第08講 利用洛必達法則解決導數(shù)問題(高階拓展、競賽適用)(教師版)-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫_第1頁
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Page第08講利用洛必達法則解決導數(shù)問題(高階拓展、競賽適用)(2類核心考點精講精練)命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度較大,分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)問題2能用洛必達法則解決極限等問題【命題預測】洛必達法則只是一個求極限的工具,是在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應用是大學高等數(shù)學中才介紹,這里用高中生最能看懂的方式說明,能備考使用即可.知識講解洛必達法則:法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)及;

(2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0;

(3),那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件:(1)及;

(2)在點a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0;

(3),那么=。型注意:1.將上面公式中的換成洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達法則??键c一、洛必達法則的直接應用1.(23-24高二下·北京朝陽·期中)兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在,也可能不存在,為此,洛必達在1696年提出洛必達法則,即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法,如,則(

)A. B. C.1 D.2【答案】B【分析】根據(jù)洛必達法則求解即可.【詳解】.故選:B2.(2024·浙江·二模)①在微積分中,求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則,法則中有結(jié)論:若函數(shù),的導函數(shù)分別為,,且,則.②設(shè),k是大于1的正整數(shù),若函數(shù)滿足:對任意,均有成立,且,則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個信息,回答下列問題:(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù);(2)計算:;(3)證明:,.【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù);(2)(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷;(2)通過構(gòu)造,再結(jié)合即可得到結(jié)果;(3)通過換元令令,則原不等式等價于,再通過構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)設(shè),由于,所以不成立,故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).(2)設(shè),則,設(shè),則,所以,得.(3)令,則原不等式等價于,即證,記,則,所以,即有對任意,均有,所以,因為,所以,所以,證畢!【點睛】方法點睛:利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時,應準確構(gòu)造相應的函數(shù),注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.1.(21-22高二下·重慶萬州·階段練習)我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型,比如:當時,的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在,也可能不存在,為此,洛必達在1696年提出洛必達法則:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如:,則.【答案】/0.5【分析】依據(jù)洛必達法則去計算即可解決.【詳解】故答案為:2.(21-22高三上·湖北襄陽·期末)我們把分子,分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型,比如:當時,的極限即為型,兩個無窮小之比的極限可能存在,也可能不存在.早在1696年,洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法(洛必達法則),用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限,法則的大意為:在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如:,則.【答案】2【分析】根據(jù)題設(shè)對分子、分母分別求導再求極限即得.【詳解】由題可得.故答案為:2.3.(2024·河北邢臺·二模)在函數(shù)極限的運算過程中,洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法,其含義為:若函數(shù)和滿足下列條件:①且(或,);②在點的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導,且;③(可為實數(shù),也可為),則.(1)用洛必達法則求;(2)函數(shù)(,),判斷并說明的零點個數(shù);(3)已知,,,求的解析式.參考公式:,.【答案】(1)(2)僅在時存在1個零點,理由見解析(3)【分析】(1)利用洛必達法則求解即可;(2)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性求解即可;(3)利用累乘法求出的表達式,然后結(jié)合,利用洛必達法則求極限即可.【詳解】(1)(2),,所以,.當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,當時,,所以僅在時存在1個零點.(3),所以,,…,將各式相乘得,兩側(cè)同時運算極限,所以,即,令,原式可化為,又,由(1)得,故,由題意函數(shù)的定義域為,綜上,【點睛】方法點睛:本題考查新定義,注意理解新定義,結(jié)合洛必達法則的適用條件,構(gòu)造函數(shù),從而利用洛必達法則求極限.考點二、利用洛必達法則解決函數(shù)綜合問題1.(全國高考)已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時,時,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以所以分析上式中求用了洛必達法則當時,分子,分母,符合不定形式,所以2.(天津高考)恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,當時,單調(diào)遞減,所以即所以所以所以3.(全國高考)恒成立,求的取值范圍解:記,則記則所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增所以所以1.若不等式對于恒成立,求的取值范圍.【答案】【分析】由題設(shè)有在上恒成立,構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)研究單調(diào)性、洛必達法則求右側(cè)的極限,即可得參數(shù)范圍.【詳解】當時,原不等式等價于.記,則.記,則.因為,,所以在上單調(diào)遞減,且,所以在上單調(diào)遞減,且.因此在上單調(diào)遞減,且,故,因此在上單調(diào)遞減.由洛必達法則有,即趨向于0時,趨向,即有.故時,不等式對于恒成立.2.已知函數(shù).(1)若在時有極值,求函數(shù)的解析式;(2)當時,,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】小問1:由可得的值,進而可得表達式,然后進行檢驗符合條件即可;小問2:根據(jù)題意可得對于恒成立,令,只需,利用導數(shù)分析的單調(diào)性結(jié)合由洛必達法則,則最值即可求解.【詳解】(1)因為,所以,由在處取極值,得,求得,當時,;當時,;則在時有極大值,符合題意,所以;(2)當時,,即.①當時,;②當時,等價于,也即.記,,則.記,,則,因此在上單調(diào)遞增,且,所以;從而在上單調(diào)遞增,所以,由洛必達法則有:,即當時,,所以,即有,綜上所述,當,時,成立.3.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點,求實數(shù)的值;(2)若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】(1)求出的導數(shù),求,斜率為,寫出切線的方程,再將點點代入切線方程即可求出實數(shù)的值;(2)易知為方程的根,只需證明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可,分別討論,當時,,,方程的解得情況,以及當時,,,方程的解得情況,即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),所以在點處的切線的斜率,又,所以切線的方程為:,即,由經(jīng)過點可得:.(2)易知為方程的根,由題只需說明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可.①當時,若,顯然有,而恒成立,此時方程顯然無解若,,,令,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減故在單調(diào)遞減從而,,此時方程也無解.若,由,記,則,設(shè),則有恒成立,所以恒成立,故令在上遞增,在上遞減,可知原方程也無解由上面的分析可知時,,方程均無解.②當時,若,顯然有,而恒成立,此時方程顯然無解若,和①中的分析同理可知此時方程也無解.若,由,記,則,由①中的分析知,故在恒成立,從而在上單調(diào)遞增,如果,即,則,要使方程無解,只需,即有如果,即,此時,方程一定有解,不滿足.由上面的分析知時,,方程均無解,綜合①②可知,當且僅當時,方程有唯一解.【點睛】本題主要考查了導數(shù)應用,導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)判斷單調(diào)性,函數(shù)方程轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想,屬于難題.4.已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為,無減區(qū)間;(2).【分析】(1)由解析式知定義域為,,令,應用導數(shù)研究的單調(diào)性,進而判斷的單調(diào)區(qū)間;(2)法一:將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,應用導數(shù)并結(jié)合分類討論的方法研究的單調(diào)性,進而求的范圍;法二:將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,應用導數(shù)及函數(shù)與方程思想,結(jié)合分類討論的方法研究的單調(diào)性,求的范圍;法三:分離常量法得在上恒成立,令應用導數(shù)研究的單調(diào)性,求的范圍;【詳解】(1)由解析式知:的定義域為且,令,則∴當時,;當時,,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,即,∴在上單調(diào)遞增,即的增區(qū)間為,無減區(qū)間.(2)解法1:直接求導,分類討論.對任意,不等式恒成立等價于對任意,不等式恒成立.令,則,令,則,由知:,①當,即時,即,即在上單調(diào)遞減,又,∴時,,即在上單調(diào)遞減,又,∴時,,符合題意.②若,即,當時,,∴在單調(diào)遞增,即時,,故不恒成立,不合題意.③若,則恒成立,所以在單調(diào)遞增.∴時,,即在單調(diào)遞增,又時,,即恒成立,不合題意.綜上所述,的取值范圍是.解法2:對任意,不等式恒成立等價于對任意,恒成立.令,則,記,①當時,,此時,在單調(diào)遞減,又,所以時,,即對任意,恒成立.②當時,,在上單調(diào)遞增,又,所以時,,即對任意,恒成立,不符合題意.③時,不等式化為,顯然不成立.④當且時,方程的二根為,,若,,,則在單調(diào)遞增,又,所以時,,即不等式不恒成立;若,,則在單調(diào)遞增,又,所以時,,即不等式不恒成立.綜上所述,的取值范圍是.解法3:參數(shù)分離當,對任意,不等式恒成立等價于對任意,恒成立.記,則,記,則,所以在單調(diào)遞減,又,所以,時,,即,所以在單調(diào)遞減.所以,綜上所述,的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛:(1)由解析式確定函數(shù)定義域,應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)利用導數(shù)研究在某區(qū)間內(nèi)不等式恒成立,綜合應用分類討論、函數(shù)與方程等思想,以及分離常量法結(jié)合極限思想,求參數(shù)范圍.1.(2023高三·全國·專題練習)已知函數(shù),,若對于任意恒成立,求的取值集合.【答案】的取值集合為【分析】以為分界點對不等式進行討論,利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式恒成立的條件即可求解.【詳解】恒成立,即.當時顯然成立,即.當時,,令,則,令,則,所以遞增,所以,所以在上恒成立.所以在上遞增,根據(jù)洛必達法則得,,所以.同理,當時,.綜上所述,的取值集合為.2.(2023高三·全國·專題練習)已知函數(shù),若當時,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】由題意分離參數(shù)可得,令,對求導,求出的單調(diào)性結(jié)合洛必達法則求出的最大值.【詳解】∵,∴.∴當時,,即單調(diào)遞減;當時,,即單調(diào)遞增.若當時,恒有成立,即恒有成立.當時,不等式恒成立.當時,恒有成立,即,令,則.令,則,進一步,∴在上單調(diào)遞減,∴.∴在上單調(diào)遞減,∴.即在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減.∴,∴.綜上,的取值范圍為.3.(22-23高三·寧夏吳忠·階段練習)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;(2)若且恒成立,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)代入,得到,求出導函數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,即可得出答案;(2)因為,分離參數(shù)可得.構(gòu)造函數(shù),根據(jù)的導函數(shù),得出的單調(diào)性,進而得出函數(shù)的最大值為,即可得出,進而得出的取值范圍.【詳解】(1)當時,,,可得,故,所以函數(shù)在點處的切線方程為.(2)由已知,所以,由,得.因為,所以上式可化為.令,則,令,則.因為,所以,所以為上的減函數(shù),且,故時,,即,所以在上單調(diào)遞增;當時,,即,所以在在上為單調(diào)遞減.所以,當時,取得極大值,也是最大值.則要使在上恒成立,則應有.又因為,故.4.(23-24高二下·貴州六盤水·期中)已知函數(shù)(1)當時,求函數(shù)的最小值;(2),,求的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得最小值;(2)分類參數(shù),設(shè),利用導數(shù)求函數(shù)的最大值,即可得的取值范圍.【詳解】(1)當時,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,;(2),,,令,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,,,即的取值范圍是.5.(21-22高三上·江蘇連云港·階段練習)已知,R.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若對任意的,恒成立,求整數(shù)a的最小值.【答案】(1)分類討論見解析(2)2【分析】(1)求導,分,兩種情況討論導函數(shù)正負,即得解;(2)轉(zhuǎn)化原不等式為在區(qū)間內(nèi)恒成立,令,求導分析單調(diào)性,即得解【詳解】(1)由題意得的定義域為,,①時,,在內(nèi)單調(diào)遞減,②時,令得或(舍)當,單調(diào)遞減當,,單調(diào)遞增.(2)由題意得,整理得,因為,所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立,令,則,令,易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,又,,故存在唯一的,使得,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;故當時,函數(shù)有極大值,也即為最大值,,故,又,故,又a為整數(shù),故a的最小整數(shù)值為6.(2021·陜西漢中·模擬預測)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,不等式恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2).【分析】(1)利用函數(shù)的導數(shù)的符號,判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)將原不等式進行參變分離得,然后構(gòu)造函數(shù),從而把不等式問題轉(zhuǎn)化為,求大于或等于函數(shù)的最大值問題,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)依題意,令,得,由,得;由,得,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當時,不等式等價于,設(shè),則,令,得,當在區(qū)間內(nèi)變化時,隨的變化情況如下表:0極大值由上表可知,當時,函數(shù)在上有唯一極大值,也是其最大值,恒成立等價于,故的取值范圍是.7.(22-23高三上·北京·階段練習)已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求證:當時,;(3)若對恒成立,求實數(shù)k的最大值.【答案】(1)(2)見詳解(3)見詳解【分析】(1)首先求函數(shù)的導數(shù),再代入求的值;(2)首先設(shè)函數(shù),求函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)正負判斷函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù),(3)首先不等式等價于對恒成立,參變分離后轉(zhuǎn)化為對恒成立,利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,轉(zhuǎn)化為求實數(shù)的最大值.【詳解】(1)

,即切線的斜率為,又因為所以切線方程為:,即.(2)令,則,當時,設(shè),則所以在單調(diào)遞減,即,所以所以在上單調(diào)遞減,所以,所以.(3)原題等價于對恒成立,即對恒成立,令,則.易知,即在單調(diào)遞增,所以,所以,故在單調(diào)遞減,所以.

綜上所述,的最大值為.8.(22-23高二下·北京·階段練習)已知函數(shù).(1)求在點處的切線方程;(2)求證:當時,.(3)若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見詳解(3)【分析】(1)由題意及導數(shù)的幾何意義先求出和,由點斜式可得解;(2)當時,恒成立,等價于恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過研究的單調(diào)性和最小值即可得證;(3)利用參變分離將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立,再構(gòu)造函數(shù),通過研究的單調(diào)性和最小值即可得解【詳解】(1)由題意,,又由導數(shù)的幾何意義,,所以在點處的切線方程:,即;(2)當時,恒成立,等價于恒成立,設(shè),則,當時,,所以,即在上為增函數(shù),所以,即恒成立,恒成立,所以當時,,問題得證;(3)若時,恒成立,等價于恒成立,令,則,令,得,當時,;當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,故當時,原不等式恒成立.【點睛】利用導函數(shù)解不等式常見思路:(1)恒成立問題常利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值求解(2)證明不等式可通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.9.(22-23高三上·江西撫州·期中)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,(2)若,當時,恒成立時,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1)答案見解析(2)3【分析】(1)求導,討論導函數(shù)的正負即可;(2)分離參數(shù),當時恒成立即可,設(shè),利用導數(shù)求解單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,即可求解最值得解.【詳解】(1)由可得.當時,恒成立,在單調(diào)遞增;當時,令得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;綜上所述,當時,在單調(diào)遞增;當時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當時,成立,當時,恒成立即,設(shè),則,令,則,設(shè),當時,,故;當時,,故,綜上有,故,故為增函數(shù),又,因為,故,所以,故存在唯一零點使得,故當時單調(diào)遞減當時,,單調(diào)遞增,故,又,即,所以設(shè),則,故為增函數(shù),又,所以,所以,故要且為正整數(shù)則的最大值為3.【點睛】利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的解題常用方法:1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時,一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況,進行求解,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.10.(2023高三·全國·專題練習)設(shè)函數(shù),曲線恒與x軸相切于坐標原點.(1)求

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