考研高等數(shù)學(xué)典型題解題技巧總結(jié)

第一部分考研數(shù)學(xué)之高數(shù)經(jīng)典例題解題技巧 高數(shù)必考題型之五：多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) 1第一部分考研數(shù)學(xué)之高數(shù)經(jīng)典例題解題技巧第一講函數(shù)、連續(xù)與極限函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）理解并會應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）2等價小量與洛必達）（洛必達）（重要極限）lnt=變量替換）:t=(ab)3/2lnt=:t=e—1/2（變量替換）（洛必達與微積分性質(zhì)）=1/2（連續(xù)性的概念）=3（洛必達）ctgx洛必達或Taylor）3洛必達與微積分性質(zhì)）第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用會求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能會計算曲率（半徑）算基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)1.y=y(x)由決定，求x=0π/2y-e=-x解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的極限有：f(1)=0:f:6.已知y=f(x)對一切x滿足xf''(x)+2x[f'(x)]2=1-e-x，0,y0)點的性質(zhì)。解：令x=x0代入，f''故為極小值點。48.求函數(shù)y=(x1)eπ/2+arctanx的單調(diào)性與極值、漸進線。題2(1:x∈(0,1)時g''(x)單調(diào)下降，g''(x)<0,g'(x)單調(diào)下降g'(x)<0,g(x)單調(diào)下降，g(x)<0；得證。5兩式相減：f'''(η1)+f'''(η2)=6f'''令<0:φe4.證明x>0時(x21)lnx≥(x1)2第三講)〔x)〔x不定積分與定積分:g>0掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）會用定積分求幾何問題（長、面、體）6會用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)f解：切線y=x/2繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為7第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉1.f(x)有二階連續(xù)偏導(dǎo)，z=f(exsiny)滿足zx''x+zy''y=e2xz，求f(x)解：f''f=0→f(u)=c1eu+c2eu3.y=y(x),z=z(x)由z=xf(x+y),F(x,y,z)=0決定，求dz/dx 5.曲面x222+10y22yzz2+18=0確定的函數(shù)，求z=822第五講多元函數(shù)的積分熟悉二、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量）z=f(x,y)→dxdy理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計▽.E-dV(通量，散度）Stokes:dV,Ω為平面曲線2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。9求f(x,y)dxdy,D:x2+y2≥2x(49/20)dydz-xyfdzdx-e2xzdxdy=0，且f在x>0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，第六講常微分方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努會求y(n)=f(x),y''=f(x,y')(y'=p(x)),y''=f(y,y')(y'=p(y))+2xy-y2)dx+(x2-2xy2-x2y-x3=c)2.利用代換化簡y''cosx-2y'sinx+3ycosx=ex并求通解。3.設(shè)y=y(x)是上凸連續(xù)曲線，(x,y)處曲率為，且過處切線方程為1.已知函數(shù)y=y(x)在任意點處的增量求y2.求y''-4y=e2x的通解第七講無窮級數(shù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項微積分）會求[-l,l]的Fourier級數(shù)與[0,l]正余弦級數(shù)第八講線性代數(shù)幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的沖理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有第九講概率統(tǒng)計初步理解分布函數(shù)、離散型隨機變量、連續(xù)型變量的概理解二維離散、連續(xù)型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及了解x2分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念第十講總結(jié)量替換）1/x〔4.已知2x2y-lny=1，驗證4xy2+(2x2y-1)y'=02ulnv,v=x3sinbx,求y'x6.證明z=xnf滿足xz'x+2yz'y=nz7.求f(x,y)=4x-4y-x2-y2在D:x2+y2≤18內(nèi)的最值。4.改變積分次序1dx+2f(x,y)dy3.求y''-2y'-5y=6e2x通解。6.求y''-y=4xex,y(0)=0,,y'(0)=1特解。高數(shù)必考題型之一：求極限無論數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三，求極限是高等數(shù)學(xué)的基本要求，所以也是每年于有時以4分小題形式出現(xiàn)，題目簡單;有時以大題出現(xiàn)，需要使用的方法到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法，有時考其中簡單易行的組合完成題目。另外，分段函數(shù)個別點處的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)圖形的漸近線，以極限函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性的研究等也需要使用極限手段達到目的，須引起重視！拆分后極限依然存在。ex-1或者(1+x)a-1~ax…(x→0)等等這些要全部熟記；還有，x趨近無窮的時候還原成無窮?。?.洛必達法則：大題目有時候會有暗示，要你使用這個方法。首先它的使用有嚴(yán)格的使近的一種情況，也是必要條件；同時，數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮；必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！假如告訴你g（ex展開、sinx展開、cosx展開、ln(1+x)展開，對題目簡化有很好幫助；5.無窮小于有界函數(shù)的處理辦法：面對非常復(fù)雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！7.等比等差數(shù)列公式應(yīng)用：對付數(shù)列極限。q絕對值9.求左右求極限的方式：對付數(shù)列極限。例如知道xn與xn+1的關(guān)系，已知xn的極限存在的情況下，11.當(dāng)趨近于無窮大時候，不同函數(shù)趨近于無窮的a12.換元法：一種技巧，對于某一道題目，不會只需要換元，但是換元15.單調(diào)有界的性質(zhì)：對付遞推數(shù)列時候使用，證明單調(diào)16.直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限：一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減個值）加減f（x）的形式。遇到后要特別注意：當(dāng)題高數(shù)必考題型之二：利用中值定理證明等式或不等式1個積分中值定理；不等式的證明有時可使用中值定利用中值定理證明等式或不等式：在證明不等式時，出現(xiàn)“”和“”的形式，并且在和上滿足拉格朗日中值定理條件，則可以將不等式根據(jù)拉格朗日中值定理進行變換在證明；若在不等式的“f(b)-f(a)”型，另一邊出現(xiàn)“b-a”型，則可將不等式變形為含“”型。若同時在和上滿足拉格朗日中值定理條件，則利用拉格朗日“”型。例1.證明：當(dāng)x>0時，.分析：通過觀察，不等式中“bx+D-b對”為“”型，令，可知在id,ol上連續(xù)。當(dāng)時,ftx)在上連續(xù),則在區(qū)間[x,x+1]上滿足拉格朗日中值定理。證明：,即.分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)此不等式為“”型。令(對=加x，則上滿足拉格朗日中值定理的條件。分析：例題中出現(xiàn)“”是“”型,此時可以考慮,在區(qū)間上的證明：設(shè),則在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，顯然fx)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件，則有：高數(shù)必考題型之三：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式：定義設(shè)函數(shù)的定義域為·區(qū)間tc0.,當(dāng)5%時,恒有,則稱函數(shù)在區(qū)間t上是單調(diào)減少的。例1當(dāng)時,證明:..在內(nèi)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).故x>0時,即.當(dāng)x>0時,所以由有限增量公式知g(x).高等數(shù)學(xué)必考題型之四：一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)問題主要考查基本公式及運算能力，當(dāng)然也包括對函數(shù)關(guān)系的處理能力。一元函下面介紹幾種常用的一元函數(shù)求導(dǎo)法：一、利用定義求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（冪、指、對、三角、反三角五大類）2）得出函數(shù)增量AY=f(xtAa)-s(對二、反函數(shù)求導(dǎo)法則：若函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且y=)在相應(yīng)的u點也可導(dǎo)，則其復(fù)合函數(shù)關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有個推廣：如果一個函數(shù)有三次復(fù)合,復(fù)合函數(shù)y=f(g(h(x)))的導(dǎo)數(shù)為利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n次復(fù)合的求導(dǎo)原則。從公式的結(jié)構(gòu)看猶如從外向內(nèi)一層層地五、隱函數(shù)求導(dǎo)法則：若x.》=0中存在隱函數(shù)y=)一定被反解出來為顯式表達。即，盡管y未反解（實際中未必能寫出E關(guān)于x的反函數(shù)式子，也沒必要這樣做）七、變限積分求導(dǎo)：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)對于變限積分求導(dǎo)法常有一下情形：形；高數(shù)必考題型之五：多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)（主要為二元函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會考查，給出的函數(shù)可能是多一、全導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)中間變量是一元情形）二、二元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)（復(fù)合函數(shù)中間變量均為多元函數(shù)的情形）偏導(dǎo)，且有鏈?zhǔn)椒▌t：另外，二元函數(shù)的極值與條件極值與實際問題聯(lián)系及其緊密，是一個考查重點，極值的充分函數(shù)取得極值的必要條件：設(shè)函數(shù)z=(x,y)在點函數(shù)取得極值的充分條件：設(shè)函數(shù)在點(x,%)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且有一階及二階連則函數(shù)在處是否取得極值的條件如下(2)、AC-B2<0時沒有極值；我們只需計算出函數(shù)在駐點和不可微點的值，再與函數(shù)在區(qū)域的邊界上的值相比較，便可從中找以上我們討論了二元函數(shù)的極值問題，系指自變量可任意取值，在不受限稱為無條件極值(unconditionalextremum)。有些實際問題求極值時，往往對自變量有種帶有約束條件的極值被稱為條件極值(conditionalexzmf(x.)在約束條件之下的極值問題。顯然，如果我們能從中解2=f(x,x)，我們便可作為一元函數(shù)來求極值了。但xx.》若是一個復(fù)雜的函數(shù)時，從中無法解出或來，上述方法就難于的一種有效方法，即拉格朗日乘數(shù)法。具體步驟如下：其中λ為待定常數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù)，高數(shù)必考題型之六：數(shù)項級數(shù)斂散性的判定在復(fù)習(xí)時特別要抓住哪類級數(shù)應(yīng)如何判定其斂散性，這部分內(nèi)容在數(shù)項級數(shù)中所占分量最大.（一）正項級數(shù)斂散性的判定步驟：1.首先考察limun（若不為零，則級數(shù)發(fā)散;若等于零，需進一步判定）.n→∞2.根據(jù)一般項的特點選擇相應(yīng)的判別法判定.注1）若一般項中含有xl或者x的乘積形式，通常選（二）交錯級數(shù)斂散性的判定方法：2.判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性，若收斂，則原級數(shù)絕對收斂.3.將通項拆成兩項，以此兩項分別作通項的級數(shù)都收數(shù)發(fā)散.注：方法2,3,4適用于fu}不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的（三）任意項級數(shù)斂散性的判定步驟：則為條件收斂）.1.對于抽象級數(shù),一般用比較判別法，對其通項進行放縮,根收斂.高數(shù)必考題型之七：級數(shù)求和級數(shù)求和（數(shù)項級數(shù)；函數(shù)項級數(shù)：冪級數(shù)，對數(shù)一來說還有傅里葉級數(shù)，但考查的頻率不級數(shù)的重要考查內(nèi)容，因此，這里重點談?wù)剝缂墧?shù)求和的基本方法與基本步驟，還有數(shù)項級數(shù)與步驟.（一）冪級數(shù)求和.和函數(shù)，最后對和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級數(shù)方法二：用冪級數(shù)求和.x-l,x,x+l,2x-1,2x,2x+l等情形中的一種）.注：的構(gòu)造應(yīng)選取易求出和函數(shù)的冪級數(shù).高數(shù)必考題型之八：不定積分的計算不定積分的計算：其中可微。當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗3.第二類換元法：設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種：公式：時，通常基于以下兩點考慮：中，hb的選取有下面簡單的規(guī)律：5.幾種特殊類型函數(shù)的積分：有理函數(shù)先化為多項式和真分式之和，再把分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)時，記得用遞的積分，但由于計算較煩，應(yīng)盡量避免。高數(shù)必考題型之九：定積分的計算由定積分的幾何意義知，等于上半圓周(y之Q)例1.求,為自然數(shù).,而而.解因為sxsl，故有...=