圓的最值模型之隱圓模型（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題09圓的最值模型之隱圓模型一、模型說明1、動(dòng)點(diǎn)定長模型若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑2、直角圓周角模型固定線段AB所對動(dòng)角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑3、四點(diǎn)共圓模型固定線段AB所對同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓二、例題精講例1．（直角模型1）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，即可得點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長度最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．例2．（直角模型2）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．例3（四點(diǎn)共圓）．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為（

）A．2 B．π C．2π D．π【答案】D【詳解】解：如圖，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為π．故選：D．例4．（動(dòng)點(diǎn)定長）如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長，進(jìn)而求出A′C的長即可．【詳解】解：如圖所示，∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時(shí)，即A′在MC上．過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點(diǎn)是正確尋找點(diǎn)A′的位置．例5．（綜合1）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先證明，從而，再根據(jù)，可求，可知點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值．【詳解】解：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接OG，以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM，則，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，如圖，連接BM，交圓M于，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點(diǎn)和圓的知識(shí)解決．例6．（綜合2）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．（1）求證：；（2）①當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小；②當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求正方形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，理由見解析；（3）【分析】（1）由題意得，，所以，容易證出；（2）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，的值最??；②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，即等于的長（如圖）；（3）作輔助線，過點(diǎn)作交的延長線于，由題意求出，設(shè)正方形的邊長為，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．【詳解】解：（1）證明：是等邊三角形，，．，．即．又，．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，的值最小．②如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，理由如下：連接，由（1）知，，，，，是等邊三角形．．．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，若、、、在同一條直線上時(shí)，取得最小值，最小值為．在和中，，，，，，若連接，則，，，、可以同時(shí)在直線上．當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，即等于的長．（3）解：過點(diǎn)作交的延長線于，．設(shè)正方形的邊長為，則，．在中，，．解得，（舍去負(fù)值）．正方形的邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線，靈活運(yùn)用．三、課后訓(xùn)練1．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點(diǎn)、可含點(diǎn)，最短時(shí)，即為連接與的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)點(diǎn)），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．2．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最?。桓鶕?jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得，通過線段和差計(jì)算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點(diǎn)P在以AB為直徑的上，連接OC交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小在中，，，，，，最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時(shí)，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．【答案】A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時(shí)，∠DBA最大，過C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計(jì)算出BD、CF的長，代入面積公式求解即可．【詳解】解：由題意知，D點(diǎn)軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與D點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，∠DBA取最大值，此時(shí)∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時(shí)三角形ACE的面積==6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時(shí)的位置．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為．【答案】/【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為．【答案】【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，然后分點(diǎn)恰好落在邊上和點(diǎn)恰好落在邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行求解和證明即可得出兩種臨界情況下的長度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對稱，∴，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，此時(shí)，連接和，由題意及“三線合一”知，，，∴在中，，此時(shí)，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，∴由等面積法，，∴，在中，；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接、、和，由題意，，∴，，∴，即：，∴，即：，∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對稱，∴，，∴，∴，，由對稱的性質(zhì)，，∴，∴，∴，即：此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴此時(shí)，，綜上，長的范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．6．如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，D為AC的中點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)，將線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)），若AC＝8，BC＝6，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CM長度的取值范圍是．【答案】3≤CM≤7【分析】由勾股定理可求AB＝10，由三角形中位線定理可求OM＝2，點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，OM長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可求解．【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)O，連接OC，OM，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴AD＝4，CO＝5，∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴OM＝AD＝2，∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，OM長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)M在線段OC上時(shí)，CM有最小值＝5﹣2＝3，當(dāng)點(diǎn)M在線段CO的延長線時(shí)，CM有最大值＝5+2＝7，∴線段CM長度的取值范圍3≤CM≤7，故答案為：3≤CM≤7．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線及隱圓問題，熟練掌握三角形的中位線及動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與BH交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．8．如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最小值為．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交于，則，通過計(jì)算得出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，求出最小值即可．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交于，則，，，，，，，，，，，四邊形為等腰梯形，，，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，，，，，，，，，，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)位置的確定是解題關(guān)鍵．9．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．【答案】【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長為π；故答案為：π．10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【分析】因?yàn)镈G＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝，∴點(diǎn)G在以D為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時(shí)，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．11．問題背景如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過B，C兩點(diǎn)分別向直線l作垂線BD，CE，垂足為D，E，此時(shí)△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄈ∽钚⌒D(zhuǎn)角度）．嘗試應(yīng)用如圖（2），△ABC為等邊三角形，直線l繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線l上兩點(diǎn)，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到嗎？若可以，請指出旋轉(zhuǎn)中心O的位置并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖（3）在問題背景的條件下，若AB＝2，連接DC，直接寫出CD的長的取值范圍．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心為BC邊的中點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度為90°；（2）可以，旋轉(zhuǎn)中心為為等邊△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)O，理由見解析；（3）【分析】問題背景（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定即可；嘗試應(yīng)用（2）首先通過證明△ABD和△CAE全等說明點(diǎn)A和點(diǎn)B對應(yīng)，點(diǎn)C和點(diǎn)A對應(yīng)，從而作AB和AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)；拓展創(chuàng)新（3）首先確定出D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分別討論出CD最長和最短時(shí)的情況，并結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：問題背景（1）如圖所示，作AO⊥BC，交BC于點(diǎn)O，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴點(diǎn)A是由點(diǎn)C繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，同理可得，點(diǎn)B是由點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)D是由點(diǎn)E繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，旋轉(zhuǎn)中心為BC邊的中點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度為90°；嘗試應(yīng)用（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，∴∠DAB=∠ECA，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴△ABD的A、B、D三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為△CAE的C、A、E三點(diǎn)，則AC、AB分別視作兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線，此時(shí)，如圖所示，作AC和AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，∵△ABC為等邊三角形，∴由等邊三角形的性質(zhì)可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，∴△ABD可以由△CAE通過旋轉(zhuǎn)變換得到，旋轉(zhuǎn)中心為為等邊△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)O；拓展創(chuàng)新（3）由（1）知，在直線l旋轉(zhuǎn)的過程中，總有∠ADB=90°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑的圓，如圖，取AB的中點(diǎn)P，連接CP，交⊙P于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)D在CP的延長線時(shí)，CD的長度最大，當(dāng)點(diǎn)D與Q點(diǎn)重合時(shí)，CD的長度最小，即CQ的長度，∵AB=AC，AB=2，∴AP=1，AC=2，在Rt△APC中，，由圓的性質(zhì)，PD=AP=1，∴PD=PQ=1，∴，，∴CD的長的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)三要素的確定，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要涉及等腰直角三角形和等邊三角