第08講 利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第08講利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題2能用洛必達(dá)法則解決極限等問題【命題預(yù)測(cè)】洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.知識(shí)講解洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則?？键c(diǎn)一、洛必達(dá)法則的直接應(yīng)用1．（23-24高二下·北京朝陽·期中）兩個(gè)無窮小之比或兩個(gè)無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.1．（21-22高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．2．（21-22高三上·湖北襄陽·期末）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．3．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)已知，，，求的解析式．參考公式：，．考點(diǎn)二、利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)綜合問題1．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍3．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍1．若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.2．已知函數(shù).(1)若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.3．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)于任意恒成立，求的取值集合．2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（22-23高三·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若且恒成立，求a的取值范圍.4．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)，，求的取值范圍.5．（21-22高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，R．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值．6．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.7．（22-23高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，；(3)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．8．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.(3)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（22-23高三上·江西撫州·期中）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）10．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線恒與x軸