第2章-3能量守恒定律j

§2-4能量守恒定律2-4-1功和功率功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它反映了力對(duì)空間的累積作用。物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒力所做功的定義：在力的作用下，物體發(fā)生了位移，則把力在位移方向的投影與位移大小的乘積稱為功。國(guó)際單位制單位：焦耳（J

）一、功質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，變力所做的功，如何求？元功：恒力所做的功：變力所做的功：合力所做的功：結(jié)論：合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于每個(gè)分力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功之代數(shù)和。在直角坐標(biāo)系Oxyz中，功的表達(dá)式：

功率是反映做功快慢程度的物理量。功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)所做的功。平均功率：瞬時(shí)功率：?jiǎn)挝唬篧=J·s-1二、功率例1設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F=6tN。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭2s內(nèi)這力做了多少功？解：兩邊積分：建立坐標(biāo)系xO2-4-2動(dòng)能和動(dòng)能定理動(dòng)能：質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有對(duì)外做功的本領(lǐng)。單位：J設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)元功：θ一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理總功：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理i一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)i的動(dòng)能定理：

對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力做功之代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。值得注意：例2

如圖所示，用質(zhì)量為m0的鐵錘把質(zhì)量為m的釘子敲入木板。設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解：設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。建立坐標(biāo)系鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：

由動(dòng)能定理，有：設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為ΔS

，則有化簡(jiǎn)后第二次能敲入的深度為：2-4-3保守力與非保守力勢(shì)能1、重力做的功初始位置末了位置重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置za和zb，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無(wú)關(guān)。一、保守力與非保守力2、萬(wàn)有引力做的功設(shè)質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在m0

的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。

cm0ab萬(wàn)有引力做功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無(wú)關(guān)。3、彈性力做的功x2bOx1mxamFx由胡克定律：彈性力做功只與彈簧的起始和末了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無(wú)關(guān)。保守力：做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。非保守力：做功不僅與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)力。保守力的特點(diǎn)：保守力沿任何閉合路徑做功等于零。證明：設(shè)閉合路徑方向?yàn)閍cbdaabcd按保守力的特點(diǎn)：證畢按積分的性質(zhì)：保守力做的功與勢(shì)能的關(guān)系：物體在保守力場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa與

Epb之差，等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)（起點(diǎn)）移動(dòng)到b點(diǎn)（終點(diǎn)）過程中保守力所做的功Wab。保守力做功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。二、勢(shì)能由物體的相對(duì)位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能（Ep）說(shuō)明：（1）勢(shì)能是一個(gè)系統(tǒng)的屬性。勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能的零點(diǎn)而言。（2）（3）勢(shì)能的零點(diǎn)可以任意選取。結(jié)論：空間某點(diǎn)的勢(shì)能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力做的功。設(shè)空間

點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn)的勢(shì)能為：重力勢(shì)能：（地面（z

=0）為勢(shì)能零點(diǎn)）彈性勢(shì)能：（彈簧自由端(坐標(biāo)原點(diǎn)）為勢(shì)能零點(diǎn)）引力勢(shì)能：（無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）勢(shì)能是瞬時(shí)量，是位置的函數(shù)。保守力功與勢(shì)能的積分關(guān)系：保守力功與勢(shì)能的微分關(guān)系：因?yàn)椋簞?shì)能的梯度所以：保守力的矢量式：保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢(shì)能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢(shì)能降低的方向。結(jié)論：2-4-4機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：其中機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所做功的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系的功能原理如果，機(jī)械能守恒定律當(dāng)系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持不變。機(jī)械能守恒定律注意：（1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能做功。（2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對(duì)一個(gè)參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。例3傳送帶沿斜面向上運(yùn)行速度為v=1m/s，設(shè)物料無(wú)初速地落到傳送帶下端的質(zhì)量為m=50kg/s，并被輸送到高度h=5m處，求配置的電動(dòng)機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）解：在Δt

時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為mΔt

的物料落到皮帶上，并獲得速度v

。Δt內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)能的增量：重力做功：電動(dòng)機(jī)對(duì)系統(tǒng)做的功：由動(dòng)能定理：例4

一長(zhǎng)度為2l的勻質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動(dòng)，求當(dāng)鏈條離開木釘時(shí)的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙猓涸O(shè)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ始末兩態(tài)的中心分別為C和C′機(jī)械能守恒：解得例5計(jì)算第一、第二宇宙速度1、第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為m0，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。解：設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：Rm0m由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律：解方程組，得：代入上式，得：2、第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或至少等于零。由機(jī)械能守恒定律：解得：（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。2-4-5碰撞

兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞。動(dòng)量守恒完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，且碰撞后碰撞物體結(jié)合成一體，以同一速度運(yùn)動(dòng)。一、完全彈性碰撞(1)

如果m1=

m2

，則v1=

v20

，v2=v10，即兩物體在碰撞時(shí)速度發(fā)生了交換。(2)

如果v20=0

,且m2

>>

m1,則v1=

-

v10,

v2=

0二、完全非彈性碰撞

由動(dòng)量守恒定律完全非彈性碰撞中動(dòng)能的損失

牛頓的碰撞定律：在一維對(duì)心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度

v2-v1

與碰撞前兩物體的接近速度

v10-v20

成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。

三、非彈性碰撞

e為恢復(fù)系數(shù)

完全非彈性碰撞，

v2=v1

，則e

=

0。完全彈性碰撞，分離速度等于接近速度，則e=1。一般非彈性碰撞：0

<

e<

1

§2-5守恒定律和對(duì)稱性如果系統(tǒng)的狀態(tài)在某種操作下保持不變，則稱該系統(tǒng)對(duì)于這一操作具有對(duì)稱性。如果某一物理現(xiàn)象或規(guī)律在某一變換下保持不變，則稱該現(xiàn)象或規(guī)律具有該變換所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性。物理學(xué)中最常見的對(duì)稱操作：時(shí)間操作：時(shí)間平移、時(shí)間反演等；空間操作：空間平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像反射、空間反演等。時(shí)空操作：伽利略變換、洛倫茲變換等。

2-5-1對(duì)稱性與對(duì)稱操作一、空間的對(duì)稱性及其操作1、空間平移操作系統(tǒng)具有空間平移對(duì)稱性。2、空間反演操作空間反演操作下不變的系統(tǒng)具有對(duì)O點(diǎn)的對(duì)稱性。3、鏡像反射操作4、空間旋轉(zhuǎn)（球?qū)ΨQ）操作在此操作下系統(tǒng)稱具有球?qū)ΨQ性。保持不變5、空間旋轉(zhuǎn)（軸對(duì)稱）操作保持不變對(duì)繞z軸做任意旋轉(zhuǎn)都不變的系統(tǒng)具有軸對(duì)稱性。二、時(shí)間的對(duì)稱性及其操作1、時(shí)間平移操作，系統(tǒng)不變例如,系統(tǒng)作周期性變化2、時(shí)間反演操作系統(tǒng)具有時(shí)間反演對(duì)稱性。三、時(shí)空的對(duì)稱性操作

物理規(guī)律對(duì)于某一變換（也許是一個(gè)時(shí)空聯(lián)合操作）具有不變性。如果對(duì)于某個(gè)物理學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)施加限制（比如，施加外力或外力矩作用等），從而導(dǎo)致該系統(tǒng)原有的某些對(duì)稱性遭到破壞，物理上稱這種情況為對(duì)稱性破缺。四、對(duì)稱性破缺2-5-2守恒定律和對(duì)稱性每一種對(duì)稱性均對(duì)應(yīng)于一個(gè)物理量的守恒律；反之，每一種守恒律均對(duì)應(yīng)于一種對(duì)稱性。諾特定理：一、動(dòng)量守恒與空間平移對(duì)稱性空間平移對(duì)稱性反映了空間的均勻性質(zhì)。

空間的