22基本不等式課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

南陵縣高中數(shù)學(xué)“校際交流課”活動(dòng)2024年9月27日2.2基本不等式

1．了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景．2．掌握積定和最小、和定積最大．3．會(huì)用基本不等式進(jìn)行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．思考：(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？

(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

再來明確一下我們需要解決的問題：

初中的時(shí)候我們會(huì)用二次函數(shù)求最大值、最小值.接下來，我們將學(xué)習(xí)一種新方法求最值.重要不等式:

通常把上式寫作：

重要不等式→基本不等式

幾何平均值算術(shù)平均值

基本不等式（均值不等式）:代數(shù)意義：兩正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.思考：我們是否還可以用其他方法證明基本不等式？

證明：要證

只要證

只要證

只要證，上式顯然成立，所以原不等式成立．該證明方法稱為分析法

綜合法思考：如圖，AB是圓的直徑，C是

AB上任一點(diǎn)，AC=a，CB=b，過點(diǎn)

C作垂直于

AB的弦

DE，連接

AD，BD，你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？如圖，可證△ACD∽△DCB，則CD=

，半徑為

，圓的半徑大于或等于CD，用不等式表示為

，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a＝b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立．幾何意義：半徑長(zhǎng)不小于半弦長(zhǎng).下面我們來解決這兩個(gè)問題：

解：(1)，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立．(2)由當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立．更一般地，若已知x，y都是正數(shù)，則:(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)

時(shí)，和

有最小值

；(2)如果和

等于定值S，那么當(dāng)

時(shí)，積xy有最大值.解：(1)，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立．(2)由當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立．利用基本不等式求最值時(shí)，需滿足:

例1.已知

，求

的最小值.解：因?yàn)?/p>

，

，所以當(dāng)且僅當(dāng)

，即

，

時(shí)，等號(hào)成立，因此所求最小值為2.一正二定三相等1.已知

，求

的最大值.解：因?yàn)?/p>

，所以

，所以當(dāng)且僅當(dāng)

，即

，

時(shí)，等號(hào)成立，因此所求最大值為-2.例2.已知

，求

的最小值.配湊法題型一.配湊積為定值題型二.配湊和為定值例3.已知

，求

的最大值.題型三：兩正數(shù)和與它們倒數(shù)和之間關(guān)系例4.已知

，

，且

，求

的最小值.1的代換題型三：兩正數(shù)和與它們倒數(shù)和之間關(guān)系例5.已知

，

，且

，求

的最小值.1.基本不等式及其變形.2.用基本不等式求簡(jiǎn)單的最大值、最小值問題.題型二.配湊和為定值例5.已知

，