三元一次方程組的解法（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）-七年級數(shù)學(xué)下冊同步備課系列（人教版）

8.4三元一次方程組的解法（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】通過《九章算術(shù)》里的題目，引出本章的主旨內(nèi)容—三元一次方程組，通過設(shè)三個(gè)未知數(shù)，列出三元一次方程組，讓學(xué)生掌握三元一次方程組的概念，再通過“消元”的思維，將三元轉(zhuǎn)化為二元，再轉(zhuǎn)化為一元，即可解出三元一次方程組，讓學(xué)生切實(shí)體會到三元一次方程組的解法；（1）本節(jié)將從三元一次方程組的概念出發(fā)，將概念的組成條件展現(xiàn)出來，使學(xué)生可以從字面意思上理解三元一次方程組的三要素：(1)方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù)；(2)每個(gè)方程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；(3)方程組中共有三個(gè)整式方程；（2）通過設(shè)置小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，利用掌握的二元一次方程組的解法，自己動手解三元一次方程組，并從中總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和實(shí)踐能力；（3）通過典型例題的訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；（4）在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】三元一次方程組的解法三元一次方程組的概念三、【學(xué)情分析】1．認(rèn)知基礎(chǔ)三元一次方程組的解法是相對拓展的內(nèi)容，主要是對二元一次方程組的深化理解，學(xué)會將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即可達(dá)到解方程組的目的；三元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生解決多個(gè)未知數(shù)題型的能力，同時(shí)豐富了對方程的理解；2.認(rèn)知障礙三元一次方程組主要問題在于解法容易出錯(cuò)，遇到復(fù)雜系數(shù)的三元一次方程組問題，往往不知從何下手；三元一次方程組的應(yīng)用題型，需要對情況進(jìn)行分類；三元一次方程組，是對二元一次方程組問題的深入學(xué)習(xí)，要有舉一反三的能力；四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時(shí)安排：約2課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：三元一次方程組的概念與解法；教學(xué)難點(diǎn)：三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用問題；五、【教學(xué)問題診斷分析】【情境導(dǎo)入】《九章算術(shù)》分為9章，并因此而得名．其中第8章為“方程”，里面有這樣一道題目(用現(xiàn)代漢語表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．問：上、中、下三種稻，每束的出谷量各是多少斗？8.4.1三元一次方程組的概念問題1：下列方程組中，是三元一次方程組的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y＝1，,y＋z＝0，,xz＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1＝1，,\f(1,y)＋z＝2，,\f(1,z)＋x＝6))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋d＝1，,a－c＝2，,b－d＝3))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝18，,n＋t＝12，,t＋m＝0))【破解方法】滿足三元一次方程組的條件：(1)方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù)；(2)每個(gè)方程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；(3)方程組中共有三個(gè)整式方程．【解析】A選項(xiàng)中，方程x2－y＝1與xz＝2中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為2，不符合三元一次方程組的定義，故A選項(xiàng)不是；B選項(xiàng)中eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)不是整式，故B選項(xiàng)不是；C選項(xiàng)中方程組含有四個(gè)未知數(shù)，故C選項(xiàng)不是；D選項(xiàng)符合三元一次方程組的定義．故答案為D.8.4.2三元一次方程組的解法問題2：解下列三元一次方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝y(tǒng)＋x，①,2x－3y＋2z＝5，②,x＋2y＋z＝13；③))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝11，①,x＋y＋z＝0，②,3x－y－z＝－2.③))【破解方法】解三元一次方程組的難點(diǎn)在于根據(jù)方程組中方程的系數(shù)特點(diǎn)選擇較簡便的方法．(1)一般地，若某一方程的系數(shù)比較簡單，可選用代入法；(2)若方程組三個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)時(shí)，可選用加減消元法，但要注意必須消去同一個(gè)未知數(shù)，否則所得的兩個(gè)新方程雖然都含兩個(gè)未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍含三個(gè)未知數(shù)，并未達(dá)到消元的目的．【解析】(1)將①代入②、③，消去z，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝5，,2x＋3y＝13.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，,z＝5；))(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④與⑤組成方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝11，,5x＋2y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4).))把x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(23,4)代入②，得z＝－eq\f(21,4).所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(23,4)，,z＝－\f(21,4).))8.4.3三元一次方程組的應(yīng)用問題3：（三元一次方程組在非負(fù)數(shù)中的應(yīng)用）若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．【破解方法】非負(fù)數(shù)之和為0，隱含著每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，從而可列方程組求解．【解析】解：因?yàn)槿齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，所以每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.可得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－1＝0，,b－2a＋c＝0，,2c－b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－4，,c＝－2.))問題4：（利用三元一次方程組解決數(shù)字問題）一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的數(shù)字的eq\f(3,4)，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和比個(gè)位上的數(shù)字大1.將百位與個(gè)位上的數(shù)字對調(diào)后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)大495，求原三位數(shù)．【破解方法】解數(shù)字問題的關(guān)鍵是正確地用代數(shù)式表示數(shù)．如果一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為b，那么這個(gè)兩位數(shù)可表示為10a＋b.如果一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c，那么這個(gè)三位數(shù)可表示為100a＋10b＋c，依此類推．【解析】解：設(shè)原三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,4)z，,x＋y＝z＋1，,100z＋10y＋x＝100x＋10y＋z＋495，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6，,z＝8.))答：原三位數(shù)是368.問題5：（列三元一次方程組解決實(shí)際問題）某汽車在相距70km的甲、乙兩地往返行駛，因途中有一坡度均勻的小山．該汽車從甲地到乙地需要2.5h，而從乙地到甲地需要2.3h.假設(shè)汽車在平路、上坡路、下坡路的時(shí)速分別是30km、20km、40km，則從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長度各是多少？【破解方法】題中有三個(gè)等量關(guān)系：①上坡路長度＋平路長度＋下坡路長度＝70km；②從甲地到乙地的過程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.5h；③從乙地到甲地的過程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.3h.【解析】解：設(shè)從甲地到乙地的過程中，上坡路、平路、下坡路的長度分別是xkm，ykm和zkm.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝54，,z＝4.))答：從甲地到乙地的過程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.六、【教學(xué)成果自我檢測】1．課前預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.1．下列方程組中，是三元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．利用三元一次方程組的定義判斷即可．【詳解】解：由三元一次方程組的定義得是三元一次方程組，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了三元一次方程組的定義，熟練掌握三元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵．2．已知方程組，則的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三個(gè)方程相加即可得到的值．【詳解】解：方程組，三個(gè)方程相加得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三元一次方程組的解，解得關(guān)鍵是明確解三元一次方程組的解答方法．3．在“自主互助學(xué)習(xí)型課堂競賽”中，為獎勵(lì)表現(xiàn)突出的同學(xué)，初一（7）班利用班費(fèi)元錢，購買鋼筆、相冊、筆記本三種獎品，其中鋼筆至多買支，若鋼筆每支元，相冊每本元，筆記本每本元，在把錢都用盡的條件下，買法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，然后分類討論即可．【詳解】解：設(shè)購買鋼筆x支，相冊y本，筆記本z本，根據(jù)題意得20x+10y+5z=100，化簡，得4x+2y+z=20，∵鋼筆最多買2支，∴x可以取1、2，當(dāng)x=1時(shí)，4+2y+z=20，即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7種；當(dāng)x=2時(shí)，8+2y+z=20，即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5種；∴一共有買法7+5=12(種)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程，分類討論是解題關(guān)鍵．4．含有________個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是________，這樣的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20【答案】

三

15．若是一個(gè)三元一次方程，那么_______，________．【答案】

-1

0【分析】根據(jù)三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．【詳解】由題意得：，解得：．故答案為：-1，0．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程，解題關(guān)鍵是掌握三元一次方程的定義．6．解方程組：【答案】【詳解】解：①＋②，解得y＝8．將y＝8代入②和③，得，解得，所以原方程組的解為．2．課堂檢測設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.【變式1】解三元一次方程組，如果消掉未知數(shù)z，則應(yīng)對方程組變形為（

）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③【答案】C【分析】注意到方程組z前面的系數(shù)都為1，所以直接相減消去【詳解】得：得：方程組變形為，剛好消去z故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對三元一次方程組的消元，善于觀察是解題關(guān)鍵．【變式2】已知，則的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入計(jì)算，得出的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得出答案．【詳解】解：在中，∵，，，，∴可得：，解得：，∴，∴的相反數(shù)是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性、解三元一次方程組、求代數(shù)式的值、相反數(shù)，解本題的關(guān)鍵在得出、、的值．【變式3】有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若購甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；現(xiàn)購甲、乙、丙各一件，共需（

）元A．33 B．34 C．35 D．36【答案】B【分析】設(shè)購甲每件元，購乙每件元，購丙每件元．列方程組得：，然后求得的值．【詳解】解：設(shè)購甲每件元，購乙每件元，購丙每件元．列方程組得：，①②得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，通過加減，得到一個(gè)整體，然后整體求解．【變式4】已知、、滿足，，則__．【答案】20【分析】仔細(xì)觀察兩個(gè)等式中的、、的系數(shù)知，兩式相加得，由此即可解題．【詳解】解：、、滿足①，②，①②得：，即：，所以．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是解三元一次方程組．解答此題時(shí)，注意尋找其中的技巧，即兩個(gè)等式相加后，恰好是的4倍．【變式5】解方程組：【答案】【分析】得：，將代入求出x的值，將x的值代入求出y的值，再將x，y的值代入求出z的值．【詳解】解：，得：，將代入，得：，解得，將代入，得：，將，代入，得，解得，故該方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查解三元一次方程組，熟練掌握三元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式6】在中，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，求、、的值．【答案】．【分析】將，；，；，代入方程列出三元一次方程組，然后進(jìn)行求解．【詳解】解：將，；，；，代入得：，解得：．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查三元一次方程組的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組．3．課后作業(yè)設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.1．若方程組的解是，則的值是（

）A．－3 B．0 C．3 D．6【答案】A【分析】先把代入原方程組，可得，由①-②可得，再把代入①，可得，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵方程組的解是，∴，由①-②得：，∴，把代入①，得：，∴，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解方程組的解就是使方程組中每一個(gè)方程都成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．2．方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)代入消元法解三元一次方程組即可求解．【詳解】解：，由①得④，由②得⑤，將④⑤代入③得，，解得，將代入④得，將代入⑤得，原方程組的解為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握代入消元是解題的關(guān)鍵．3．小李在某電商平臺上選擇了甲，乙，丙三種商品，當(dāng)購物車內(nèi)選件甲，件乙，件丙時(shí)顯示價(jià)格為元；當(dāng)選件甲，件乙，件丙時(shí)顯示價(jià)格為元，那么購買甲，乙，丙各一件時(shí)顯示價(jià)格為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】設(shè)件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由題意得：，由①+②得：，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由題意得：，由①+②得：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，正確列出方程組并求出是解決問題的關(guān)鍵．4．方程組的解為________．【答案】【分析】根據(jù)三元一次方程組的解法求解即可．【詳解】解：由①得：④，由③得：⑤，把④和⑤代入到②得：，解得，把代入④得：，把代入⑤得：，∴方程組的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三元一次方程組，熟知解三元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．5．代數(shù)式，當(dāng)時(shí)值為；當(dāng)時(shí)值為；當(dāng)時(shí)值為，則這個(gè)代數(shù)式是__________．【答案】【分析】將x的值代入代數(shù)式中，解三元一次方程組即可．【詳解】解：分別將，，代入得：解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程組的解法．利用消元法，把三元變二元，