第01講 平面向量的概念、線性運(yùn)算及其坐標(biāo)運(yùn)算（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講平面向量的概念、線性運(yùn)算及其坐標(biāo)運(yùn)算（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標(biāo)計(jì)算向量的模數(shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3題,5分向量加法的法則向量減法的法則無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運(yùn)算并理解其幾何意義3掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算并理解其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的含義4理解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義5會(huì)向量間的坐標(biāo)運(yùn)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”．對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果．2．在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問(wèn)題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問(wèn)題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.（2）P為線段AB的中點(diǎn)?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的平行關(guān)系，，考點(diǎn)一、平面向量基本概念的綜合考查1．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的模可以比較大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒(méi)有方向的2．下列結(jié)論正確的是：（

）A．若與都是單位向量，則．B．若與是平行向量，則．C．若用有向線段表示的向量與相等，則點(diǎn)M，N重合D．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量3．（多選）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；B．若，則，不是共線向量；C．若，則四邊形是平行四邊形；D．與同向，且，則1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的模可以比較大小2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量 D．零向量沒(méi)有方向3．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個(gè)相同的向量的模相等4．（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若與都是單位向量，則B．方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)M與N不重合考點(diǎn)二、相等向量及其應(yīng)用1．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．1．（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．考點(diǎn)三、平面向量線性運(yùn)算的綜合考查1．（廣東·高考真題）如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四、平面向量共線定理與點(diǎn)共線問(wèn)題1．（2022·四川綿陽(yáng)·二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線3．（2024·貴州黔東南·二模）已知向量三點(diǎn)共線，則.1．已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線2．（2024·遼寧·二模）（多選）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部考點(diǎn)五、平行向量（共線向量）求參數(shù)1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為．15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（

）A．1 B． C． D．23．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則．1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．12．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．3．（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（22-23高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·二模）已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)是的重心，則（

）A． B．C． D．6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．7．（22-23高一下·江西九江·期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題8．（22-23高一下·吉林四平·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等三、填空題9．（22-23高三上·福建廈門·開(kāi)學(xué)考試）寫出一個(gè)與向量共線的向量.10．（2024·陜西西安·一模）已知平面向量，若與共線，則實(shí)數(shù)．一、單選題1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③（為實(shí)數(shù)），則必為零.④為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，則與共線的單位向量是（）A． B．或C． D．或3．（2022·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．4．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若，則與的方向相反D．若，則5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊的中點(diǎn)，在上，且，則（

）A． B．C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9二、填空題7．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為．8．（2022·廣西柳州·三模）已知平面向量，，若，則.9．（2024·山西·三模）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，點(diǎn)T在x軸上，若，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是．10．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量和＝，其中為實(shí)數(shù).若，則的取值范圍是.一、單選題1．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真題）若，,則（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3．（遼寧·高考真題）已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為A． B． C． D．4．（山東·高考真題）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．5．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．6．（福建·高考真題）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于A． B． C． D．7．（山東·高考真題）已知向量與且則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，C，D三點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)C．A，B，D三點(diǎn) D．B，C，D三點(diǎn)8．（廣東·高考真題）已知平面向量，，且，則等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）9．（海南·高考真題）平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．， D．