斷四邊形EBCF的形狀，并證明；（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的長(zhǎng)．6．（吳中區(qū)一模）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，∠BAF＝∠DAE．（1）求證：AE＝AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．7．如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開(kāi)，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置，若平移開(kāi)始后點(diǎn)D'未到達(dá)B時(shí)，A'C'交CD于點(diǎn)E，D'C'交CB于點(diǎn)F，連接EF，CC'．（1）證明：在平移的過(guò)程中，△A'DE總是等腰三角形；（2）甲判斷：在平移的過(guò)程中．總有四邊形CEFC'是菱形．乙判斷：在平移的過(guò)程中，當(dāng)且僅當(dāng)A'是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEFC'是菱形．你認(rèn)為誰(shuí)的判斷正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的線段EF與一組對(duì)邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：AE＝CF；（2）若AB＝2，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．9．（越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周長(zhǎng)．10．（漳州期中）如圖，在菱形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且AE＝DE，連接CE．（1）求證：DE＝CE．（2）當(dāng)EA⊥AB于點(diǎn)A，AE＝ED＝1時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．11．（武昌區(qū)期中）如圖，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）若BC＝10，判斷四邊形AEDF的形狀并證明；（2）在（1）的條件下，若四邊形AEDF是正方形，求BD的長(zhǎng)；（3）若∠BAC＝60°，四邊形AEDF是菱形，則BD＝．12．（鄂城區(qū)校級(jí)月考）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE＝AF，連接并延長(zhǎng)EF，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的長(zhǎng)．13．（沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖1，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，E是BC上的點(diǎn)，連接AE且AE＝AC．（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)C作CH⊥AB于H，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，連接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求證：3AH＝AB．14．（桂林）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD15．（新華區(qū)校級(jí)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD邊上一點(diǎn)，作等邊△BEF，連接AF．（1）求證：CE＝AF；（2）EF與AD交于點(diǎn)P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度數(shù)．16．（株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的長(zhǎng)．17．（睢縣期中）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，連接BE．（1）如圖1，求證：∠AFD＝∠EBC；（2）如圖2，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù)．18．（鄞州區(qū)模擬）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，連結(jié)AE，CF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若四邊形AECF為菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求?ABCD的面積．19．（文成縣二模）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC，CD上，且CE＝CF．（1）求證：△ABE≌△ADF．（2）若∠BAE＝∠EAF＝40°，求∠AEB的度數(shù)．20．（高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)BD邊的中點(diǎn)G時(shí)，求證：△DGE≌△BGF；（2）四點(diǎn)A、C、F、E能否組成平行四邊形？若能，求出t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（天心區(qū)校級(jí)期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝AF，連結(jié)CF，EA，AC，延長(zhǎng)EA交CF于點(diǎn)G．（1）求證：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度數(shù)．22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P為射線AC上一點(diǎn)，E為射線BC上一點(diǎn)，且PD＝PE．（1）如圖1，①求證：∠DPE＝60°．②求證：AP＝CE，③求證：CP+CE＝CD；（2）在圖2中，（1）中的三個(gè)結(jié)論是否仍都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（新都區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG，如圖1所示．（1）證明平行四邊形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連結(jié)BG、CG、DG，如圖2所示，①求證：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中點(diǎn)，如圖3所示，求DM的長(zhǎng)．24．（秦淮區(qū)期末）已知：如圖，在?ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、O、F分別是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，順次連接G、E、H、F．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當(dāng)?ABCD滿足條件時(shí)，四邊形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四邊形GEHF的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)AB＝2，∠ABD＝120°時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形GEHF的面積．25．（江都區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如圖①，若點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且BE＝AF．求證：△CEF是等邊三角形；（2）小明發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且∠CEF＝60°時(shí)△CEF也是等邊三角形，并通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證了猜想；小麗通過(guò)探索，認(rèn)為應(yīng)該以CE＝EF為突破口構(gòu)造兩個(gè)三角形全等；小倩受到小麗的啟發(fā)，嘗試在BC上截取BM＝BE，連接ME，如圖②，很快就證明了△CEF是等邊三角形，請(qǐng)你根據(jù)小倩的方法，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．26．（海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE＝AF，連接EF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的長(zhǎng)．27．（贛州期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．

菱形的性質(zhì)與判定-大題專練-專題培優(yōu)（解析版）一．解答題（共27小題）1．（海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是AD上一點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．【分析】（1）由“AAS”證△AOE≌△COF，得OF＝OE，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再證CE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OE=3AO=3，則EF＝2OE＝2【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，∠AEF=∠CFE∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO=12∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE=3AO=∴EF＝2OE＝23，∴四邊形AFCE的面積=12AC×EF=12×2．（南寧一模）如圖，AM∥BN，C是BN上一點(diǎn)，BD平分∠ABN且過(guò)AC的中點(diǎn)O，交AM于點(diǎn)D，DE⊥BD，交BN于點(diǎn)E．（1）求證：△ADO≌△CBO．（2）求證：四邊形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）由ASA即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證明AD＝AB，即可得出結(jié)論；（3）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，證明四邊形ACED是平行四邊形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性質(zhì)得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═42【解析】解：（1）證明：∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCOAO=CO∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）證明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四邊形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=B∴S菱形ABCD3．（龍泉驛區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上任意一點(diǎn)，E是BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF，CD．（1）求證：四邊形CDBF是平行四邊形；（2）如圖2，若D為AB中點(diǎn)，求證：四邊形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面積．【分析】（1）欲證明四邊形CDBF是平行四邊形只要證明CF∥DB，CF＝DB即可；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得AD＝CD＝DB，即可證四邊形CDBF是菱形；（3）如圖，作EM⊥DB于點(diǎn)M，解直角三角形即可；【解析】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中點(diǎn)，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四邊形CDBF是平行四邊形．（2）∵D為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四邊形CDBF是平行四邊形，∴四邊形CDBF是菱形，（3）如圖，作EM⊥DB于點(diǎn)M，在Rt△EMB中，EM＝BE?sin∠ABC＝22，∴BM＝22在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM=3ME＝26∴BD＝26+2∴△BDE面積=12×BD×ME=12×224．（許昌期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC，連接BE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）填空：①當(dāng)∠ADC＝60°時(shí)，四邊形ACEB為菱形；②當(dāng)∠ADC＝90°，BE＝4時(shí)，則DE＝42．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．【解析】（1）證明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）①當(dāng)∠ADC＝60°，四邊形ACEB為菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴CE＝BE，∴四邊形ACEB為菱形，故答案為：60；②當(dāng)∠ADC＝90°，BE＝4時(shí)，DE＝42，故答案為：42．5．（門頭溝區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD至F，使DF＝AE，連接CF．（1）判斷四邊形EBCF的形狀，并證明；（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形EBCF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出即可．【解析】（1）四邊形EBCF是矩形，證明：∵四邊形ABCD菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵DF＝AE，∴DF+DE＝AE+DE，即：EF＝AD，∴EF＝BC，∴四邊形EBCF是平行四邊形，又∵BE⊥AD，∴∠BEF＝90°．∴四邊形EBCF是矩形；（2）∵四邊形ABCD菱形，∴AD＝CD．∵四邊形EBCF是矩形，∴∠F＝90°，∵AF＝9，CF＝3，∴設(shè)CD＝x，則DF＝9﹣x，∴x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5，∴CD＝5．6．（吳中區(qū)一模）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，∠BAF＝∠DAE．（1）求證：AE＝AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求證：△AEF為等邊三角形．【分析】（1）首先利用菱形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠B＝∠D，進(jìn)而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出△ABC和△ACD都是等邊三角形，進(jìn)而得出∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，求出△AEF為等邊三角形．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAF，在△ABE和△ADF中，∠B=∠DAB=AD∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；（2）解：連接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB＝AC＝AD，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，又∵AE＝AF，∴△AEF是等邊三角形．7．如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開(kāi)，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置，若平移開(kāi)始后點(diǎn)D'未到達(dá)B時(shí)，A'C'交CD于點(diǎn)E，D'C'交CB于點(diǎn)F，連接EF，CC'．（1）證明：在平移的過(guò)程中，△A'DE總是等腰三角形；（2）甲判斷：在平移的過(guò)程中．總有四邊形CEFC'是菱形．乙判斷：在平移的過(guò)程中，當(dāng)且僅當(dāng)A'是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEFC'是菱形．你認(rèn)為誰(shuí)的判斷正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先證明CD＝DA＝DB，得到∠DAC＝∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E＝∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀；（2）同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，得出EC＝C'F，證出四邊形CEFC'是平行四邊形，又由C'C＝EC，即可得出四邊形CEFC'是菱形．【解析】（1）證明：∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形；（2）解：甲的判斷正確；理由如下：同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，∴EC＝C'F，∵CD∥C'D'，∴四邊形CEFC'是平行四邊形，又∵C'C＝EC，∴四邊形CEFC'是菱形．8．（朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的線段EF與一組對(duì)邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：AE＝CF；（2）若AB＝2，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，可得AB∥CD，OA＝OC，繼而證得△AOE≌△COF，則可證得結(jié)論．（2）利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．在△OAE和△OCF中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF；（2）∵E是AB中點(diǎn)，∴BE＝AE＝CF．∵BE∥CF，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∵AB＝2，∴EF＝BC＝AB＝2．9．（越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB∥CD，AC⊥BD，再證明DE∥AC，然后根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出AD＝CD=AO2+DO2=10，再由平行四邊形的性質(zhì)得出AE＝CD【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=A∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．10．（漳州期中）如圖，在菱形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且AE＝DE，連接CE．（1）求證：DE＝CE．（2）當(dāng)EA⊥AB于點(diǎn)A，AE＝ED＝1時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）證△ABE≌△CBE（SAS），即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于H，先由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，然后利用直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE．（2）解：如圖，連接AC交BD于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH=3∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH=3AH∴AH=32，AB＝2AH即菱形的邊長(zhǎng)為3．11．（武昌區(qū)期中）如圖，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）若BC＝10，判斷四邊形AEDF的形狀并證明；（2）在（1）的條件下，若四邊形AEDF是正方形，求BD的長(zhǎng)；（3）若∠BAC＝60°，四邊形AEDF是菱形，則BD＝6137【分析】（1）首先判定平行四邊形，然后證明一個(gè)內(nèi)角為90°，從而判定矩形；（2）首先根據(jù)面積法求得DE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)面積求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的長(zhǎng)．【解析】解：（1）AEDF是矩形，理由如下∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，由勾股定理得∠BAC＝90°∵DE∥AF、DF∥AE，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形；（2）由（1）得，當(dāng)DE＝DF時(shí)，四邊形AEDF是正方形．設(shè)DE＝DF＝x，建立面積方程S△ABC=12AC?BD=12DE（即：12×6×8=解得：x=24∴DE＝AE=247，BE＝AB﹣AE在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD=B（3）依題意得，當(dāng)AD是∠BAC角平分線時(shí)，四邊形AEDF是菱形．點(diǎn)B作AC的垂線段交于點(diǎn)G，又∵∠BAG＝60°，∴AG＝3，CG＝5，BG=33由勾股定理得：BC=213∵AD平分∠BAC，∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，即BD：CD＝3：4．∴BD=6故答案為：61312．（鄂城區(qū)校級(jí)月考）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE＝AF，連接并延長(zhǎng)EF，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EG∥BD，根據(jù)對(duì)邊分別平行證明是平行四邊形即可．（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解析】證明：（1）連接AC，如圖1：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四邊形EGBD是平行四邊形．（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝2，∴AB＝AD＝4，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝23，BH＝2．∴GH＝4，∴AG=AH213．（沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖1，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，E是BC上的點(diǎn)，連接AE且AE＝AC．（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)C作CH⊥AB于H，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，連接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求證：3AH＝AB．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝75°，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，則∠BEF＝60°，由AE＝AC，得出∠ACE＝∠AEC＝75°，則∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝45°，推出△AEF是等腰直角三角形，得出AE=2EF，由含30°直角三角形的性質(zhì)得出EF（2）在線段AB上取點(diǎn)G，使BG＝BE，由ASA證得△BAE≌△DAF，得出BE＝DF，AE＝AF，推出BG＝DF，由SAS證得△CBG≌△BAE，得出CG＝AE＝AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出AH＝HG，證出AH＝HG＝BG，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝30°，∴∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，如圖1所示：則∠BEF＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=2EF在Rt△BEF中，EF=12BE∴AC＝AE＝22；（2）證明：在線段AB上取點(diǎn)G，使BG＝BE，如圖2所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC，在△BAE和△DAF中，∠B=∠DAB=AD∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴BG＝DF，在△CBG和△BAE中，BG=BE∠B=∠B∴△CBG≌△BAE（SAS），∴CG＝AE＝AC，∵CH⊥AB，∴AH＝HG，∵AH＝DF，BG＝DF，∴AH＝HG＝BG，∴3AH＝AB．14．（桂林）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD【分析】（1）由SAS證明△ABE≌△ADF即可；（2）證△ABD是等邊三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠A=∠A∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：連接BD，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝33BE＝1，AB＝2AE∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×3=215．（新華區(qū)校級(jí)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD邊上一點(diǎn)，作等邊△BEF，連接AF．（1）求證：CE＝AF；（2）EF與AD交于點(diǎn)P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°和等邊△BEF，可以證明△FAB≌△ECB，進(jìn)而可得CE＝AF；（2）延長(zhǎng)FA交BE于點(diǎn)G，結(jié)合（1）根據(jù)三角形的外角定義可得∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即可求出∠CBE的度數(shù)．【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵△BEF是等邊三角形，∴FB＝EB，∠FBE＝60°，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBA＝∠EBC，∴△FAB≌△ECB（SAS），∴CE＝AF；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，延長(zhǎng)FA交BE于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的外角定義可知：∠GAD＝∠AFP+∠APF，∠BAG＝∠AFB+∠ABF，∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即120°＝60°+46°+∠CBE，∴∠CBE＝14°．答：∠CBE的度數(shù)為14°．16．（株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得AO＝CO，對(duì)邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE＝∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠DAO＝30°，然后求出∠AEF＝90°，然后求出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCFAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD＝60°，∴∠DAO=12∠BAD∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝30°，∴OD=12AD∴AO=AD∴AE＝CF=3∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60°，∴高EF＝2×3在Rt△CEF中，CE=EF17．（睢縣期中）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，連接BE．（1）如圖1，求證：∠AFD＝∠EBC；（2）如圖2，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù)．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂直的定義得出∠DAB的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴DC＝CB，在△DCE和△BCE中DC=CB∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC＝∠EBC，由DC∥AB得，∠EDC＝∠AFD，∴∠AFD＝∠EBC；（2）解：∵DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，設(shè)∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝x°，則∠CBF＝2x°，由BE⊥AF得：2x+x＝90°，解得：x＝30°，∴∠DAB＝60°．18．（鄞州區(qū)模擬）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，連結(jié)AE，CF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若四邊形AECF為菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求?ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF與EC平行且相等，進(jìn)而可以證明四邊形AECF是平行四邊形；（2）根據(jù)四邊形AECF為菱形，∠AFC＝120°，可以證明△ABE是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出?ABCD的面積．【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF，又∵EC∥AF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）∵四邊形AECF為菱形，∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，∴∠AEB＝60°，∵BE＝CE＝4，∴AE＝BE＝4，∴△ABE是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，∴AG＝AB?sin∠B＝23，∵BC＝BE+EC＝8，∴?ABCD的面積＝BC?AG＝8×23=16319．（文成縣二模）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC，CD上，且CE＝CF．（1）求證：△ABE≌△ADF．（2）若∠BAE＝∠EAF＝40°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△ADF；（2）由（1）可得：∠BAE＝∠DAF＝40°，由菱形的性質(zhì)可求∠B＝60°，進(jìn)而可求出∠AEB的度數(shù)．【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∵CE＝CF，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS）（2）∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝40°，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠EAF＝120°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝80°．20．（高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)BD邊的中點(diǎn)G時(shí)，求證：△DGE≌△BGF；（2）四點(diǎn)A、C、F、E能否組成平行四邊形？若能，求出t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題意得到BG＝DG，再由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；（2）分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE＝CF時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBG，∠DEG＝∠BFG，∵G為BD的中點(diǎn)，∴BG＝DG，∵在△GDE和△GBF中，∠EDG=∠FBG∠DEG=∠BFG∴△DGE≌△BGF（AAS）；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BC﹣BF＝5﹣2t（cm），∵AD∥BC，∴當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形AFCE是平行四邊形，即t＝5﹣2t，解得：t=5②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），∵AD∥BC，∴當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，即t＝2t﹣5，解得：t＝5；綜上可得：當(dāng)t=53或5s時(shí)，以A、C、E、21．（天心區(qū)校級(jí)期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝AF，連結(jié)CF，EA，AC，延長(zhǎng)EA交CF于點(diǎn)G．（1）求證：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度數(shù)．【分析】（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BF，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）由（1）知△ABC是等邊三角形，△ACE≌△CBF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E＝∠F，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．【解析】（1）證明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，CE=BF∠ACB=∠ABC∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等邊三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠FAG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P為射線AC上一點(diǎn)，E為射線BC上一點(diǎn)，且PD＝PE．（1）如圖1，①求證：∠DPE＝60°．②求證：AP＝CE，③求證：CP+CE＝CD；（2）在圖2中，（1）中的三個(gè)結(jié)論是否仍都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）①只需說(shuō)明∠CEP＝∠CDP即可；②連接DE，證明△ADP與△CDE全等即可；③延長(zhǎng)CE至F，使EF＝CP，連接DF，依次去證明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．（2）①②證明方法與（1）大致相同，③延長(zhǎng)CD至F，使DF＝CP，連接EF，然后依次去證明△ADP≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC與△ADC均為等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC＝60°，AC＝CD＝DA＝AB＝BC，②如圖1，連接BP，則BP＝DP，∠CBP＝∠CDP，∵PD＝PE，∴PB＝PE，∴∠CBP＝∠CEP，∴∠CEP＝∠CDP，∴∠DPE＝∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°．連接DE，則△PDE是等邊三角形，∴DE＝DP，∠PDE＝60°＝∠ADC，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中：AD=CD∠ADP=∠CDE∴△ADP≌△CDE（SAS），∴AP＝CE．③延長(zhǎng)CE至F，使EF＝CP，連接DF．∵∠PDE＝60°，∠PCE＝120°，∴∠PDE+∠PCE＝180°，∴∠DPC+∠DEC＝180°，∵∠DEC+∠DEF＝180°，∴∠DPC＝∠DEF，在△DPC和△DEF中：DP=DE∠DPC=∠DEF∴△DPC≌△DEF（SAS），∴DC＝DF，∵∠DCE＝60°，∴△DCF是等邊三角形，∴DC＝CF＝CE+EF＝CE+CP．（2）結(jié)論①②仍然成立，結(jié)論③變?yōu)镃E＝CP+CD．①如圖2，連接PB，則PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，∵PD＝PE，∴PB＝PE，∴∠PBC＝∠PCE＝∠PDC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°．②連接DE，則△PDE是等邊三角形，∴DP＝DE＝PE，∠PDE＝60°，∵∠ADC＝60°，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中：AD=CD∠ADP=∠CDE∴△ADP≌△CDE（SAS），∴AP＝CE．③延長(zhǎng)CD至F，使DF＝CP，連接EF．∵∠DEP＝60°，∠DCP＝∠DCE+∠PCE＝∠ACB+∠DCE＝120°，∴∠DEP+∠DCP＝180°，∴∠CDE+∠CPE＝180°，∵∠CDE+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝∠EPC，在△EPC和△EDF中：EP=ED∠EPC=∠EDF∴△EPC≌△EDF（SAS），∴EF＝EC，∵∠ECF＝60°，∴△ECF為等邊三角形，∴CE＝CF＝CD+DF＝CD+CP．23．（新都區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG，如圖1所示．（1）證明平行四邊形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連結(jié)BG、CG、DG，如圖2所示，①求證：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中點(diǎn)，如圖3所示，求DM的長(zhǎng)．【分析】（1）平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CEF＝∠CFE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE＝CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形，即可解決問(wèn)題；（2）先判斷出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判斷出AB＝BE，進(jìn)而得出BE＝CD，即可判斷出△BEG≌△DCG（SAS），再判斷出∠CGE＝60°，進(jìn)而得出△BDG是等邊三角形，即可得出結(jié)論；（3）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根據(jù)∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四邊形ECFG是平行四邊形，∴四邊形ECFG為菱形；（2）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四邊形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG=12∠∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等邊三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等邊三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如圖3中，連接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，∠ECF＝90°，∴四邊形ECFG為正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵BE=CD∠BEM=∠DCM∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝265，∴DM=22BD方法二：過(guò)M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，∠ECF＝90°，∴四邊形ECFG為正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵M(jìn)H∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH=12∴MH=12∴DH＝11，∴DM=124．（秦淮區(qū)期末）已知：如圖，在?ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、O、F分別是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，順次連接G、E、H、F．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當(dāng)?ABCD滿足AB⊥BD條件時(shí)，四邊形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四邊形GEHF的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)AB＝2，∠ABD＝120°時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形GEHF的面積．【分析】（1）連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，證出GF為△AOD的中位線，由三角形中位線定理得出GF∥OA，GF=12OA，同理：EH∥OC，EH=12OC，得出EH＝GF，（2）連接GH，證出四邊形ABHG是平行四邊形，再證明GH⊥EF，即可得出四邊形GEHF是菱形；（3）①由（2）得：四邊形GEHF是平行四邊形，得出GH＝AB，證出GH＝EF，即可得出四邊形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，則AM∥GN，證出GN是△ADM的中位線，得出GN=12AM，證出∠BAM＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出BM=12AB＝1，AM=3BM=3，得出GN=32，求出△【解析】（1）證明：連接AC，如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中點(diǎn)在AC上，∵E、O、F分別是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，∴E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，∵G是AD的中點(diǎn)，∴GF為△AOD的中位線，∴GF∥OA，GF=12同理：EH∥OC，EH=12∴EH＝GF，EH∥GF，∴四邊形GEHF是平行四邊形；（2）解：當(dāng)?ABCD滿足AB⊥BD條件時(shí)，四邊形GEHF是菱形；理由如下：連接GH，如圖2所示：則AG＝BH，AG∥BH，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四邊形GEHF是菱形；故答案為：AB⊥BD；（3）解：①四邊形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四邊形GEHF是平行四邊形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB=12BD＝∴GH＝EF，∴四邊形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如圖3所示：則AM∥GN，∵G是AD的中點(diǎn)，∴GN是△ADM的中位線，∴GN=12∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM=12AB＝1，AM=3∴GN=3∵BD＝2AB＝4，∴EF=