一元二次不等式恒成立問題

一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式及其解法

恒成立問題

△>0有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有兩相等實根x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR沒有實根yxOx1三個“二次”的關(guān)系表中的承擔幾種角色1、一元二次方程的兩根。2、二次函數(shù)的零點。3、不等式解的端點。二次不等式的恒成立

例1已知關(guān)于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1試求a的取值范圍.≥0恒成立，≥0的解集為R恒為非負≥0對任意x∈R都成立解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①當a=2時，y=1符合題意；②當a>2時，則△≤0，有2<a≤6；△＝(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③當a<2時，則a的值不存在；綜上，所求a的取值范圍為{a|2≤a≤6}.練一練若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0對于x∈R恒成立,則實數(shù)m的取值范圍時

.練一練變式1：若函數(shù)的定義域為R，則m的取值范圍是__________。求實數(shù)a的取值范圍。例2：若關(guān)于x的一元二次不等式的解集為R，則m的取值范圍。__m〈2________通過對上述問題的探究，我們可得到以下結(jié)論：達標檢測A1.若關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解為一切實數(shù)，則a的取值范圍為 ()A．(－2,2]B．[－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(-1,0]則問題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在區(qū)間［2，3］上恒成立，（1）變量分離法(分離參數(shù))例5.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．問題等價于f(x)max≤0,解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo（2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例3.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題則解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo例5.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.（３）數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問題二、例題探究二、例題變形三、知識小結(jié)四、知識拓展基礎(chǔ)知識點復習五、代表例題【1】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0對于m∈[-1,1]恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是_______.練一練此題若把它看成關(guān)于x的二次函數(shù),由于a,x都要變,則函數(shù)的最小值很難求出,思路受阻.若視a為主元,則給解題帶來轉(zhuǎn)機.練一練（三）逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法一：∵不等式的解集為∴方程的兩根為（三）逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法二：∵不等式的解集為∴方程的兩根為由韋達定理得（三）逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.（三）逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法三：∵不等式的解集為由待定系數(shù)法得（三）逆向問題題型與解法變式訓練21.下列不等式中，解集為實數(shù)集R的是（）(B)(A)(C)(D)2.當?shù)慕馐牵ǎ?A)(B)(C)(D)DC課堂練習3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1/2＜x＜1/3}，則a+b=

.

（2）關(guān)于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或x＞1/2}，則關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＜0的解集為

.⑶對于任意實數(shù)x，ax2+4x-1≥-2x2-a，對于任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

.4.當m為何值時，方程x2-2mx+2m+3=0

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