2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.5.1正弦函數(shù)的圖像學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE§5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)5．1正弦函數(shù)的圖像學(xué)問(wèn)點(diǎn)正弦函數(shù)的圖像[填一填]正弦函數(shù)的圖像(1)圖像：正弦函數(shù)y＝sinx的圖像，又稱(chēng)為正弦曲線，如圖所示．(2)畫(huà)法：在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3,2)π，－1)，(2π，0)．然后再依據(jù)正弦函數(shù)的基本形態(tài)，用光滑曲線將這五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種畫(huà)正弦曲線的方法稱(chēng)為“五點(diǎn)法”．[答一答]怎樣用五點(diǎn)法畫(huà)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像？提示：畫(huà)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像，有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們是(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0)，因此描出這五個(gè)點(diǎn)后，正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像的形態(tài)基本上就確定了．在描點(diǎn)時(shí)，光滑的曲線是指經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的連線，要保證近似“圓弧”的形態(tài)，經(jīng)過(guò)位于x軸的點(diǎn)時(shí)要變更“圓弧的圓心的位置”．1．y＝sinx，x∈[0,2π]與y＝sinx，x∈R的圖像間的關(guān)系(1)函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像是函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像的一部分．(2)因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的圖像與函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像形態(tài)完全一樣，因此將y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像向左、向右平行移動(dòng)(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長(zhǎng)度)就可得到函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像．2．“幾何法”和“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)圖像的優(yōu)缺點(diǎn)(1)“幾何法”就是利用單位圓中正弦線作出正弦函數(shù)圖像的方法．該方法作圖較精確，但較為煩瑣．(2)“五點(diǎn)法”的實(shí)質(zhì)是在函數(shù)y＝sinx的一個(gè)周期內(nèi)，選取5個(gè)分點(diǎn)，也是函數(shù)圖像上的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及平衡點(diǎn)，這五個(gè)點(diǎn)大致確定了函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)圖像的形態(tài)．(3)“五點(diǎn)法”是畫(huà)三角函數(shù)圖像的基本方法，在要求精確度不高的狀況下常用此法，要切實(shí)駕馭好．另外與“五點(diǎn)法”作圖有關(guān)的問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考試題中．3．關(guān)于“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)圖像的要點(diǎn)(1)應(yīng)用的前提條件是精確度要求不是太高．(2)五個(gè)點(diǎn)必需是確定的五點(diǎn)．(3)用光滑的曲線順次連接時(shí)，要留意線的走向，一般在最高(低)點(diǎn)的旁邊要平滑，不要出現(xiàn)“拐角”現(xiàn)象．(4)“五點(diǎn)法”作出的是一個(gè)周期上的正弦函數(shù)圖像，要得到整個(gè)正弦函數(shù)圖像，還要“平移”.類(lèi)型一畫(huà)正弦函數(shù)的圖像【例1】用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝－2＋sinx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖．【思路探究】本題主要考查正弦型函數(shù)y＝sinx－2的圖像的畫(huà)法．在區(qū)間[0,2π]內(nèi)找出關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，列表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出圖像；也可以先畫(huà)出函數(shù)y＝sinx的圖像，然后向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝sinx－2的圖像．【解】法1：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－2＋sinx－2－1－2－3－2利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)，如下圖的實(shí)線部分．法2：先用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像(如圖中的虛線部分)，再將其向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)y＝－2＋sinx，x∈[0,2π]的圖像(如圖中的實(shí)線部分)．規(guī)律方法函數(shù)y＝sinx＋m的圖像既可以用五點(diǎn)法畫(huà)出，也可以將函數(shù)y＝sinx的圖像向上(m>0)或向下(m<0)平移|m|個(gè)單位長(zhǎng)度得到．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2sinx，x∈[0,2π]的圖像．解：列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝2sinx020－20描點(diǎn)、連線，得函數(shù)y＝2sinx，x∈[0,2π]的圖像，如圖．類(lèi)型二利用正弦線求角的范圍【例2】利用三角函數(shù)線，求滿(mǎn)意下列條件的角α的集合：(1)sinα＝eq\f(1,2)；(2)sinα≤－eq\f(1,2).【思路探究】先借助單位圓作出正弦線，然后找出符合條件的角的集合．【解】(1)如圖(1)．故使sinα＝eq\f(1,2)的α的集合為{α|α＝eq\f(π,6)＋2kπ或α＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z}．圖(1)(2)如圖(2)．在Rt△OMP中，|OP|＝1，|MP|＝eq\f(1,2)，∴∠MOP＝eq\f(π,6).故使sinα≤－eq\f(1,2)的α的集合為{α|2kπ－eq\f(5π,6)≤α≤2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z}．規(guī)律方法留意終邊相同的角的表示方法及角的旋轉(zhuǎn)方向．利用單位圓中的正弦線求滿(mǎn)意sinα≥eq\f(\r(3),2)的角α的集合．解：如圖所示．使sinα≥eq\f(\r(3),2)的α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．類(lèi)型三正弦曲線的應(yīng)用【例3】推斷方程x＋sinx＝0的根的個(gè)數(shù)．【思路探究】轉(zhuǎn)化為推斷函數(shù)y＝－x和y＝sinx的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解】在同始終角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝－x和y＝sinx的圖像，如圖所示．由圖知y＝－x和y＝sinx的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，則方程x＋sinx＝0僅有一個(gè)根．規(guī)律方法關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，往往是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．將本例中的方程改為“x2－sinx＝0”，試推斷根的個(gè)數(shù)．解：在同始終角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝x2和y＝sinx的圖像，如圖所示．由圖知y＝x2和y＝sinx的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程x2－sinx＝0有兩個(gè)根．——易錯(cuò)警示——忽視函數(shù)的定義域致誤【例4】若x是三角形的最小角，則y＝sinx的值域是________．【錯(cuò)解】(0,1]【正解】由三角形內(nèi)角和為π知，若x為三角形中的最小角，則0<x≤eq\f(π,3)①，由y＝sinx圖像(如圖)知y∈(0，eq\f(\r(3),2)]．【錯(cuò)解分析】忽視①處x為最小角，x實(shí)際范圍為(0，eq\f(π,3)]，認(rèn)為x為三角形的內(nèi)角，有x∈(0，π)或x∈(0，eq\f(π,2)]，從而得出錯(cuò)誤答案．【答案】(0，eq\f(\r(3),2)]【防范措施】深化挖掘題目中的條件要重視對(duì)題目條件的挖掘和充分的應(yīng)用，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．如本例中用到了三角形中的最小角，須要在記住三角形內(nèi)角和為π的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出最小角的范圍(0，eq\f(π,3)]．函數(shù)y＝lg(eq\r(3)＋2sinx)，x∈[0,2π]有意義時(shí)，x的取值范圍是[0，eq\f(4,3)π)∪(eq\f(5,3)π，2π]．解析：由題意知，eq\r(3)＋2sinx>0，則sinx>－eq\f(\r(3),2).由y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像(如圖)可知x的取值范圍為[0，eq\f(4,3)π)∪(eq\f(5,3)π，2π]．一、選擇題1．函數(shù)y＝sinx的圖像與x軸的交點(diǎn)有(D)A．0個(gè) B．3個(gè)C．6個(gè) D．多數(shù)個(gè)2．函數(shù)y＝sinx在某個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，則該區(qū)間可以是(D)A．[0，eq\f(π,2)] B．[0，π]C．[π，2π] D．[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]解析：由y＝sinx的圖像可知4個(gè)選項(xiàng)中只有D正確．3．關(guān)于正弦函數(shù)y＝sinx的圖像，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(D)A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．有最大值1C．與y軸有1個(gè)交點(diǎn) D．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)解析：由正弦函數(shù)y＝sinx的圖像可知，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，有最大值1，最小值－1，并且與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為(