專題12 反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用（講義）（5考點(diǎn)+28題型）

第12講反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一反比例函數(shù)的相關(guān)概念 3題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系 3題型02判斷反比例函數(shù) 4題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值 4考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5題型01判斷反比例函數(shù)圖象 6題型02反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征 7題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式 8題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì) 9題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值 9題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限 10題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍 10題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值 10題型09由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小 11題型10求反比例函數(shù)解析式 11題型11與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究問題 12考點(diǎn)三反比例系數(shù)k的幾何意義 15題型01一點(diǎn)一垂線 18題型02一點(diǎn)兩垂線 21題型03兩點(diǎn)一垂線 21題型04兩點(diǎn)兩垂線 23題型05兩點(diǎn)和原點(diǎn) 24題型06兩曲一平行 26考點(diǎn)四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 31題型01一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合 31題型02一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題 32題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用 35考點(diǎn)五反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 38題型01行程問題 38題型02工程問題 39題型03物理問題 40題型04分段問題 44題型05幾何問題 47考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)反比例函數(shù)相關(guān)概念理解與掌握反比例函數(shù)相關(guān)概念.反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會(huì)考，總分值為15分左右，?？伎键c(diǎn)為:反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)k的幾何意義、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及反比例函數(shù)的應(yīng)用與綜合題等.其中前三個(gè)考點(diǎn)多以選擇、填空題的形式出題，后三個(gè)考點(diǎn)則是基礎(chǔ)解答題以及壓軸題的形式出題.在填空題中,對(duì)反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題,多數(shù)題目的技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)中需要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義類問題.綜合反比例函數(shù)以上特點(diǎn)，考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，需要準(zhǔn)備堂握其各性質(zhì)規(guī)律，并日多注意其與幾何圖形結(jié)合題的思考探究.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)能畫反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx(k≠0)探索并理解k>0和k能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.反比例系數(shù)k的幾何意義理解與掌握反比例系數(shù)k的幾何意義.反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題

考點(diǎn)一反比例函數(shù)的相關(guān)概念1、反比例函數(shù)的概念：一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、2、反比例函數(shù)解析式的特征:①等號(hào)左邊是函數(shù)y，等號(hào)右邊是一個(gè)分式；②k≠0；③分母中含有自變量x，且指數(shù)為1.易混易錯(cuò)1.反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的自變量x的取值為一切非零實(shí)數(shù)，函數(shù)2.反比例函數(shù)的表達(dá)式中，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項(xiàng)式，只能是x的一次單項(xiàng)式．3.反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積是定值k.題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系【例1】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即F1L1=F2L

A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【變式1-1】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量：①矩形的面積一定，一邊長(zhǎng)y與它的鄰邊x；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總?cè)丝趎；③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時(shí)間t．其中，兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一學(xué)校校考二模）右圖是一種古代計(jì)時(shí)裝置（稱為“漏刻”）的示意圖：水從上面的貯水壺慢慢漏入下方的受水壺中，假設(shè)漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標(biāo)尺就會(huì)均勻升高，那么，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的刻度來反映浮子的高度從而計(jì)時(shí)．現(xiàn)向貯水壺內(nèi)注水，則在受水壺注滿水之前，浮子的高度與對(duì)應(yīng)注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．無法確定題型02判斷反比例函數(shù)【例2】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=?3x B．y=?32x C．【變式2-1】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）下面四個(gè)函數(shù)中，圖象為雙曲線的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值【例3】（2022上·山東棗莊·九年級(jí)?？计谀┮阎瘮?shù)y=(m+1)xm2?5是關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值是【變式3-1】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）已知反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）、（m，n），則mn的值為_________【變式3-2】（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎c(diǎn)A(?2,m?1)在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，則m=________．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)統(tǒng)考二模）如果反比例函數(shù)y=k?1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)?2,1，則k的值是（A．1 B．?2 C．?1 D．3

考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=±x，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經(jīng)過象限一、三象限（x、y同號(hào)）二、四象限（x、y異號(hào)）增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱性①圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上;②圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（b，a）在雙曲線的另一支上;③圖象關(guān)于直線y=?即：反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=±x成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對(duì)x，y的值帶入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設(shè)解析式中.【說明】由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．易混易錯(cuò)1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)，一定要有“在其每個(gè)象限內(nèi)”這個(gè)前提．當(dāng)k＞0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k＜0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．2.反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由常數(shù)k的符號(hào)決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。3.雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，一般不說兩個(gè)分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．題型01判斷反比例函數(shù)圖象【例1】（2022·黑龍江綏化·校考三模）當(dāng)長(zhǎng)方形的面積S是常數(shù)時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a與寬b之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（

）A． B． C． D．

【變式1-1】（2023·安徽亳州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始終保持∠PAQ=100°．設(shè)BP=x，CQ=y（）A． B．C． D．

【變式1-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，設(shè)EF=x，BF=y，假設(shè)x、y能組成函數(shù)，則y與x的函數(shù)的圖象為（

）A． B． C． D．

【變式1-3】（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）參照學(xué)習(xí)函數(shù)y=2x的過程與方法，探究函數(shù)x…?2?101132537456…y=…?1?2■4241424121…y=…???1m?2?4■424121…

(1)m=__________________．(2)請(qǐng)畫出函數(shù)y=2(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而___________；（填“增大”或“減小”）②y=2x?2的圖象是由③圖象關(guān)于點(diǎn)__________中心對(duì)稱．（填點(diǎn)的坐標(biāo)）題型02反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征【例2】（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)y=2x圖象上的是（A．?1,2 B．2,?1 C．1,3 D．?1,?2【變式2-1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)在同一反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則不在這個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（A．1,6 B．?12,12， C．?2,?3【變式2-2】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A，B兩點(diǎn)，若A2，A．2,2 B．?2,?1 C．?2,?2 D．?1,?4【變式2-3】（2019·吉林長(zhǎng)春·中考模擬）如圖，函數(shù)y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的圖象將第一象限分成了A、B、C三個(gè)部分．下列各點(diǎn)中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【變式2-4】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，a≠0）與反比例函數(shù)y=?2x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1,m，則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為【變式2-5】（2022·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=2x與雙曲線y=kx相交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A2,m，則點(diǎn)B【變式2-6】（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=kx與雙曲線y=k+6x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_____．題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式【例3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，下列解析式能表示圖中變量x，y之間關(guān)系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【變式3-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)Pa,b，若ab>0，則稱點(diǎn)P為“同號(hào)點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上不存在“同號(hào)點(diǎn)”，其函數(shù)表達(dá)式可以是____題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)【例4】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)y=?5A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交 D．圖象必經(jīng)過點(diǎn)3【變式4-1】（2022·江西九江·?？级＃╆P(guān)于反比例函數(shù)y=kxk≠0A．該函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形B．當(dāng)k<0時(shí)，該函數(shù)的圖象在第二、四象限C．該函數(shù)的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值【例5】（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=kx（k≠0）的圖象如圖所示，則k的值可能是（

）

A．5 B．12 C．?5 D．?12【變式5-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象如圖所示，則k的值可能是（

A．?2 B．1 C．3 D．5題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限【例6】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0），當(dāng)x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【變式6-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）當(dāng)k>2時(shí)，反比例函數(shù)y=k?2x的圖象位于（A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【變式6-2】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)圖象中，可能是反比例函數(shù)y=6x的圖象的是（A． B． C． D．

題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍【例7】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)y=a+3x的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則A．a(chǎn)≥?3 B．a(chǎn)>?3 C．a(chǎn)≤?3 D．a(chǎn)<?3【變式7-1】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）在反比例函數(shù)y=3m+1x圖象上有兩點(diǎn)Ax1,y1，BA．m≤?13 B．m>?13 C．【變式7-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）若點(diǎn)m?1,y1和m+1,y2在y=kxk>0的圖象上，若yA．m>1或m<?1 B．?1<m<1C．?1<m<0或0<m<1 D．m≠±1【變式7-3】（2022上·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若反比例函數(shù)y=3k?2x在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則k的值可能是（A．?1 B．0 C．12 題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值【例8】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y1=kx,y2=?kx(k>0)，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y1的最大值為【變式8-1】（2023·陜西咸陽·二模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，則k【變式8-2】已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y的最大值與最小值之差是4，則題型09由反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例9】（2023·廣東東莞·校聯(lián)考一模）若點(diǎn)A?2,y1、B?1,yA．y1<y2<y3 B．y2<【變式9-1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）若點(diǎn)Ax1，y1、BA．y1<y2<y3 B．y3<【變式9-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知Ax1,y1A．y1+y2>0 B．y1【變式9-3】（2022·河北邯鄲·?？既＃┮阎幢壤瘮?shù)y=kx的圖象在第一、第三象限內(nèi)，設(shè)函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)Ax1,y1、Bx2A．y1>y2 B．y1【變式9-4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知Ax1,y1，Bx2,yA．若x1x2>0，則y2C．若x1x3<0，則y2題型10求反比例函數(shù)解析式【例10】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知A?1,p與B2,p?3是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則【變式10-1】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)?2,a、2,b，且a?b=?6，則k=_______【變式10-2】（2023·廣東廣州·?？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=kx的圖象上有一點(diǎn)Pa，b，且a、b是方程t【變式10-3】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過a,2，a+1,1、(b【變式10-4】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=?x+3與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CB⊥x軸于點(diǎn)B題型11與反比例函數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究問題【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OAP1B的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)P1在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，過P1A的中點(diǎn)B1作矩形B1AA（1）點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2）作出矩形B18A17A18【變式11-1】（2023上·湖南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在反比例函數(shù)y=4x的圖象上有A2,m、B兩點(diǎn)，連接AB，過這兩點(diǎn)分別作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、D，已知BD=12AC，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接AF1、BF1，得到△AF1B【變式11-2】（2021上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)的整點(diǎn)稱為邊整點(diǎn)，如圖，第一個(gè)正方形有4個(gè)邊整點(diǎn)，第二個(gè)正方形有8個(gè)邊整點(diǎn)，第三個(gè)正方形有12個(gè)邊整點(diǎn)…按此規(guī)律繼續(xù)作下去，若從內(nèi)向外共作了5個(gè)這樣的正方形，那么其邊整點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有____個(gè)，這些邊整點(diǎn)落在函數(shù)y=4x的圖象上的概率是________【變式11-3】（2020上·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，???的邊OE1，

（1）第1個(gè)等邊三角形△OD1E1的周長(zhǎng)C1=______；第2個(gè)等邊三角形△E1D（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想第n（n是正整數(shù)）個(gè)等邊三角形△En?1D（3）計(jì)算：C1【變式11-4】（2023·江蘇徐州·?？既＃┤鐖D，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3，過點(diǎn)A1，A2，A3A．11012 B．12023 C．12024

考點(diǎn)三反比例系數(shù)k的幾何意義1、一點(diǎn)一垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、與另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成的三角形面積為12【拓展一】【拓展二】【拓展三】(前提：OA=AC)結(jié)論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k2、一點(diǎn)兩垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線圍成的矩形面積為k.【拓展一】【拓展二】【拓展三】結(jié)論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k3、兩點(diǎn)一垂線【模型結(jié)論一】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，結(jié)論：S△ABC=2S△ABO=k【模型結(jié)論二】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等于坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和．如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=k則S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=k則S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+4、兩點(diǎn)兩垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|5、兩點(diǎn)和原點(diǎn)方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)M，BF⊥x軸于點(diǎn)F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補(bǔ)形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xA|-|xB|【拓展】方法一：當(dāng)AD/AC(或BD/BF)＝m時(shí)，則S四邊形OADB＝m|k|．方法二：作AE⊥x軸于E，則S△OAB＝S直角梯形AEFB（類型一）．6、兩曲一平行【模型講解】?jī)蓷l雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)圍成的圖形面積，過這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合k的幾何意義求解．類型一兩條雙曲線的k值符號(hào)相同結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號(hào)相同結(jié)論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2以下題型均包括兩種類型：已知比例系數(shù)求特殊圖形面積、以及圖形面積求比例系數(shù)題型01一點(diǎn)一垂線【例1】如圖，A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上一點(diǎn)，AB⊥y軸于B，點(diǎn)C在x軸上，若△ABC面積為2，則k的值為（

A．?4 B．1 C．2 D．4【變式1-1】（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等腰直角三角形OAB的斜邊OB在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，△AOB的面積為4，則k

A．?8 B．8 C．?4 D．4【變式1-2】（2022上·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）若圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為y=4x，則陰影部分面積為2的是（A．B．C．D．【變式1-3】（2022·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在y=1x的圖象上有兩點(diǎn)A、C，過這兩點(diǎn)分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OC，記△ABO、△CDO的面積S1，S2，則S1

A．S1>S2 B．S1【變式1-4】（2023·廣西北海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，P1?1,4、P2?2,2、P3?4,1是雙曲線上的三點(diǎn)，過這三點(diǎn)分別作y軸的垂線，得到三個(gè)三角形△P1A1O、△P2A2O、

A．S1=S2=S3 【變式1-5】（2020·吉林四平·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的圖象將第一象限分成三個(gè)區(qū)域，點(diǎn)M是②區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，MN⊥x軸于點(diǎn)N，則△A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．【變式1-6】（2020下·山西太原·九年級(jí)太原五中校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，BA⊥x軸于點(diǎn)A，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象與線段AB相交于點(diǎn)C，且C是線段AB的中點(diǎn)，若ΔOAB的面積為3，則k【變式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，A，B是反比例函數(shù)y=9x圖象上的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作x軸的垂線．已知A．3 B．7 C．8 D．9題型02一點(diǎn)兩垂線【例2】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上，成C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，OA=1，OC=6，則正方形

A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上有點(diǎn)P1,P2,P3，它們的縱坐標(biāo)依次為6，2，1，分別過這些點(diǎn)作x軸與A．3 B．4 C．5 D．6題型03兩點(diǎn)一垂線【例3】（2023上·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y=mx與雙曲線y=kx交于A、B兩點(diǎn)．過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，連結(jié)BM．若S△ABM=2，則A．2 B．m?2 C．m D．4【變式3-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)Am，1和B?2，n都在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，過點(diǎn)A分別向x軸y軸作垂線，垂足分別是M、N，連接OA、OB、AB，若四邊形OMAN的面積記作A．S1:SC．S1:S【變式3-2】（2022下·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=mx（m≠0，m為常數(shù)）與雙曲線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）交于點(diǎn)A，B，若A(?1,a),B(b,?3).，過點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM,，則A．2 B．m?1 C．3 D．6【變式3-3】（2019下·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連結(jié)BC.若（1）求k的值；（2）直接寫出：①點(diǎn)A坐標(biāo)____________；點(diǎn)B坐標(biāo)_____________；②當(dāng)kx≤2x時(shí)，（3）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型04兩點(diǎn)兩垂線【例4】（2023·吉林長(zhǎng)春·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB∥x軸，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象上，若?ABCDA．10 B．15 C．20 D．25【變式4-1】（2021·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線y＝mx?（m＞0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交雙曲線y＝nx?（n＜0）于點(diǎn)B，作AC∥y軸，交雙曲線y＝nx?（n＜0）于點(diǎn)C，連接BC．若△ABC的面積為?92，則A．m＝19?，n＝﹣109? B．m＝14?，nC．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【變式4-2】（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B是函數(shù)y=mx（m＞0）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，BC∥x軸，AC∥y軸，△ABCA．S=m B．S=2m C．m<S<2m D．S>2m題型05兩點(diǎn)和原點(diǎn)【例5】（2023·遼寧營(yíng)口·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象與邊長(zhǎng)是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點(diǎn)，△OMN的面積為10．則k

A．12 B．10 C．8 D．24【變式5-1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線l與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象交于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD．若△AOC和△COD的面積都為3，則kA．?2 B．?3 C．?4 D．?6【變式5-2】（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，點(diǎn)A，C為函數(shù)y=kxx<0圖象上的兩點(diǎn)，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn)．當(dāng)△AEC的面積為34時(shí)，A．?1 B．?2 C．?3 D．?4【變式5-3】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）下列圖形中，陰影部分面積與另外三個(gè)不同的是（）A． B．C． D．【變式5-4】（2023·吉林長(zhǎng)春·?？家荒＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，直線CD分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C，點(diǎn)A、B為線段CD的三等分點(diǎn)，且A、B在反比例函數(shù)y=kxx>0,k>0的圖象上，若△AOD的面積為12，則kA．2 B．4 C．6 D．8【變式5-5】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，以AB為邊向上作矩形ABCD，過點(diǎn)D的反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)E．若△CDE的面積為1，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-6】（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形OABC，雙曲線y=kx(x>0)分別交AB、BC于F、E兩點(diǎn)，已知OA=4，OC=3，且S△BEF=A．2 B．94 C．3 D．題型06兩曲一平行【例6】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，過反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象上一點(diǎn)A作AB⊥y軸交反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖象于點(diǎn)B，連接OA，OB，若A．8 B．6 C．?8 D．?6【變式6-1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點(diǎn)C,D在x軸上．若四邊形ABCD是正方形，且面積為9，則

A．11 B．15 C．?11 D．?15【變式6-2】（2023·遼寧鐵嶺·校考二模）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若平行四邊形

A．?4 B．?5 C．?6 D．?7【變式6-3】（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，設(shè)點(diǎn)P作反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y=k2x(x>0)的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交反比例函數(shù)

A．k1+k2 B．k1?【變式6-4】（2021·貴州銅仁·校考一模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y1＝1x（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)y2=kx（x＞0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA、OBA．3 B．4 C．5 D．6【變式6-5】（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y2=k2x（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON．若四邊形A．3 B．-3 C．32 D．【變式6-6】（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在函數(shù)y=?3xx<0和y=6xx>0的圖象上，點(diǎn)B，C在

A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．3,2【變式6-7】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=3x(x<0)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，連接AB，AB與y軸交于點(diǎn)C，且AB∥x軸，BC=2AC，D是x正半軸上一點(diǎn)，連接

A．3 B．72 C．92 【變式6-8】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=?5xx<0的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象上，BC∥x軸，且

A．3.5 B．4 C．5.5 D．6【變式6-9】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是函數(shù)y=6xx>0圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸交函數(shù)y=?2xx<0的圖象于點(diǎn)Q，點(diǎn)M、N在x軸上(M在N的左側(cè)，且MN=PQ，連接QM、A．8 B．12 C．24 D．四邊形PQMN的面積無法確定【變式6-10】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)y=k1xk1>0,x>0的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)y=k2xk2>0,x>0的圖象于點(diǎn)C、D，連接OC、OD、CD、A．①② B．①③ C．②③ D．①【變式6-11】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y=3x的圖象于點(diǎn)A，CB∥x軸，交反比例函數(shù)y=3x的圖象于點(diǎn)B，連結(jié)AB、OA和OB，已知CA【變式6-12】（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A(a,2)在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，AB//x軸，且交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y=k（1）求直線OA的解析式；（2）求反比例函數(shù)y=k（3）點(diǎn)D為反比例函數(shù)y=kx上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，求

考點(diǎn)四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.涉及自變量取值范圍當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對(duì)y1>y2時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍．例如，如下圖，當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當(dāng)y1<y2時(shí)，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來決定．①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．易混易錯(cuò)解題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí)，并結(jié)合圖象分析、解答問題題型01一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合【例1】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）若k1<0<k2，則在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=kA． B． C． D．

【變式1-1】（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知反比例函數(shù)y=bx（b為常數(shù)），當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=x+b的圖象不經(jīng)過（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-2】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax?bA． B． C． D．【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知反比例函數(shù)y=k?bxk?b≠0的函數(shù)值在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，且k=b，則一次函數(shù)A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四題型02一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題【例2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)y=kxk>0與函數(shù)y=1x的圖象相交于A,C兩點(diǎn)，AB垂直x軸于B，則△ABCA．1 B．2 C．k D．k【變式2-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=3x與y=x+1的圖象交于點(diǎn)(m,n)，則代數(shù)式m?n2A．3 B．?3 C．13 D．【變式2-2】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，函數(shù)y=?6xx<0和y=kx?1k≠0的圖象相交于點(diǎn)Am

A．x<?2 B．x>3 C．?2<x<0 D．x>?2【變式2-3】（2023·青海海西·?？家荒＃┤鐖D，已知A?4,12,B?1,2是一次函數(shù)y1=kx+bk≠0與反比例函數(shù)y2=mxm≠0,x<0圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，

A．x<?4 B．?4<x<?1C．x<?4或x>?1 D．x<?1【變式2-4】（2022上·山東日照·九年級(jí)日照市新營(yíng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象交于點(diǎn)A(1,2),B(m,?1)．則關(guān)于x的不等式ax+b>kx

A．x<?2或0<x<1 B．x<1C．?2<x<0或x>1 D．?1<x<0或x>2【變式2-5】（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，反比例函數(shù)y=mx的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，3，點(diǎn)

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)表達(dá)式；(2)結(jié)合圖象，直接寫出不等式mx【變式2-6】（2023·廣東廣州·廣州市番禺區(qū)市橋星海中學(xué)?？家荒＃┮阎阂淮魏瘮?shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=8x的圖象交于點(diǎn)A(4,n)和

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將直線AB沿y軸負(fù)方向平移a個(gè)單位，平移后的直線與反比例函數(shù)圖象y=8x恰好只有一個(gè)交點(diǎn)，求【變式2-7】（2023·廣東陽江·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交該圖象于點(diǎn)B，AC⊥x軸，BC⊥y軸，若

(1)求Rt△ACB(2)求經(jīng)過AB兩點(diǎn)的直線y=k'x，并直接寫出k題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用【例3】（2023·廣東潮州·二模）如圖，反比例函數(shù)y=2x的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，?2，一次函數(shù)圖象與y軸的交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)對(duì)于反比例函數(shù)y=2x，當(dāng)y<?1時(shí)，寫出(3)點(diǎn)P是第三象限內(nèi)反比例圖象上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足S△BDP＝12S△ODA，請(qǐng)求出點(diǎn)P【變式3-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標(biāo)軸上，且OA=2，OC=4，連接OB．反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與AB、BC分別交于點(diǎn)B、F．一次函數(shù)y=k(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式3-2】（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)D4,4在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，直線y=23x+b經(jīng)過點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，與x(1)求k、b的值；(2)求△ACE的面積；(3)在x軸上取點(diǎn)P，求出使PC?PE取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式3-3】（2023·四川成都·成都七中?？既＃┲本€l1：y=?x＋4與y軸交于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=ax

(1)求a的值及B的坐標(biāo)；(2)在x軸上存在點(diǎn)D，使S△ACD=3(3)如圖2，將反比例函數(shù)y=ax的圖象沿直線l1：y=?x+4翻折得到一個(gè)封閉圖形（圖中陰影部分），若直線l

考點(diǎn)五反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1、用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟：1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實(shí)際問題．2、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，要做到：1）能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；2）注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義；3）問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．易混易錯(cuò)1.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，誤認(rèn)為所給出的點(diǎn)在同一曲線上；2.利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題時(shí)，容易忽視自變量在實(shí)際問題的意義．題型01行程問題【例1】（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）某小型客車油箱的容積為60L，老王把油箱加滿油后駕駛汽車從杭州家中到200km外的上海浦東機(jī)場(chǎng)接客人，接到客人后立即按原路返回．請(qǐng)回答下列問題：（1）油箱加滿油后，求汽車行駛的總路程S（單位：km）與平均耗油量b（單位：L/km）的函數(shù)關(guān)系式；（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度駕駛汽車到達(dá)浦東機(jī)場(chǎng)，返程時(shí)由于下雨，老王降低了車速，已知降低車速會(huì)造成平均耗油量的增加，且油量低于6L時(shí)該汽車將無法行駛．如果老王始終以此速度行駛，要保證不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范圍．【變式1-1】（2020·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）五一黃金周，小張一家自駕去某景點(diǎn)旅行．已知汽車油箱的容積為50L，小張爸爸把油箱加滿油后到了離加油站200km的某景點(diǎn)，第二天沿原路返回．（1）油箱加滿油后，求汽車行駛的總路程s（單位：km）與平均耗油量b（單位L/km）的函數(shù)關(guān)系式；（2）小張爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度駕駛到達(dá)目的地，返程時(shí)由于下雨，降低了車速，此時(shí)平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小張爸爸始終以此速度行駛，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少還需加多少油？題型02工程問題【例2】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）某市政府計(jì)劃建設(shè)一項(xiàng)水利工程，工程需要運(yùn)送的土石方總量為106(1)設(shè)該公司平均每天運(yùn)送土石方總量為y立方米，完成運(yùn)送任務(wù)所需時(shí)間為t天．①求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．②若0<t≤80時(shí)，求y的取值范圍．(2)若1輛卡車每天可運(yùn)送土石方102【變式2-1】（2020·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？既＃氨Ｗo(hù)生態(tài)環(huán)境，建設(shè)綠色社會(huì)”已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?dòng)，某化工廠2018年1月的利潤(rùn)為200萬元．設(shè)2018年1月為第1個(gè)月，第x個(gè)月的利潤(rùn)為y萬元．由于排污超標(biāo)，該廠決定從2018年1月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)行治污改造，導(dǎo)致月利潤(rùn)明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例．到5月底，治污改造工程順利完工，從這時(shí)起，該廠每月的利潤(rùn)比前一個(gè)月增加20萬元（如圖）．

（1）分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后，y與x之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．（2）治污改造工程完工后經(jīng)過幾個(gè)月，該廠月利潤(rùn)才能達(dá)到2018年1月的水平？題型03物理問題【例3】（2023·江蘇鹽城·?？既＃╅喿x與思考下面是小宇同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)，今天是2023年6月8日（星期四），在下午數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我們“騰飛”小組的同學(xué)參加了一次“探索電壓一定時(shí)，輸出功率P與電阻R函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)”．

第一步，我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的電路，電壓為定值6V不變．第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數(shù)倍的變化．第三步，我們根據(jù)物理知識(shí)P＝UI，通過測(cè)量電路中的電流計(jì)算電功率．第四步，計(jì)算收集數(shù)據(jù)如下：R/Ω…246810…P/W…18964.53…第五步，數(shù)據(jù)分析，以R的數(shù)值為橫坐標(biāo)，P的數(shù)值為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系中描出以表中數(shù)對(duì)為坐標(biāo)的各點(diǎn)，并用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)．?dāng)?shù)據(jù)分析中，我發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)可能有明顯錯(cuò)誤，重新實(shí)驗(yàn)，證明了我的猜想正確，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了修改，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數(shù)學(xué)日記．任務(wù)：(1)上面日記中，數(shù)據(jù)分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是_____________；（單選）A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．類比思想 C．分類討論 D．方程思想(2)你認(rèn)為表中哪組數(shù)據(jù)是明顯錯(cuò)誤的；并直接寫出P關(guān)于R的函數(shù)表達(dá)式；__________(3)在下面平面直角坐標(biāo)系中，畫出此函數(shù)的圖象；

(4)請(qǐng)直接寫出：若P大于10W，R的取值范圍．__________【變式3-1】（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的一篇日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．在物理活動(dòng)課上，我們“博學(xué)”小組的同學(xué)，參加了一次“探究電功率P與電阻R之間的函數(shù)關(guān)系”的活動(dòng)．

第一步，實(shí)驗(yàn)測(cè)量．根據(jù)物理知識(shí)，改變電阻R的大小，通過測(cè)量電路中的電流，計(jì)算電功率P．第二步，整理數(shù)據(jù)．R…3691215…P…31.510.750.7…第三步，描點(diǎn)連線．以R的數(shù)值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)P的數(shù)值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出以表中數(shù)值為坐標(biāo)的各點(diǎn)，并用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)．在數(shù)據(jù)分析時(shí)，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤，重新測(cè)量計(jì)算后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個(gè)數(shù)據(jù)．實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，大家都有很多收獲，每人都撰寫了日記．任務(wù)：

(1)表格中錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)是__________________，P與R的函數(shù)表達(dá)式為____________；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出P與R的函數(shù)圖象；(3)結(jié)合圖象，直接寫出P大于6W時(shí)R的取值范圍．____________【變式3-2】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時(shí)，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當(dāng)x=6時(shí)，y=2．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若火焰的像高為3cm【變式3-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)易電子體重秤，已知裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計(jì)）的可變電阻R1與踏板上人的質(zhì)量m之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，共圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為3伏，定值電阻R0的阻值為40歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，然后把U知識(shí)小鏈接：①導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R，通過導(dǎo)體的電流I，滿足關(guān)系式I=U(1)求可變電阻R1與人的質(zhì)量m(2)用含U0的代數(shù)式表示m(3)當(dāng)電壓表顯示的讀數(shù)U0為0.75伏時(shí)，求人的質(zhì)量m【變式3-4】（2022上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將一長(zhǎng)方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m桌面所受壓強(qiáng)P(100200400500800受力面積S210.50.4a(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，求桌面所受壓強(qiáng)P(Pa)與受力面積S(m(2)現(xiàn)想將另一長(zhǎng)、寬、高分別為0.2m，0.1m，0.3m，且與長(zhǎng)方體A相同重量的長(zhǎng)方體按如圖2所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若該玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為題型04分段問題【例4】（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0≤x<10和10≤x<20時(shí)，圖象是線段；當(dāng)20≤x≤45時(shí)，圖象是反比例函數(shù)的一部分．（1）求點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請(qǐng)說明理由．【變式4-1】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求這天的溫度y與時(shí)間x0≤x≤24的函數(shù)關(guān)系式；(2)解釋線段BC的實(shí)際意義；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害？【變式4-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）電滅蚊器的電阻y（kΩ）隨溫度x（℃）變化的大致圖象如圖所示，通電后溫度由室溫10℃上升到30℃時(shí)，電阻與溫度成反比例函數(shù)關(guān)系，且在溫度達(dá)到30℃時(shí)，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1(1)當(dāng)10≤x≤30時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；(2)電滅蚊器在使用過程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時(shí)，電阻不超過5kΩ【變式4-3】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)校考一模）“姹紫嫣紅苗木種植基地”嘗試用單價(jià)隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用30天時(shí)間銷售一種成本為10元/株的果苗，售后經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到此果苗，單價(jià)在第x天（x為整數(shù)）銷售的相關(guān)信息，如圖表所示：銷售量n（株）n＝-x＋50銷售單價(jià)m（元/株）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，m＝______當(dāng)21≤x≤30時(shí)，m=10+(1)求出表中當(dāng)1≤x≤20時(shí)，m與x間的函數(shù)關(guān)系式；(2)“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負(fù)責(zé)人決定將這30天中，其中獲利最多的那天的利潤(rùn)全部捐出，進(jìn)行“精準(zhǔn)扶貧”．試問：基地負(fù)責(zé)人這次為“精準(zhǔn)扶貧”捐贈(zèng)多少錢？題型05幾何問題【例5】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象與BC邊交于點(diǎn)(1)當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)．(2)當(dāng)k為何值時(shí)，△CEF的面積最大，最大面積是多少？【變式5-1】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∠ABC=30°，BC=4，雙曲線y=kx

(1)求k；(2)直線AC與雙曲線y=?33x在第四象限交于點(diǎn)D【變式5-2】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），正方形ABCD頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象上，點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改變時(shí)，正方形ABCD(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,7)，求正方形ABCD的面積；(2)如圖（2），當(dāng)k＝8時(shí)，求BD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)變化的正方形ABCD與（2）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時(shí)，求k的取值范圍．【變式5-3】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象與邊AC

(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接EF、AB，求證：EF∥AB；(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式．

第12講反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用參考答案考點(diǎn)一反比例函數(shù)的相關(guān)概念題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系【例1】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即F1L1=F2L

A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)杠桿平衡條件：F1L1【詳解】由杠桿平衡條件：F1∵鐵架臺(tái)左側(cè)鉤碼的個(gè)數(shù)與位置都不變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側(cè)采取變動(dòng)鉤碼數(shù)量即改變力F，或調(diào)整鉤碼位置即改變力臂L，確保杠桿水平平衡，∴右側(cè)力F與力臂L的乘積是定值，即右側(cè)力F與力臂L滿足反比例函數(shù)關(guān)系．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)中，自變量x與函數(shù)值y的積是定值是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）下面的三個(gè)問題中都有兩個(gè)變量：①矩形的面積一定，一邊長(zhǎng)y與它的鄰邊x；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總?cè)丝趎；③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時(shí)間t．其中，兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】當(dāng)兩個(gè)變量的積為定值時(shí)，兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用形如y=kx（k為常數(shù)，【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，這兩個(gè)變量之間成反比例函數(shù)關(guān)系，①矩形的面積=x?y，因此矩形的面積一定時(shí)，一邊長(zhǎng)y與它的鄰邊x可以用形如y=k②耕地面積=S?n，因此耕地面積一定時(shí)，該村人均耕地面積S與全村總?cè)丝趎可以用形如y=k③汽車的行駛速度=st，因此汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時(shí)間t不可以用形如綜上可知：①②符合要求，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的定義．【變式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一學(xué)校?？级＃┯覉D是一種古代計(jì)時(shí)裝置（稱為“漏刻”）的示意圖：水從上面的貯水壺慢慢漏入下方的受水壺中，假設(shè)漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標(biāo)尺就會(huì)均勻升高，那么，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的刻度來反映浮子的高度從而計(jì)時(shí)．現(xiàn)向貯水壺內(nèi)注水，則在受水壺注滿水之前，浮子的高度與對(duì)應(yīng)注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標(biāo)尺就會(huì)均勻解答即可．【詳解】解：∵漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標(biāo)尺就會(huì)均勻升高∴浮子的高度與對(duì)應(yīng)注水時(shí)間成正比∴浮子的高度與對(duì)應(yīng)注水時(shí)間滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷函數(shù)關(guān)系，讀懂材料，掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．題型02判斷反比例函數(shù)【例2】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=?3x B．y=?32x C．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=k【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kA.y=?3B.y=?3C.y=3D.3xy=2，得y=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，理解解析式的特征是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）下面四個(gè)函數(shù)中，圖象為雙曲線的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)的函數(shù)解析式進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.y=5x，是正比例函數(shù)，圖象是直線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.y=2x+3，是一次函數(shù)，圖象是直線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.y=4xD.y=x故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表達(dá)式，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式．題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值【例3】（2022上·山東棗莊·九年級(jí)?？计谀┮阎瘮?shù)y=(m+1)xm2?5是關(guān)于x的反比例函數(shù)，則【答案】±2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義：形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，即可求出【詳解】∵函數(shù)y=(m+1)xm2∴m+1≠0，m2∴m=±2，故答案為：±2【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）已知反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）、（m，n），則mn的值為______【答案】3【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析，即可求得k及mn的值．【詳解】解：把點(diǎn)（1，3）代入y＝k得k=3故反比例函數(shù)的解析式為y=3把點(diǎn)（m，n）代入y=3x得【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，理解在函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎c(diǎn)A(?2,m?1)在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，則m=【答案】2【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出m值．【詳解】解：∵點(diǎn)A(?2,m?1)在反比例函數(shù)y=?2∴?2×(m?1)=?2，∴m=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)之積是定值k；理解點(diǎn)坐標(biāo)與解析式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)統(tǒng)考二模）如果反比例函數(shù)y=k?1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)?2,1，則k的值是（A．1 B．?2 C．?1 D．3【答案】C【分析】把點(diǎn)?2,1的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得到一元一次方程并求解即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=k?1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴1=k?1?2．解得【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型01判斷反比例函數(shù)圖象【例1】（2022·黑龍江綏化·?？既＃┊?dāng)長(zhǎng)方形的面積S是常數(shù)時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a與寬b之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（

）A． B． C． D．

【答案】C【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)關(guān)系式為ab=S（常數(shù)），于是得到a、b是成反比例的量，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由長(zhǎng)方形的面積公式得，a=Sb，且故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·安徽亳州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始終保持∠PAQ=100°．設(shè)BP=x，CQ=y（）

A． B． C． D．

【答案】A【分析】根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出∠ABP=∠ACQ=100°，根據(jù)∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得x與y的函數(shù)關(guān)系式，即可進(jìn)行判斷．【詳解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=80°∴∠ABP=∠ACQ=100°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB∴△APB∽△QAC∴PBAC=AB則函數(shù)解析式是y=4故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函數(shù)等，熟練掌握等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖形與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，設(shè)EF=x，BF=y，假設(shè)x、y能組成函數(shù)，則y與x的函數(shù)的圖象為（

）

A． B． C．D．

【答案】C【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S△ABD=S【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABD∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，∴△AEF∽△BFC，∴EFCF∴x2∴y=4∴y與x的函數(shù)的圖象為雙曲線在第一象限內(nèi)的部分．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解此題的關(guān)鍵是證明出△AEF∽△BFC．【變式1-3】（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）參照學(xué)習(xí)函數(shù)y=2x的過程與方法，探究函數(shù)x…?2?101132537456…y=…?1?2■4241424121…y=…???1m?2?4■424121…

(1)m=__________________．(2)請(qǐng)畫出函數(shù)y=2(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而___________；（填“增大”或“減小”）②y=2x?2的圖象是由③圖象關(guān)于點(diǎn)__________中心對(duì)稱．（填點(diǎn)的坐標(biāo)）【答案】(1)?(2)見解析(3)①減??；②右；2；③(2,0)【分析】（1）把x=12代入函數(shù)（2）用一條光滑曲線順次連接所描的點(diǎn)即可；（3）數(shù)形結(jié)合，觀察函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】（1）解：把x=12代入得y=2∴m=?4故答案為?4（2）函數(shù)圖象如圖所示：

（3）解：①當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減??；②y=2x?2的圖象是由③圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱；故答案為：①減??；②右；2；③(2,0)．【點(diǎn)睛】本題考查了類反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握列表，描點(diǎn)，連線作圖及數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)性質(zhì)．題型02反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征【例2】（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)y=2x圖象上的是（A．?1,2 B．2,?1 C．1,3 D．?1,?2【答案】D【分析】將每個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，看函數(shù)值是否一致，如果一致，說明點(diǎn)在函數(shù)圖象上，反之則不在．【詳解】A．當(dāng)x=?1B．當(dāng)x=2時(shí)，y=2C．當(dāng)x=1時(shí)，y=2C．當(dāng)x=?1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上，掌握反比例函數(shù)變量的求法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)點(diǎn)在同一反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則不在這個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（A．1,6 B．?12,12， C．?2,?3【答案】B【分析】由反比例函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)可知，在其圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的乘積都等于k，所以判斷點(diǎn)是否在反比例函的圖象上，只要驗(yàn)證一下橫、縱坐標(biāo)的乘積是否與k相等就可以了．【詳解】解：A、k=1×6=6，B、k=?1C、k=?2D、k=3∴不在這個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)是?1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．【變式2-2】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A，B兩點(diǎn)，若A2，A．2,2 B．?2,?1 C．?2,?2 D．?1,?4【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，把A2，m代入到y(tǒng)=∴A2∴B?2故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的對(duì)稱性，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，正確得到點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2019·吉林長(zhǎng)春·中考模擬）如圖，函數(shù)y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的圖象將第一象限分成了A、B、C三個(gè)部分．下列各點(diǎn)中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及題意可知，在B部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足2x【詳解】根據(jù)題意可知，在B部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足2x對(duì)其變形，得2＜xy＜6.選項(xiàng)A，（1，1），xy=1，不符合要求；選項(xiàng)B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；選項(xiàng)C，（3，1），xy=3，符合要求；選項(xiàng)D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、定義及表達(dá)式，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2-4】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，a≠0）與反比例函數(shù)y=?2x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1,m，則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】?1,2【分析】正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則它們的交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【詳解】∵已知正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，a≠0）與反比例函數(shù)y=?2x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為∴m=∴交點(diǎn)坐標(biāo)為1,?2∵反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)1,?2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴該點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,2．故答案為：?1,2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=2x與雙曲線y=kx相交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A2,m，則點(diǎn)B【答案】?2,?4【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【詳解】解：將A2,m帶入到y(tǒng)=2x中，得m=4，則∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴點(diǎn)B坐標(biāo)為?2,?4．故答案為：?2,?4．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性，即兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【變式2-6】（2022·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線y=kx與雙曲線y=k+6x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_____【答案】（-2，-4）【分析】根據(jù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，得到k+62=2k，求得【詳解】∵交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，∴k+62解得k=2，故函數(shù)的解析式為y=2x，y=8x當(dāng)x=2時(shí)，y=4，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），根據(jù)圖象的中心對(duì)稱性質(zhì)，∴另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），故答案為：（-2，-4）．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象的中心對(duì)稱問題，熟練掌握交點(diǎn)的意義，靈活運(yùn)用圖象的中心對(duì)稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式【例3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，下列解析式能表示圖中變量x，y之間關(guān)系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的定義即可判斷．【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象可得：第一象限所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式為：y=1x，第四象限所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式為：∴y與x的關(guān)系式為：|y|=1【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的定義，解題關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)的圖象．【變式3-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)Pa,b，若ab>0，則稱點(diǎn)P【答案】y=?1【分析】根據(jù)新定義可得函數(shù)圖象不在第一，第三象限，從而可得答案．【詳解】解：∵對(duì)于點(diǎn)Pa,b，若ab>0而某函數(shù)圖象上不存在“同號(hào)點(diǎn)”，∴函數(shù)圖象不在第一，第三象限，∴其函數(shù)表達(dá)式可以是y=?1故答案為：y=?1【點(diǎn)睛】本題考查的是閱讀理解，新定義的含義，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象的分別是解本題的關(guān)鍵．題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)【例4】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)y=?5A．圖象位于第一、三象限B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交D．圖象必經(jīng)過點(diǎn)3【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=k【詳解】解：A、∵y=?5x，∴B、∵y=?5x，∴k=?5<0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨C、反比例函數(shù)y=?5D、當(dāng)x=32時(shí)，則y=?5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象性質(zhì)，當(dāng)k>0【變式4-1】（2022·江西九江·?？级＃╆P(guān)于反比例函數(shù)y=kxk≠0A．該函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形B．當(dāng)k<0時(shí)，該函數(shù)的圖象在第二、四象限C．該函數(shù)的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷作答即可．【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，y=k當(dāng)k<0時(shí)，該函數(shù)的圖象在第二、四象限，B正確，故不符合要求；聯(lián)立方程得，y=kxy=kx+b，即k∴△=b∴該函數(shù)的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，C正確，故不符合要求；當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)過第一象限，第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)函數(shù)值y隨x的增大而減小，D錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根的判根式．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值【例5】（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=kx（k≠0）的圖象如圖所示，則k的值可能是（

A．5 B．12 C．?5 D．?12【答案】C【分析】根據(jù)圖象，當(dāng)x=?3時(shí)，y<3，則0>k>?9；當(dāng)x=2時(shí)，y<?2，則k<?4，所以?9<k<?4，即可求解．【詳解】解：由圖可知：當(dāng)x=?3時(shí)，0<y<3，即0<k?3<3當(dāng)x=2時(shí)，y<?2，即k2<?2，則∴?9<k<?4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是要結(jié)合函數(shù)的圖象，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．【變式5-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象如圖所示，則k的值可能

A．?2 B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由題意可得：k的取值應(yīng)該滿足2<k<4，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：由題意可得：k的取值應(yīng)該滿足：?1×?2<k<2×2所以k的值可能是3；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象得出2<k<4是解題的關(guān)鍵.題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限【例6】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0），當(dāng)x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【答案】B【分析】由反比例函數(shù)的增減性可判斷解析式中的k值，再由k值可確定圖象所在的象限．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當(dāng)x即當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，故k<