8.3.2獨立性檢驗課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.3.2獨立性檢驗分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：2×2列聯(lián)表給出成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)n=a+b+c+db+da+c合計c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計YX

2×2列聯(lián)表的概念

按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存，這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為列聯(lián)表。它包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點的個數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點的個數(shù);中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點的個數(shù);右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù)。復(fù)習(xí)鞏固兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：

(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個條形圖表示出來，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對應(yīng)不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.復(fù)習(xí)鞏固

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.

對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.

因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.獨立性檢驗引入新課1.零假設(shè)(原假設(shè))H0

：用概率語言，可將零假設(shè)改述為H0：分類變量X和Y獨立

設(shè)X和Y是定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量。判斷下面的假設(shè)關(guān)系H0:P(Y=1ΙX=0)=P(Y=1ΙX=1)是否成立，通常稱為零假設(shè)或原假設(shè)。P(Y=1ΙX=0)表示從{X=0}中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1ΙX=1)表示從{X=1}中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于{X=1，Y=1}的概率；學(xué)習(xí)新知2.獨立性檢驗公式及定義：

假定我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果零假設(shè)H0成立，則應(yīng)滿足

，即ad-bc≈0.因此|ad?bc|越小,說明兩個分類變量之間關(guān)系越弱;|ad?bc|越大，說明兩個分類變量之間關(guān)系越強.

2=χ為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準,基于上述分析,我們構(gòu)造一個隨機變量學(xué)習(xí)新知2=χ

用χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷H0不成立，否則認為H0成立。這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.獨立性檢驗3.臨界值的定義：對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可作為判斷χ2大小的標準，概率值α越小，臨界值xα越大.χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.10.8287.8796.6353.8412.706xα0.0010.0050.010.050.1α

學(xué)習(xí)新知4.基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立.學(xué)習(xí)新知例2:依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,分析例1中的抽樣數(shù)據(jù),能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異？解:零假設(shè)為H0:分類變量X與Y相互獨立,即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異.因為2=χ＜計算得到：根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認為H0成立，即認為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異.例題分析思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析,但卻得出了不同的結(jié)論,你能說明其中的原因嗎?

例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論,并沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤,所以那里的推斷依據(jù)不太充分,在本例中,我們用χ2獨立性檢驗對零假設(shè)H0進行了檢驗,通過計算,發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對應(yīng)的臨界值2.706,因此認為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,所以接受H0,推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論,

這個檢驗結(jié)果意味著,抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導(dǎo)致的,因此,只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的。

由此可見,相對于簡單比較兩個頻率的推斷,用χ2獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面,理論依據(jù)也更充分。

當(dāng)我們接受零假設(shè)H0時,也可能犯錯誤。我們不知道犯這類錯誤的概率p的大小,但是知道,若α越大,則p越小例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名,其中未治愈6名,治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解:零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，1361152169636675215治愈未治愈合計療效合計乙甲療法

例題解析根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到2=χ＜根據(jù)小概率值α=0.005的χ2獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認為H0成立，即認為兩種療法效果沒有差異.1361152169636675215治愈未治愈合計療效合計乙甲療法

追問1：在表8.3-5中，若對調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，這樣做會影響χ2取值的計算結(jié)果嗎？不影響療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136療法療效合計未治愈治愈乙66369甲155267合計21115136療法療效合計治愈未治愈甲521567乙63669合計11521136追問2：對于例3中的抽樣數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即可以認為兩種療法效果有差異，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05.因此可以推斷乙種療法的效果比甲種療法好例4：為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣，調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險。解：零假設(shè)為H0：吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算的χ2=＞根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001，即我們有99.9％的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.吸煙肺癌合計非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計9874919965例題解析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為吸煙者中不患肺癌和患肺癌的評率分別為由可見，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌頻率的4倍以上。于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌。（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋.（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較.（3）根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.（4）在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致應(yīng)包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：注意：上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整，例如，在有些時候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.方法總結(jié)1.分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：課堂小結(jié)2.獨立性檢驗的一般步驟：(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα